高考数学二轮复习专题13 立体几何中的位置关系及截面问题(2份打包，教师版+原卷版)

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专题13　立体几何中的位置关系及截面问题
【高考真题】
1．(2022·全国乙理) 在正方体中，E，F分别为的中点，则(　　)
A．平面平面　　　　　　　　B．平面平面
C．平面平面　　　　　　　　D．平面平面

【知识总结】
1．直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α．
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b．
(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β．
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b．
平行问题的转化

利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．
平行关系的基础是线线平行，证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线段的比例关系证明线线平行；五是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．
2．直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α．
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b．
(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β．
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β．
垂直问题的转化

在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．
垂直关系的基础是线线垂直，证明线线垂直常用的方法：一是利用等腰三角形底边中线即高线的性质；二是利用勾股定理；三是利用线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a．
3．确定截面的主要依据
用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键．
(1)平面的四个公理及推论．(2)直线和平面平行的判定和性质．(3)两个平面平行的性质．(4)球的截面的性质．
【题型突破】
题型一　简单位置关系的判断
1．(2020·浙江)已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两
相交”的(　　)
A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充分必要条件　D．既不充分也不必要条件
2．(2019·全国Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)
A．α内有无数条直线与β平行　　　　　　　B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线　　　　　　　　　D．α，β垂直于同一平面
3．已知α，β表示两个不同平面，a，b表示两条不同直线，对于下列两个命题：
①若b⊂α，a⊄α，则“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件；
②若a⊂α，b⊂α，则“α∥β”是“a∥β且b∥β”的充要条件．
判断正确的是(　　)
A．①②都是真命题　　　　　　　　　　　B．①是真命题，②是假命题　　
C．①是假命题，②是真命题　　　　　　　D．①②都是假命题
4．已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则给出的下列说法正确的是(　　)
①m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；②m∥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；
③m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥β；④m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β．
A．①②③　　　　　　　　B．①③④　　　　　　　　C．②④　　　　　　　　D．③④
5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：
①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β．
其中正确的命题是(　　)
A．①②　　　　　　　　B．②③　　　　　　　　C．①④　　　　　　　　D．③④
6．(2020·全国Ⅱ)设有下列四个命题：
①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；
②过空间中任意三点有且仅有一个平面；
③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；
④若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
则上述命题中所有真命题的序号是________．(填写所有正确命题的序号)
7．(2019·北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．
8．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”
中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．
可以填入的条件有________．
9．(多选)已知m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则(　　)
A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n　　　　　　B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β　　　　　　D．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β
10．将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可
换命题”．给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是______．(填序号)
题型二　较难位置关系的判断(1)
11．(2019·全国Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M
是线段ED的中点，则(　　)

A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线　　　　　B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线　　　　　D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
12．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平行的是(　　)
A．直线A1B　　　　　B．直线BB1　　　　　C．平面A1DC1 　　　　　D．平面A1BC1
13．(2017·全国Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，
则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)
　
14．已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F
上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有(　　)

A．0条　　　　　　　　B．1条　　　　　　　　C．2条　　　　　　　　D．无数条
15．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线
OM与AC，MN的位置关系是(　　)

A．与AC，MN均垂直　　　　　　　　　　　B．与AC垂直，与MN不垂直
C．与AC不垂直，与MN垂直　　　　　　　D．与AC，MN均不垂直
16．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC
上的射影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．
其中正确结论的序号是________．

17．如图，AB是圆锥SO的底面圆O的直径，D是圆O上异于A，B的任意一点，以AO为直径的圆与
AD的另一个交点为C，P为SD的中点．现给出以下结论：

①△SAC为直角三角形；②平面SAD⊥平面SBD；③平面PAB必与圆锥SO的某条母线平行．
其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．
18．如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段
PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是(　　)

A．①②　　　　　　　　B．①②③　　　　　　　　C．①　　　　　　　　D．②③
19．(多选)已知四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面均为正方形，其中AB＝2，A1B1＝，AA1＝BB1
＝CC1＝2，则下列叙述中正确的是(　　)
A．该四棱台的高为　　　　　　　B．AA1⊥CC1　　　　　
C．该四棱台的表面积为26　　　　　D．该四棱台外接球的表面积为16π
20．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　)

题型三　较难位置关系的判断(2)
21．将正方体的纸盒展开如图，直线AB，CD在原正方体的位置关系是(　　)

A．平行　　　　　　B．垂直　　　　　　C．相交成60°角　　　　　　D．异面且成60°角
22．如图是一个正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED是异面直线；②CN与BE平行；③
CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．

23．如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，
在这个正四面体中：
①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．

24．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几
何体中，给出下面4个结论：

①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．其中正确的有(　　)
A．1个　　　　　　　　B．2个　　　　　　　　C．3个　　　　　　　　D．4个
25．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把
这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　)

A．AG⊥平面EFH　　B．AH⊥平面EFH　　C．HF⊥平面AEF　　D．HG⊥平面AEF
26．(多选)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，翻折△ABD和△ACD，使得平面
ABD⊥平面ACD．下列结论正确的是(　　)

A．BD⊥AC　　　　　　　　　　　　　　　　B．△BAC是等边三角形
C．三棱锥D－ABC是正三棱锥　　　　 　　　D．平面ADC⊥平面ABC
27．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，
将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)

①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD．
28．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且
AB＝DE＝2BC＝2AF(如图1)．将四边形ADEF沿AD折起，连接AC，CF，BE，BF，CE(如图2)，在折起的过程中，下列说法错误的是(　　)

A．AC∥平面BEF　　　　　　　　　　　　　　B．B，C，E，F四点不可能共面
C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD　　　D．平面BCE与平面BEF可能垂直
29．如图，已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB，AD，AA1的中点，又
P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0OC，分别经过三条棱OA，
OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．

35．(2016·全国Ⅰ)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩
平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
36．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平
面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　　)

A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
37．在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，
SC，SA交于点D，E，F，H．D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．
38．在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是(　　)

A．AC⊥BD　　　　　　　　 　　　B．AC∥截面PQMN　　　
C．AC＝BD　　　　　　 　　　　D．异面直线PM与BD所成的角为45°
39．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下
四个结论：①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C与PM相交；④NC与PM异面．其中不正确的结论是(　　)

A．①　　　　　　　　B．②　　　　　　　　C．③　　　　　　　　D．④
40．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝，过B1、D1，P的
平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________．