高考数学二轮复习专题07 导数中的问题(2份打包，教师版+原卷版)

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1．(2022·新高考Ⅱ) 曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
1．答案 y＝eq \f(1,e)x y＝－eq \f(1,e)x 解析 因为y＝ln|x|，当x＞0时y＝lnx，设切点为(x0，lnx0)，由y′＝eq \f(1,x)，所以y′|x
＝x0＝eq \f(1,x0)，所以切线方程为y－lnx0＝eq \f(1,x0)(x－x0)，又切线过坐标原点，所以－lnx0＝eq \f(1,x0)(－x0)，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝eq \f(1,e) (x－e)，即y＝－eq \f(1,e)x；当x＜0时y＝ln(－x)，设切点为(x1，ln(－x1))，由y′＝eq \f(1,x)，所以y′|x＝x1＝eq \f(1,x1)，所以切线方程为y－ln(－x1)＝eq \f(1,x1) (x－x1)，又切线过坐标原点，所以－ln(－x1)＝eq \f(1,x1) (－x1)，解得x0＝－e，所以切线方程为y－1＝－eq \f(1,e)(x＋e)，即y＝－eq \f(1,e)x；故答案为y＝eq \f(1,e)x；y＝－eq \f(1,e)x．
2．(2022·新高考Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．
2．答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析 ∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex，设切点为(x0，y0),则y0＝(x0
＋a)ex0,切线斜率k＝(x0＋1＋a)ex0，切线方程为y－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)ex0(x－x0)．∵切线过原点，∴－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)ex0(－x0)，整理得，x02＋a x0－a＝0．∵切线有两条，∴△＝a2＋4a>0,解得a0，∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)，故答案为(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
3．(2022·全国乙文)函数f(x)＝csx＋(x＋1)sinx＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为( )
A．－eq \f(π,2)，eq \f(π,2) B．－eq \f(3π,2)，eq \f(π,2) C．－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)＋2 D．－eq \f(3π,2)，eq \f(π,2)＋2
3．答案 D 解析 f′(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)csx＝(x＋1)csx，所以f(x)在区间(0，eq \f(π,2))和(eq \f(3π,2)，2π)上f′(x)>0，
即f(x)单调递增；在区间(eq \f(π,2)，eq \f(3π,2))上f′(x)＜0，即f(x)单调递减，又f(0)＝f(2π)＝2，f(eq \f(π,2))＝eq \f(π,2)＋2，f(eq \f(3π,2))＝－(eq \f(3π,2)＋1)＋1＝－eq \f(3π,2)，所以f(x)在区间[0，2π]上的最小值为－eq \f(3π,2)，最大值为eq \f(π,2)＋2．故选D．
4．(2022·新高考Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则( )
A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
4．答案 AC 解析 由题，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0得x＞eq \f(eq \r(3),3)或x＜－eq \f(eq \r(3),3)，令f′(x)＜0得－eq \f(eq \r(3),3)＜x＜eq \f(eq \r(3),3)，
所以f(x)在(－eq \f(eq \r(3),3)，eq \f(eq \r(3),3))上单调递减，在(－∞，－eq \f(eq \r(3),3))，(eq \f(eq \r(3),3)，＋∞)上单调递增，所以x＝±eq \f(eq \r(3),3)是极值点，故A正确；因f (－eq \f(eq \r(3),3))＝1＋eq \f(eq 2\r(3),9)>0，f (eq \f(eq \r(3),3))＝1－eq \f(eq 2\r(3),9)>0，f (－2)＝－5＜0，所以，函数f(x)在(－∞，－eq \f(eq \r(3),3))上有一个零点，当x≥eq \f(eq \r(3),3)时，f(x)≥f(eq \f(eq \r(3),3))>0，即函数f(x)在(eq \f(eq \r(3),3)，＋∞)上无零点，综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R，h(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－h(x)，则h(x)是奇函数，(0，0)是h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，所以点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心，故C正确；令f′(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f(1)＝f(－1)＝1，当切点为(1，1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点为(－1，1)时，切线方程为y＝2x＋3，故D错误．故选AC．
5．(2022·新高考Ⅱ) 已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(00，2ex＜0，则此时，f′(x)>0，与前面矛盾，故a>1不符合题意，若0