高考数学二轮复习专题30 数列中裂项相消法求和问题(2份打包，教师版+原卷版)

专题30　数列中裂项相消法求和问题

【高考真题】

1．(2022·新高考Ⅰ)记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

【方法总结】

裂项相消法求和

裂项相消法

裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，从而在求和时达到某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式，使之符合裂项相消的条件．主要适用于或(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和．

常用的裂项公式

(1)若{an}是等差数列，则＝，＝；

(2)＝－，＝；

(3)＝；

(4)＝；

(5)＝－

(6)＝－，＝(－)；

(7)loga＝loga(n＋1)－logan；

(8)＝－，＝；

(9)＝－；

(10)＝－；

(11) (－1)n＝(－1)n．

注意：(1)裂项系数取决于前后两项分母的差．

(2)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．

【题型突破】

1．在数列{an}中，a1＝4，nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n．

(1)求证：数列是等差数列；

(2)求数列的前n项和Sn．

2．已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝．

(1)求证：数列是等差数列；

(2)若bn＝anan＋1，求数列{bn}的前n项和Sn．

3．(2017·全国Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n．

(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

4．(2015·全国Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3．

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．

5．正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0．

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．

6．在数列{an}中，a1＝1，an＋1·an＝an－an＋1．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝lg，求数列{bn}的前n项和Sn．

7．已知数列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且满足an＝(3an－1－bn－1)，bn＝－(an－1－3bn－1)，n∈N*，

n≥2．

(1)求证：数列{an－bn}为等比数列；

(2)求数列的前n项和Tn．

8．(2018·天津)设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是等差数列．已知a1＝1，

a3＝a2＋2，a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6．

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*)，

①求Tn；②证明：＝－2(n∈N*)．

9．已知数列{an}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S2n－1＝a．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记bn＝(－1)n，求数列{bn}的前n项和Tn．

10．在等差数列{an}中，已知a6＝16，a18＝36．

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)若________，求数列{bn}的前n项和Sn．

在①bn＝，②bn＝(－1)n·an，③bn＝2an·an这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

11．在①bn＝nan，②bn＝③bn＝这三个条件中任选一个，补充在下

面问题中，并解答．

问题：已知数列{an}是等比数列，且a1＝1，其中a1，a2＋1，a3＋1成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记________，求数列{bn}的前2n项和T2n．

12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5．

(1)求{an}的通项公式；

(2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn≤．

13．在等比数列{an}中，首项a1＝8，数列{bn}满足bn＝log2an(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记数列{bn}的前n项和为Sn，又设数列的前n项和为Tn，求证：Tn<．

14．已知数列{an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，且b1＝a1＝1，b2＝a1＋a2，a3＝2b3－6．

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<．

15．已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，满足S4＝2a4－1，S3＝2a3－1．

(1)求{an}的通项公式；

(2)记bn＝log2(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：＋＋…＋<2．

16．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，2Sn＝(n＋1)an＋1(n≥2)．

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<(n∈N*)．

17．已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Tn为数列前n项的和，若λTn≤an＋1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．

18．设函数f(x)＝＋(x＞0)，数列{an}满足a1＝1，an＝f()，n∈N*，且n≥2．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)对n∈N*，设Sn＝＋＋＋…＋，若Sn≥恒成立，求实数t的取值范围．

19．已知数列{an}满足a1＝1，a1＋a2＋a3＋…＋an＝an＋1－1(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．

20．已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝2，且a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，n∈N*，Sn是数列{bn}的前n项和，求使Sn<成立的最大的正整数n．