高考数学二轮复习专题31 数列中错位相减法求和问题(2份打包，教师版+原卷版)

专题31　数列中错位相减法求和问题

【高考真题】

2022年没考查

【方法总结】

错位相减法求和

错位相减法：错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减即可求出Sn．

用错位相减法求和时，应注意：

(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．

(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．

(3)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an＋1的式子应进行合并．

【题型突破】

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且＝＋5．

(1)求an；

(2)若bn＝an·4求数列{bn}的前n项的和Tn．

2．(2020·全国Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．

(1)求{an}的公比；

(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．

3．(2017·天津)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，

b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4．

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．

4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，2Sn＝(n＋1)an－2．

(1)求a2，a3和通项an；

(2)设数列{bn}满足bn＝an·2n－1，求{bn}的前n项和Tn．

5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn－n＝2(an－2)(n∈N*)．

(1)证明：数列{an－1}为等比数列；

(2)若bn＝an·log2(an－1)，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．

6．已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)．数列{bn}是公差d不等于0的等差数列，且满足：

b1＝a1，b2，b5，b14成等比数列．

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)设cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn．

7．已知首项为2的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＝3Sn－2Sn－1(n≥2，n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．

8．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝．

(1)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn．

9．(2020·全国Ⅲ)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n．

(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

(2)求数列{2nan}的前n项和Sn．

10．在等差数列{an}中，已知a6＝16，a18＝36．

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)若________，求数列{bn}的前n项和Sn．

在①bn＝，②bn＝(－1)n·an，③bn＝2an·an这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

11．在①bn＝nan，②bn＝③bn＝这三个条件中任选一个，补充在下

面问题中，并解答．

问题：已知数列{an}是等比数列，且a1＝1，其中a1，a2＋1，a3＋1成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记________，求数列{bn}的前2n项和T2n．

12．在①b2n＝2bn＋1，②a2＝b1＋b2，③b1，b2，b4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补

充在下面的问题中，并求解．

已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an．公差不等于0的等差数列{bn}满足________，________，求数列的前n项和Sn．

注：如果选择不同方案分别解答，按第一个解答计分．

13．在①已知数列{an}满足：an＋1－2an＝0，a3＝8；②等比数列{an}中，公比q＝2，前5项和为62，这两

个条件中任选一个，并解答下列问题：

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若2Tn＞m－2 022对n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．

注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．

14．(2021·全国乙)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝．已知a1，3a2，9a3成等差数列．

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn<．

15．已知数列{an}的首项a1＝3，前n项和为Sn，an＋1＝2Sn＋3，n∈N*．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝log3an，求数列的前n项和Tn，并证明：≤Tn＜．

16．已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝．

(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；

(2)设an＝n·f(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an<2．

17．已知各项均不相等的等差数列{an}的前4项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前3项．

(1)分别求数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn；

(2)设Kn为数列{anbn}的前n项和，若不等式λSnTn≥Kn＋n对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．

18．(2021·浙江)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn．若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，

求实数λ的取值范围．

19．已知递增的等比数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝anan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋1>62成立的正整数n的最小值．

20．已知单调递增的等比数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n×2n＋1＞30成立的正整数n的最小值．