高考数学二轮复习专题42 导数中的极值点偏移问题(2份打包，教师版+原卷版)

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专题42　导数中的极值点偏移问题
【高考真题】
1．(2022·全国甲理) 已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
1．解析　(1)的定义域为，
，令，得．
当单调递减，当单调递增．
，若，则，即．
所以的取值范围为．
(2)由题知，一个零点小于1，一个零点大于1．
不妨设，要证，即证．
因为，即证．因为，即证．
即证．即证．
下面证明时，．
设，
则．
设．
所以，而，所以，所以．
所以在单调递增．即，所以．
令，
．
所以在单调递减，即，所以；
综上，，所以．
【知识总结】
一、极值点偏移的含义
函数f(x)满足内任意自变量x都有f(x)＝f(2m－x)，则函数f(x)关于直线x＝m对称．可以理解为函数f(x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f(x)为单峰函数，则x＝m必为f(x)的极值点x0，如图(1)所示，函数f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点则刚好满足＝x0，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移．
　　　　　　　　
图(1)　　　 　　　图(2)　　　　 　　　　　　　　图(3)
若≠x0，则极值点偏移．若单峰函数f(x)的极值点为x0，且函数f(x)满足定义域内x＝m左侧的任意自变量x都有f(x)>f(2m－x)或f(x)2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)或F(x)＝f(x0＋x)－f(x0－x)；对结论x1x2>x型，构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式．
(3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性．
(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系．
(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求．
若要证明f′的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．
2．比(差)值代换法
比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值或差值(一般用t表示)表示两个极值点，即t＝，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题求解．
3．对数均值不等式法
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
只证：当时，．不失一般性，可设．证明如下：
(1)先证：　　　　①
不等式①
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递减，
故，从而不等式①成立；
(2)再证：　　　　②
不等式②
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递增，
故，从而不等式②成立；
综合(1)(2)知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立．
【题型突破】
1．已知函数f(x)＝ex－ax－1(a为常数)，曲线y＝f(x)在与y轴的交点A处的切线斜率为－1．
(1)求a的值及函数y＝f(x)的单调区间；
(3)若x1＜ln2，x2＞ln2，且f(x1)＝f(x2)，试证明：x1＋x2＜2ln2．
1．解析　(1)由f(x)＝ex－ax－1，得f′(x)＝ex－a．又f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，
所以f(x)＝ex－2x－1，f′(x)＝ex－2．由f′(x)＝ex－2＞0，得x＞ln2．
所以函数y＝f(x)在区间(－∞，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增．
(2)证明：设x＞ln 2，所以2ln2－x＜ln2，
f(2ln2－x)＝e(2ln 2－x)－2(2ln2－x)－1＝＋2x－4ln2－1．
令g(x)＝f(x)－f(2ln2－x)＝ex－－4x＋4ln2(x≥ln2)，所以g′(x)＝ex＋4e－x－4≥0，
当且仅当x＝ln2时，等号成立，
所以g(x)＝f(x)－f(2ln2－x)在(ln2，＋∞)上单调递增．
又g(ln2)＝0，所以当x＞ln2时，g(x)＝f(x)－f(2ln2－x)＞g(ln2)＝0，
即f(x)＞f(2ln2－x)，所以f(x2)＞f(2ln2－x2)，又因为f(x1)＝f(x2)，所以f(x1)＞f(2ln2－x2)，
由于x2＞ln2，所以2ln2－x2＜ln2，因为x1＜ln2，由(1)知函数y＝f(x)在区间(－∞，ln2)上单调递减，
所以x1＜2ln2－x2，即x1＋x2＜2ln2．
2．已知函数f(x)＝lnx－ax2，其中a∈R．
(1)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围；
(2)若函数f(x)有极大值为－，且方程f(x)＝m的两个根为x1，x2，且x14a．
2．解析　(1)由题知f′(x)＝－2ax＝(x>0)．
当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不可能有两个零点．
当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝．
当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(，＋∞)时，f′(x) 0，得0