高考数学二轮复习专题21 二项式定理问题(2份打包，教师版+原卷版)

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1．(2022·新高考Ⅰ) SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为________________（用数字作答）．
2．(2022·北京)若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A．40 B．41 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．(2022·浙江) 已知多项式 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________，
SKIPIF 1 < 0 ___________．
【知识总结】
二项式定理
(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1．
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n．
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n．
(4)二项式系数从Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，一直到Ceq \\al(n－1,n)，Ceq \\al(n,n)．
(5)二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n)，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．
(6)(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．
【题型突破】
题型一 形如(a＋b)n(n∈N)展开式中与特定项相关量的问题
1．(2021·北京)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－\f(1,x)))eq \s\up7(4)的展开式中常数项是________．
2．(2020·全国Ⅲ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(2,x)))6的展开式中常数项是________(用数字作答)．
3．(2020·北京)在(eq \r(x)－2)5的展开式中，x2的系数为( )
A．－5 B．5 C．－10 D．10
4．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－2y))5的展开式中x2y3的系数是( )
A．－20 B．－5 C．5 D．20
5．(2019·浙江)在二项式(eq \r(2)＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．
6．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(1,\r(x))))6的展开式中，有理项共有( )
A．1项 B．2项 C．3项 D．4项
7．在(1－x)5＋(1－x)6＋…＋(1－x)18＋(1－x)19的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．4 840 B．－4 840 C．3 871 D．－3 871
8．若(2x＋1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋a4(x＋1)4＋a5(x＋1)5，则a4＝( )
A．－32 B．32 C．－80 D．80
9．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax2＋\f(1,\r(x))))5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________．
10．若二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x)))n展开式中的第5项是常数，则自然数n的值为( )
A．6 B．10 C．12 D．15
题型二 形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)展开式中与特定项相关量的问题
11．(2020·全国Ⅰ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A．5 B．10 C．15 D．20
12．(2019·全国Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )
A．12 B．16 C．20 D．24
13．(3－2x－x4)(2x－1)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．600 B．360 C．－600 D．－360
14．若(x2－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))10的展开式中x6的系数为30，则a等于( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．1 D．2
15．(1－eq \r(x))6(1＋eq \r(x))4的展开式中x的系数是( )
A．－4 B．－3 C．3 D．4
16．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝( )
A．45 B．60 C．120 D．210
17．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－3x＋\f(4,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,\r(x))))5的展开式中常数项为( )
A．－30 B．30 C．－25 D．25
18．已知(1＋x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x2)))n(n∈N*，n＜10)的展开式中没有常数项，则n的最大值是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
19．在(1＋x)8(1＋y)5的展开式中，记x3y2的系数为m，x5y3的系数为n，则m＋n＝( )
A．1 260 B．1 120 C．840 D．630
20．在(x＋1)(2x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展开式中一次项系数为( )
A．Ceq \\al(2,n) B．Ceq \\al(2,n＋1) C．Ceq \\al(n－1,n) D．eq \f(1,2)Ceq \\al(3,n＋1)
题型三 形如(a＋b＋c)n(n∈N*)展开式中与特定项相关量的问题
21．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)＋2))5的展开式中x2的系数是________．
22．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)＋1))5的展开式中的常数项为( )
A．1 B．11 C．－19 D．51
23．将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)－4))3展开后，常数项是________．
24．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－2x＋\f(1,x)))4的展开式中，常数项为( )
A．28 B．－28 C．－56 D．56
25．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))5的展开式中的常数项为 (用数字作答)．
26．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)－2))3的展开式中x2的系数是 (用数字作答)．
27．(x2＋2x＋3y)5的展开式中x5y2的系数为( )
A．60 B．180 C．520 D．540
28．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(2,x)＋y))6的展开式中，x3y3的系数是________．(用数字作答)
29．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,\r(3,x))－y))6的展开式中含xy的项的系数为( )
A．30 B．60 C．90 D．120
30．(多选)若(1－ax＋x2)4的展开式中x5的系数为－56，则下列结论正确的是( )
A．a的值为－2 B．展开式中各项系数和为0
C．展开式中x的系数为4 D．展开式中二项式系数最大为70
题型四 二项式系数和与各项的系数和的问题
31．若(a＋x2)(1＋x)n的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中x4的系数为( )
A．30 B．45 C．60 D．81
32．设(x－2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则a0＝________，a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝
________．
33．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,x)－\r(3,x)))n的展开式中所有项的系数的绝对值之和大于100，则n的最小值为________；当n取最小
值时，该展开式中的常数项是________．
34．若(1－x)2 019＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a2 019(x＋1)2 019，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2 019·32 019的值为( )
A．－1－22 019 B．－1＋22 019 C．1－22 019 D．1＋22 019
35．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝
39，则实数m的值为________．
36．设(2x－1)6－x6＝(x－1)(a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5)，其中a0，a1，a2，a3，a4，a5为实数，则a0
＝________，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________．
37．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( )
A．10 B．20 C．30 D．40
38．若(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式中的各项系数和为243，则a1＋2a2＋…＋nan＝( )
A．405 B．810 C．243 D．64
39．若(2x＋1)6＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a6(x＋1)6，则a0＋a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＝________．
40．已知(2x－m)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7，若a0＋eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a7,27)＝－128，则有( )
A．m＝2 B．a3＝－280 C．a0＝－1 D．－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7＝14
题型五 二项式系数与系数的最值问题
41．已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为
________．
42．在二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))n的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为( )
A．－360 B．－160 C．160 D．360
43．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x2)))n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )
A．210 B．180 C．160 D．175
44．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是( )
A．－462 B．462 C．792 D．－792
45．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )
A．6eq \r(3,x) B．eq \f(4,\r(x)) C．4xeq \r(6,x) D．eq \f(4,\r(x))或4xeq \r(6,x)
46．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,\r(x))))n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为( )
A．－126 B．－70 C．－56 D．－28
47．设m为正整数，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y))2m展开式的二项式系数的最大值为a，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y))2m＋1展开式的二项式系数的最大值
为b，若15a＝8b，则m＝________．
48．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10．若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递
增数列，则k的最大值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
49．二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个
数为( )
A．3 B．5 C．6 D．7
50．已知(a2＋1)n展开式中的二项式系数之和等于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的二
项式系数最大的项等于54，则正数a的值为________．
二项式定理
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N *)
二项展开式的通项公式
Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项
二项式系数
二项展开式中各项的系数Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n)