还剩14页未读，
继续阅读
2022年山东省德州市高考数学三模试卷
展开
这是一份2022年山东省德州市高考数学三模试卷，共17页。试卷主要包含了5的展开式中x2y4的系数为等内容，欢迎下载使用。
2022年山东省德州市高考数学三模试卷
1.（5分）已知全集为R，设集合A={x|x⩽3}，B={x|y=ln(2-x)}，则A∩(∁RB)=()
A. (2,3) B. (2,3] C. [2,3) D. [2,3]
2.（5分）a=-2是直线ax+2y+3a=0和5x+(a-3)y+a-7=0平行的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.（5分）已知圆锥的底面直径为2，母线长为22，则其侧面展开图(扇形)的圆心角为()
A. π4 B. 3π4 C. π2 D. π
4.（5分）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系xOy中，A(-4,0)，B(2,0)，点M满足|MA||MB|=2，则点M的轨迹方程为()
A. (x+4)2+y2=16 B. (x-4)2+y2=16
C. x2+(y+4)2=16 D. x2+(y-4)2=16
5.（5分）已知对数函数f(x)的图像经过点A(18,-3)与点B(16,t)，a=log0.1t，b=0.2t，c=t0.1，则()
A. c
A. 80 B. 24 C. -12 D. -48
7.（5分）已知平面向量a→=(2,0)，b→=(0,1)，且非零向量c→满足(a→-2c→)⊥(b→-c→)，则|c→|的最大值是()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
8.（5分）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对于任意x1≠x2，必有f(x1)≠f(x2)，若函数F(x)=f(x2-m)+f(3-2x)只有一个零点，则函数g(x)=mx2-62-x(x<2)有()
A. 最小值为-4 B. 最大值为-4 C. 最小值为4 D. 最大值为4
9.（5分）已知复数z=5i1+2i，则下列各项正确的为()
A. 复数z的虚部为i B. 复数z-2为纯虚数
C. 复数z的共轭复数对应点在第四象限 D. 复数z的模为5
10.（5分）已知函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)图像的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为3π4，则()
A. 函数f(x)的最小正周期为3π
B. 将函数f(x)的图像向左平移π4个单位长度后所得图像关于原点对称
C. 函数f(x)在[π,52π]上为增函数
D. 设g(x)=e|x|f(32x+π4)，则g(x)在(-10π,10π)内有20个极值点
11.（5分）已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为m，点D、G满足AD→=DC→，DG→·AC→=0，且G点在直线AB上，若以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则()
A. 当m=4时，点G的轨迹为圆
B. 当6⩽m⩽8时，点G的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为[12,23]
C. 当m=2时，点G的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为y=±3x
D. 当m=5时，△BCG面积的最大值为3
12.（5分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AC=1，AA1=2，P为线段BB1上的动点，且B1P→=λB1B→，则()
A. 存在λ，使得A1P⊥BC
B. 当λ=12时，三棱锥P-A1B1C1的外接球表面积为7π3
C. 当λ=14时，异面直线A1P和C1B所成角的余弦值为53939
D. 过P且与直线AB和直线B1C1所成角都是60°的直线有三条
13.（5分）已知α∈(π,3π2)，tan(α-π4)=12，则cosα=______.
14.（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1=2，S7=35，则a6=______.
15.（5分）已知某种袋装食品每袋质量X～N(500,16)，则随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间(492,504]的约 ______袋(质量单位：g).
(附：X～N(μ,σ2)，则P(μ-σ
17.（12分）如图，在△ABC中，BC=2，AC=2，A=π4，点M、N是边AB上的两点，∠MCN=π6.
(1)求△ABC的面积；
(2)当BN=3，求MN的长．
18.（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，Sn-n=12(an+1)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式an和前n项和Sn；
(2)设bk=1(S2k+1)·S2k+1(k∈N*)，数列{bn}的前n项和记为Tn，证明：Tn<16(n∈N*).
19.（12分）某学校对男女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男女生人数均为10n(n∈N*)，统计得到以下2×2列联表，经过计算可得K2≈4.040.
男生
女生
合计
喜欢
6n
不喜欢
5n
合计
10n
10n
(1)完成表格求出n值，并判断有多大的把握认为该校学生对长跑的喜欢情况与性别有关；
(2)①为弄清学生不喜欢长跑的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；
②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对长跑喜欢的人数为X，求X的数学期望．
附表：
P(K2⩾k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
20.（12分）已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示．
(1)若CE⊥BG，求证：FG⊥BG；
(2)若AB=2，∠DAB=60°，三棱锥GACD的体积为233，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为32，求锐二面角A-EC-B的余弦值．
21.（12分）已知F为抛物线Г：x2=2py(p>0)的焦点，点P在抛物线Г上，O为坐标原点，△OPF的外接圆与抛物线Г的准线相切，且该圆周长为3π.
(1)求抛物线Г的方程；
(2)如图，设点A，B，C都在抛物线Г上，若△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，求AB→·AC→的最小值．
22.（12分）已知函数f(x)=alnxx+1，曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线2x+y=0垂直．
(1)设g(x)=x(x+1)f(x)，求g(x)的单调区间；
(2)当x>0，且x≠1时，f(x)>lnxx-1+k-1x，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵B={x|y=ln(2-x)}={x|2-x>0}={x|x<2}，
∴∁RB={x|x⩾2}，
∵A={x|x⩽3}，
∴A∩(∁RB)={x|2⩽x⩽3}=[2,3]，
故选：D.
先解对数不等式求出集合B，再根据集合的基本运算即可求解．
此题主要考查集合的基本运算，对数不等式的解法，比较基础．
2.【答案】A
【解析】解：当a=-2时，直线ax+2y+3a=0整理得：-2x+2y-6=0，即x-y+3=0；
5x+(a-3)y+a-7=0整理得：5x-5y-9=0，即x-y-95=0，故两直线平行，
当直线ax+2y+3a=0和5x+(a-3)y+a-7=0平行时，a2-3a-10=0，解得a=5或-2，
故a=-2是直线ax+2y+3a=0和5x+(a-3)y+a-7=0平行的充分不必要条件．
故选：A.
直接利用直线平行的性质和充分条件和必要条件的应用求出结果．
此题主要考查的知识要点：直线平行的性质，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题设，底面周长l=2π，而母线长为22，
根据扇形周长公式知：圆心角θ=2π22=π2.
故选：C.
首先求出圆锥底面周长，再根据扇形周长公式求其圆心角的大小．
此题主要考查扇形周长，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵|MA||MB|=2，即|MA|=2|MB|，
设M(x,y)，则(x+4)2+y2=2(x-2)2+y2，
整理得(x-4)2+y2=16.
故选：B.
直接设M(x,y)，根据两点间距离公式|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2代入运算整理．
此题主要考查了点的轨迹方程问题，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：设f(x)=logax(a>0,a≠1)，由题意可得：loga18=-3，则a=2，
∴t=loga16=4，
a=log0.14<0,b=0.24∈(0,1),c=40.1>1，
∴a
根据对数函数可以解得a=2，t=4，再结合中间值法比较大小．
此题主要考查了对数值大小的比较，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：(1x-2y)(2x-y)5=1x(2x-y)5-2y(2x-y)5，
二项式(2x-y)5的通项为Tr+1=C5r(2x)5-r(-y)r=C5r·25-r·(-1)rx5-ryr，
令r=3得，T4=C53·22·(-1)3x2y3，
∴(1x-2y)(2x-y)5的展开式中x2y4的系数为-2×C53·22·(-1)3=80，
故选：A.
把已知多项式展开得(1x-2y)(2x-y)5=1x(2x-y)5-2y(2x-y)5，再利用二项式(2x-y)5的通项求解即可．
此题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意，设c→=(x,y)，即C的坐标为(x,y)，
则a→-2c→=(2-2x,-2y)，b→-c→=(-x,1-y)，
若(a→-2c→)⊥(b→-c→)，则(a→-2c→)⋅(b→-c→)=(2x-2)×x+(y-1)×2y=0，变形可得(x-12)2+(y-12)y2=12，
则点C在圆(x-12)2+(y-12)2=12上，其圆心为(12,12)，半径为22，
则点C到原点O距离的最大值为14+14+22=2，
故选：B.
根据题意，设c→=(x,y)，即C的坐标为(x,y)，由向量数量积的坐标计算公式可得(a→-2c→)⋅(b→-c→)=(2x-2)×x+(y-1)×2y=0，变形可得关于x、y的关系式，分析C的轨迹，结合点与圆的位置关系分析可得答案．
此题主要考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量垂直的性质，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：由F(x)=f(x2-m)+f(3-2x)=0，可得f(x2-m)=-f(3-2x)，
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x2-m)=-f(3-2x)=f(2x-3)，
因为对于任意x1≠x2，必有f(x1)≠f(x2)，
所以x2-m=2x-3，即x2-2x-m+3=0，
因为函数F(x)=f(x2-m)+f(3-2x)只有一个零点，
所以方程x2-2x-m+3=0只有一个根，
所以Δ=4-4(-m+3)=0，解得m=2，
所以g(x)=2x2-62-x，
令t=2-x(t>0)，则x=2-t，
所以y=2x2-62-x=2(2-t)2-6t=2t2-8t+2t=2t+2t-8⩾22t·2t-8=-4，
当且仅当2t=2t，即t=1，x=1时等号成立，
所以函数g(x)=mx2-62-x(x<2)有最小值为-4.
故选：A.
由函数F(x)=f(x2-m)+f(3-2x)只有一个零点，结合条件可得方程x2-2x-m+3=0只有一个根，即可求出m，然后可求出g(x)的最值情况．
此题主要考查了函数的零点、奇偶性及利用基本不等式求函数的最小值，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：z=5i1+2i=5i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=2+i，
复数z的虚部为1，故A错误，
复数z-2=2+i-2=i为纯虚数，故B正确，
复数z的共轭复数对应点(2,-1)在第四象限，故C正确，
|z|=22+(-1)2=5，故D错误．
故选：BC.
根据已知条件，先对z化简，即可依次求解．
此题主要考查复数的四则运算，虚部和纯虚数的定义，复数的几何意义，复数模公式，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)图像的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为3π4，
对于A：故T4=3π4，所以T=3π，故A正确；
所以ω=2π3π=23，
故f(x)=sin(23x-π6)；
对于B：将函数f(x)的图像向左平移π4个单位长度后，得到g(x)=sin23x的图像，所得图像关于原点对称，故B正确；
对于C：由于x∈[π,52π]，所以23x-π6∈[π2,3π2]，故函数在该区间上单调递减，故C错误；
对于D：由于g(x)=e|x|f(32x+π4)=e|x|·sinx，
由于函数g(-x)=g(x)为奇函数，故函数在(0,10π)上有10个极值点，故函数在(-10π,10π)内有20个极值点，故D正确．
故选：ABD.
直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的关系式的变换的应用判断A、B、C、D的结论．
此题主要考查的知识要点：函数的图像的平移变换，函数的图像和性质的应用，函数的关系式的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为m的圆B，
点D为线段AC的中点，点G为线段AC的中垂线与直线AB的交点，则|GA|=|GC|，
当m=4时，线段AC为圆B的弦，则AC的中垂线过圆心B，点G即点B，A错误；
当6⩽m⩽8时，如图1，点G在线段AB上，连接GC，
则|GC|+|GB|=|GA|+|GB|=|AB|=m，
∴点G的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为m的椭圆，即a=m2,c=2，
则椭圆的离心率e=ca=4m∈[12,23]，B正确；
当G为椭圆短轴顶点时，△BCG面积的最大，
若m=5时，则a=52,c=2,b=a2-c2=32，最大面积为bc=3，D正确；
当m=2时，过点C作圆B的切线，切点为M，N，
若点A在劣弧MN⏜(不包括端点M，N)上，如图2，点G在BA的延长线上，连接GC，
则|GB|-|GC|=|GB|-|GA|=|AB|=2，
∴点G的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为m的双曲线的左半支；
若点A在优弧MN⏜(不包括端点M，N)上，如图3，点G在AB的延长线上，连接GC，
则|GC|-|GB|=|GA|-|GB|=|AB|=2，
∴点G的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为m的双曲线的右半支，
则点G的轨迹为双曲线，
∴a=1,c=2,b=c2-a2=3，渐近线方程为y=±bax=±3x，C正确；
故选：BCD.
根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为m的圆B，点D为线段AC的中点，点G为线段AC的中垂线与直线AB的交点，则|GA|=|GC|，利用图形结合圆锥曲线定义理解分析．
此题主要考查了与圆锥曲线有关的轨迹方程，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：对于A，过P作PQ//BC交CC1于Q，连A1Q，
依题意，对任意位置的点P，C1Q=B1P，
则A1P=A1Q，△A1PQ为等腰三角形，∠A1PQ为锐角，即A1P不垂直于PQ，A1P也不垂直于BC，A不正确；
对于B，当λ=12时，B1P=1，过点P作与底面A1B1C1平行的正三棱柱ABC-A1B1C1的截面PQT，
则三棱柱TPQ-A1B1C1是棱长为1的正三棱柱，它与三棱锥P-A1B1C1有相同的外接球，
球心到平面A1B1C1的距离d=12,ΔA1B1C1的外接圆半径r=33，则球半径R=d2+r2=712，
于是得三棱锥P-A1B1C1的外接球表面积为S=4πR2=7π3，B正确；
对于C，当λ=14时，B1P=12，记此时点P为P1，过P1作P1D//BC1交B1C1于D，连A1D，
则∠A1P1D是异面直线A1P1和C1B所成的角或其补角，A1P1=52,P1D=54，
而A1D2=A1B12+B1D2-2A1B1⋅B1Dcos60°=1316，
在△A1P1D中，由余弦定理得：cos∠A1P1D=A1P12+P1D2-A1D22A1P1⋅P1D=35，C不正确；
对于D，因B1C1//BC，则过点P与直线AB和直线B1C1都成60°角的问题转化为过点B与直线AB和直线BC都成60°角的问题，
显然∠ABC的平分线所在m与直线AB和BC都成30°角，在由直线m与BB1确定的平面内将m绕点B旋转，
旋转过程中的每一位置的直线与直线AB和BC都成θ角，θ∈[30°,90°]，
当θ∈(30°,90°)时，由旋转方向的不同，这样的直线有2条，
此时，过点B与直线AB和直线B1C1所成角都是60°的直线有2条，
∠ABC的邻补角平分线所在n与直线AB和BC都成60°角，
在由直线n与BB1确定的平面内将n绕点B旋转，旋转过程中的每一位置的直线与直线AB和BC都成α角，
α∈[60°,90°]°，
当α∈(60°,90°)时，由旋转方向的不同，这样的直线有2条，
此时，过点B与直线AB和直线B1C1所成角都是60°的直线只有1条，即直线n，
综上得，过P且与直线AB和直线B1C1所成角都是60°的直线有三条，D正确．
故选：BD.
过P作PQ//BC交CC1于Q，证明A1P=A1Q判断A；过BB1中点作与平面A1B1C1的平行截面，求截面与底面A1B1C1间的正三棱柱外接球半径计算判断B；λ=14时，作出异面直线所成的角计算判断C；分析过B且与直线AB和BC都成60°角的直线条数判断D作答．
此题主要考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
13.【答案】 -1010
【解析】解：因为α∈(π,3π2)，tan(α-π4)=12，
所以tanα-tanπ41+tanαtanπ4=12，解得tanα=3，
所以sin2α+cos2α=1tanα=sinαcosα=3，解得cosα=-1010.
故答案为：-1010.
根据α∈(π,3π2)，tan(α-π4)=12，求出tanα，再结合同角三角函数的基本关系，求出cosα.
此题主要考查的知识要点：同角三角函数的关系式，差的正切函数，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
14.【答案】 7
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
由S7=35，得7a1+21d=35，又a1=2，所以14+21d=35，解得d=1，
所以a6=a1+5d=2+5=7.
故答案为：7.
设等差数列{an}的公差为d，根据a1=2，S7=35，可求出d值，从而利用a6=a1+5d进行求解即可．
此题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
15.【答案】 8186
【解析】解：∵某种袋装食品每袋质量X～N(500,16)，
∴P(492
∴袋装质量在区间(492,504]的约10000×0.8186=8186.
故答案为：8186.
根据已知条件，结合正态分布的对称性，结合频率与频数的关系，即可求解．
本题主要正态分布的对称性，结合频率与频数的关系，属于基础题．
16.【答案】 [1e，e2]
【解析】解：由题ael-x=elna+1-x，原式变形：elna-lna⩾elna+1-x+ex-e-x，
移项且两边同时加1得e(lna+1-x)+1⩾elna+1-x+lna+1-x，
令lna+1-x=t，原式可得et+1⩾et+t，令f(t)=et+t，g(t)=et+1，
因为g(0)=f(0)=1，g(1)=f(1)=e+1，
由下图图像可知，当f(x)⩽g(x)时，可得t∈[0,1]，故0⩽lna+1-x⩽1，
所以x-1⩽lna⩽x，因为题目中为存在性命题，且x∈[0,2]，
所以-1⩽lna⩽2，解得1e⩽a⩽e2，
即实数a的取值范围是[1e,e2].
故答案为：[1e,e2].
利用同构思想将原始变形，构造新不等式et+1⩾et+t，通过数形结合得到t的范围，由此反推出a的范围．
同构题型识别度较高，当题目中同一个参数出现在多个位置，且一般无法分离，同时式子中指数对数幂函数三类形式的函数时，常常想到同构思想来解题．
17.【答案】解：（1）在△ABC中，BC=2，AC=2，A=π4，
由正弦定理得：BCsinA=ACsinB，2sinπ4=2sinB⇒sinB=12，
因为B∈（0，π），则B=16π或B=56π（不合题意，舍去），
则C=π-π4-π6=712π，
所以△ABC的面积为S△ABC=12⋅CB⋅CA⋅sin712π=12×2×2sin(π3+π4)=3+12；
（2）在△BCN中，BC=2，BN=3，B=π6，
由余弦定理可得CN=BC2+BN2-2BC⋅BNcosπ6=4+3-6=1，
则有BC2=BN2+CN2，所以CN⊥AB，
在直角△CMN中，CN=1，∠MCN=π6MNCN=tanπ6=33⇒MN=33．
MNMNMNMNMNMNMNMNMNMNMNMNMNMNMN．
NMNMNMNMNMNMNMNNMNMNMNMNMNMN
【解析】
(1)由已知结合正弦定理可求B，进而可求C；
(2)由已知结合余弦定理可求CN，然后结合勾股定理判断△CMN为直角三角形，进而可求．
此题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：（1）由Sn-n=12(an+1)，
得Sn+1-(n+1)=12(an+1+1)(n∈N*)，
两式相减可得：an+1+an=2，
因为a1=3，得a2=-1
数列{an}为3，-1，3，-1，3，-1，3，
即an={3,n为奇数-1,n为偶数，
当n为偶数时，Sn=n2[3+(-1)]=n，
当n为奇数时，Sn=n-12[3+(-1)]+3=n+2，
则Sn={n+2,n为奇数n,n为偶数；
（2）证明：由bk=1(S2k+1)·S2k+1(k∈N*)，
则有bn=1(S2n+1)·S2n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1-12n+3)，
所以Tn=12(13-15+15-17+12n+1-12n+3)，
故Tn=12(13-12n+3)＜16，
故命题得证．
【解析】
(1)由Sn-n=12(an+1)，得Sn+1-(n+1)=12(an+1+1)(n∈N*)，两式相减可得：an+1+an=2，然后求数列通项公式即可；
(2)由已知有bn=1(S2n+1)·S2n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1-12n+3)，然后累加求和即可．
此题主要考查了利用递推式求数列的通项公式，重点考查了裂项求和法，属中档题．
19.【答案】解：（1）2×2列联表如下表所示：
男生
女生
合计
喜欢
6n
5n
11n
不喜欢
4n
5n
9n
合计
10n
10n
20n
K2=20n×(6n×5n-4n×5n)210n×10n×11n×9n=20n99≈4.040，
∵n∈N*，可得n=20，
∵P（K2≥3.841）=0.05，
∴有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关．
（2）①采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为1-C43C93=1-484=2021．
②由题意可知X～B（10，1120），
故E(X)=10×1120=112．
【解析】
(1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
(2)①根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及对立事件概率和为1，即可求解．
②结合二项分布的概率公式，即可求解．
此题主要考查离散型随机变量期望的求解，以及独立性检验公式，属于中档题．
20.【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
由直四棱柱得GD⊥底面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴GD⊥AC，
又BD⋂GD=D，BD，GD⊂平面BDG，
∴AC⊥平面BDG，因为BG⊂平面BDG，
∴AC⊥BG，
已知CE⊥BG，又AC⋂CE=C，AC，CE⊂平面ACE，
∴BG⊥平面ACE，
因为AE⊂平面BDG，∴平面ABE∥平面CFGD，
平面AEFG⋂平面ABE=AE，平面AEFG⋂平面CFGD=GF，
∴FG∥AE，则FG⊥BG．
（2）解：已知AB=2，∠DAB=60°，可求BD=2，AC=23，
由VGACD=13×12×2×2×sin120°×GD=233，则GD=2，
在直四棱柱中，FC⊥底面ABCD，
所以∠FAC为直线AF与底面ABCD所成角，tan∠FAC=FCAC=32，则FC=3，
在平面ACF内作Oz∥CF，可知Oz⊥底面ABCD，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，
则A(3，0，0)，B（0，1，0），C(-3，0，0)，G（0，-1，2），F(-3，0，3)，
OE→=OA→+AE→=OA→+GF→=(3，0，0)+(-3，1，1)=(0，1，1)，
则CE→=(3，1，1)，CB→=(3，1，0)，
设平面BCE的法向量为m→=(x，y，z)，
则{m→⋅CE→=3x+y+z=0m→⋅CB→=3x+y=0，
取x=1，得y=-3，z=0，得m→=(1，-3，0)，
由（1）知BG⊥平面ACE，所以平面ACE的一个法向量为n→=BG→=(0，-2，2)，
则cos〈m→，n→〉=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=232·22=64，
所以锐二面角A-EC-B的余弦值为64．
【解析】
(1)根据题意可证AC⊥平面BDG，可得AC⊥BG，得证BG⊥平面ACE，得BG⊥AE，再根据面面平行的性质可证FG⊥BG；
(2)根据题意可得GD=2，FC=3，利用空间向量求二面角．
此题主要考查空间中的垂直关系，空间向量及其应用，二面角的相关计算等知识，属于中等题．
21.【答案】解：（1）已知F为抛物线Г：x2=2py（p＞0）的焦点，点P在抛物线Г上，O为坐标原点，△OPF的外接圆与抛物线Г的准线相切，且该圆周长为3π．
F(0，p2)圆心在直线y=p4上，又外接圆与准线y=-p2相切，
所以半径为p4+p2=34p，
所以周长为2π⋅34p=3π，所以p=2，
故抛物线方程为x2=4y；
（2）已知F为抛物线Г：x2=2py（p＞0）的焦点，点P在抛物线Г上，O为坐标原点，△OPF的外接圆与抛物线Г的准线相切，且该圆周长为3π．
设点A(x1，x124)，B(x2，x224)，C(x3，x334)（x1＞x2＞x3），直线AB的斜率为k（k＞0），
因为AB⊥BC，则直线BC的斜率为-1k，因为|AB|=|BC|，
则|x1-x2|⋅1+k2=|x2-x3|⋅1+1k2，得x2-x3=k（x1-x2），①
因为k=x124-x224x1-x2=x1+x24，则x1+x2=4k，得x1=4k-x2，②
因为-1k=x224-x324x2-x3=x2+x34，则x2+x3=-4k，即x3=-x2-4k，③
将②③代入①，得2x2+4k=k(4k-2x2)，即(k+1)x2=2k2-2k=2(k3-1)k，
则x2=2(k3-1)k(k+1)，
所以AB→⋅AC→=|AB→|⋅|AC→|cos45°=|AB→|2=(x1-x2)2(1+k2)=(4k-2x2)2(1+k2)=[4k-4(k3-1)k(k+1)]2(1+k2)=16(k2+1)3k2(k+1)2，
因为k2+1≥2k，则（k2+1）2≥4k2，
又k2+1≥(k+1)22，则（k2+1）3≥2k2（k+1）2，
从而(k2+1)3k2(k+1)2≥2，当且仅当k=1时取等号，所以AB→⋅AC→的最小值为32．
【解析】
(1)可得△OPF的外接圆圆心在直线y=p4上，然后可求出圆的半径，然后根据周长可求出p的值；
(2)设点A(x1,x124),B(x2,x224),C(x3,x334)(x1>x2>x3)，直线AB的斜率为k(k>0)，由|AB|=|BC|可得x2-x3=k(x1-x2)，然后结合k=x1+x24、-1k=x2+x34可得x2=2(k3-1)k(k+1)，然后可得AB→⋅AC→=|AB→|=16(k2+1)3k2(k+1)2，然后可求出答案．
此题主要考查了抛物线的性质，属于中档题．
22.【答案】解：（1）由f(x)=alnxx+1，得f'(x)=a(1+1x-lnx)(x+1)2，
曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线2x+y=0垂直，
则f'(1)=a2=12，即a=1，∴g(x)=x(x+1)f(x)=xlnx，
g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），则g'(x)=lnx-1(lnx)2．
当x∈（0，1）⋃（1，e）时，g'（x）＜0，x∈（e，+∞）时，g'（x）＞0，
函数g（x）的单调增区间为（e，+∞），单调减区间为（0，1），（1，e）
（2）当x＞0，且x≠1时，f(x)＞lnxx-1+k-1x，即lnxx+1-lnxx-1-k-1x＞0，
lnxx+1-lnxx-1-k-1x=2lnx1-x2-k-1x=11-x2(2lnx+(k-1)(x2-1)x)＞0，
构建h(x)=2lnx+(k-1)(x2-1)x(x＞0)，则h'(x)=(k-1)(x2+1)+2xx2．
当k≤0，由h'(x)=k(x2+1)-(x-1)2x2≤0，当x＞0时恒成立，
h（x）在（0，+∞）上单调递减且h（1）=0，
当x∈（0，1）时，h（x）＞0，则11-x2h(x)＞0；
当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，则11-x2h(x)＞0，
∴当x＞0，且x≠1时，f(x)＞lnxx-1+k-1x．
当0＜k＜1时，当x∈(1，11-k)时，
k（x2+1）-（x-1）2=（k-1）x2+2x+（k-1）＞0，
h（x）在(1，11-k)上单调递增且h（1）=0，
∴当x∈(1，11-k)时，h（x）＞0，可得11-x2h(x)＜0，与题设矛盾．
当k≥1，则k（x2+1）-（x-1）2=（k-1）（x2+1）+2x＞0，
h（x）在（0，+∞）上单调递增且h（1）=0，
∴当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得11-x2h(x)＜0，与题设矛盾．
综上，k的取值范围为（-∞，0]．
【解析】
(1)根据题意结合导数的几何意义，可得f'(1)=12，则a=1，对g(x)求导，利用导数判断单调性，注意函数的定义域；
(2)整理得11-x2h(x)>0，对h(x)>0求导，分类讨论求解即可．
此题主要考查了利用导数研究函数的单调性与切线方程，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
2022年山东省德州市高考数学三模试卷
1.（5分）已知全集为R，设集合A={x|x⩽3}，B={x|y=ln(2-x)}，则A∩(∁RB)=()
A. (2,3) B. (2,3] C. [2,3) D. [2,3]
2.（5分）a=-2是直线ax+2y+3a=0和5x+(a-3)y+a-7=0平行的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.（5分）已知圆锥的底面直径为2，母线长为22，则其侧面展开图(扇形)的圆心角为()
A. π4 B. 3π4 C. π2 D. π
4.（5分）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系xOy中，A(-4,0)，B(2,0)，点M满足|MA||MB|=2，则点M的轨迹方程为()
A. (x+4)2+y2=16 B. (x-4)2+y2=16
C. x2+(y+4)2=16 D. x2+(y-4)2=16
5.（5分）已知对数函数f(x)的图像经过点A(18,-3)与点B(16,t)，a=log0.1t，b=0.2t，c=t0.1，则()
A. c
A. 80 B. 24 C. -12 D. -48
7.（5分）已知平面向量a→=(2,0)，b→=(0,1)，且非零向量c→满足(a→-2c→)⊥(b→-c→)，则|c→|的最大值是()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
8.（5分）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对于任意x1≠x2，必有f(x1)≠f(x2)，若函数F(x)=f(x2-m)+f(3-2x)只有一个零点，则函数g(x)=mx2-62-x(x<2)有()
A. 最小值为-4 B. 最大值为-4 C. 最小值为4 D. 最大值为4
9.（5分）已知复数z=5i1+2i，则下列各项正确的为()
A. 复数z的虚部为i B. 复数z-2为纯虚数
C. 复数z的共轭复数对应点在第四象限 D. 复数z的模为5
10.（5分）已知函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)图像的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为3π4，则()
A. 函数f(x)的最小正周期为3π
B. 将函数f(x)的图像向左平移π4个单位长度后所得图像关于原点对称
C. 函数f(x)在[π,52π]上为增函数
D. 设g(x)=e|x|f(32x+π4)，则g(x)在(-10π,10π)内有20个极值点
11.（5分）已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为m，点D、G满足AD→=DC→，DG→·AC→=0，且G点在直线AB上，若以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则()
A. 当m=4时，点G的轨迹为圆
B. 当6⩽m⩽8时，点G的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为[12,23]
C. 当m=2时，点G的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为y=±3x
D. 当m=5时，△BCG面积的最大值为3
12.（5分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AC=1，AA1=2，P为线段BB1上的动点，且B1P→=λB1B→，则()
A. 存在λ，使得A1P⊥BC
B. 当λ=12时，三棱锥P-A1B1C1的外接球表面积为7π3
C. 当λ=14时，异面直线A1P和C1B所成角的余弦值为53939
D. 过P且与直线AB和直线B1C1所成角都是60°的直线有三条
13.（5分）已知α∈(π,3π2)，tan(α-π4)=12，则cosα=______.
14.（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1=2，S7=35，则a6=______.
15.（5分）已知某种袋装食品每袋质量X～N(500,16)，则随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间(492,504]的约 ______袋(质量单位：g).
(附：X～N(μ,σ2)，则P(μ-σ
17.（12分）如图，在△ABC中，BC=2，AC=2，A=π4，点M、N是边AB上的两点，∠MCN=π6.
(1)求△ABC的面积；
(2)当BN=3，求MN的长．
18.（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，Sn-n=12(an+1)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式an和前n项和Sn；
(2)设bk=1(S2k+1)·S2k+1(k∈N*)，数列{bn}的前n项和记为Tn，证明：Tn<16(n∈N*).
19.（12分）某学校对男女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男女生人数均为10n(n∈N*)，统计得到以下2×2列联表，经过计算可得K2≈4.040.
男生
女生
合计
喜欢
6n
不喜欢
5n
合计
10n
10n
(1)完成表格求出n值，并判断有多大的把握认为该校学生对长跑的喜欢情况与性别有关；
(2)①为弄清学生不喜欢长跑的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；
②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对长跑喜欢的人数为X，求X的数学期望．
附表：
P(K2⩾k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
20.（12分）已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示．
(1)若CE⊥BG，求证：FG⊥BG；
(2)若AB=2，∠DAB=60°，三棱锥GACD的体积为233，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为32，求锐二面角A-EC-B的余弦值．
21.（12分）已知F为抛物线Г：x2=2py(p>0)的焦点，点P在抛物线Г上，O为坐标原点，△OPF的外接圆与抛物线Г的准线相切，且该圆周长为3π.
(1)求抛物线Г的方程；
(2)如图，设点A，B，C都在抛物线Г上，若△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，求AB→·AC→的最小值．
22.（12分）已知函数f(x)=alnxx+1，曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线2x+y=0垂直．
(1)设g(x)=x(x+1)f(x)，求g(x)的单调区间；
(2)当x>0，且x≠1时，f(x)>lnxx-1+k-1x，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵B={x|y=ln(2-x)}={x|2-x>0}={x|x<2}，
∴∁RB={x|x⩾2}，
∵A={x|x⩽3}，
∴A∩(∁RB)={x|2⩽x⩽3}=[2,3]，
故选：D.
先解对数不等式求出集合B，再根据集合的基本运算即可求解．
此题主要考查集合的基本运算，对数不等式的解法，比较基础．
2.【答案】A
【解析】解：当a=-2时，直线ax+2y+3a=0整理得：-2x+2y-6=0，即x-y+3=0；
5x+(a-3)y+a-7=0整理得：5x-5y-9=0，即x-y-95=0，故两直线平行，
当直线ax+2y+3a=0和5x+(a-3)y+a-7=0平行时，a2-3a-10=0，解得a=5或-2，
故a=-2是直线ax+2y+3a=0和5x+(a-3)y+a-7=0平行的充分不必要条件．
故选：A.
直接利用直线平行的性质和充分条件和必要条件的应用求出结果．
此题主要考查的知识要点：直线平行的性质，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题设，底面周长l=2π，而母线长为22，
根据扇形周长公式知：圆心角θ=2π22=π2.
故选：C.
首先求出圆锥底面周长，再根据扇形周长公式求其圆心角的大小．
此题主要考查扇形周长，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵|MA||MB|=2，即|MA|=2|MB|，
设M(x,y)，则(x+4)2+y2=2(x-2)2+y2，
整理得(x-4)2+y2=16.
故选：B.
直接设M(x,y)，根据两点间距离公式|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2代入运算整理．
此题主要考查了点的轨迹方程问题，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：设f(x)=logax(a>0,a≠1)，由题意可得：loga18=-3，则a=2，
∴t=loga16=4，
a=log0.14<0,b=0.24∈(0,1),c=40.1>1，
∴a
根据对数函数可以解得a=2，t=4，再结合中间值法比较大小．
此题主要考查了对数值大小的比较，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：(1x-2y)(2x-y)5=1x(2x-y)5-2y(2x-y)5，
二项式(2x-y)5的通项为Tr+1=C5r(2x)5-r(-y)r=C5r·25-r·(-1)rx5-ryr，
令r=3得，T4=C53·22·(-1)3x2y3，
∴(1x-2y)(2x-y)5的展开式中x2y4的系数为-2×C53·22·(-1)3=80，
故选：A.
把已知多项式展开得(1x-2y)(2x-y)5=1x(2x-y)5-2y(2x-y)5，再利用二项式(2x-y)5的通项求解即可．
此题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意，设c→=(x,y)，即C的坐标为(x,y)，
则a→-2c→=(2-2x,-2y)，b→-c→=(-x,1-y)，
若(a→-2c→)⊥(b→-c→)，则(a→-2c→)⋅(b→-c→)=(2x-2)×x+(y-1)×2y=0，变形可得(x-12)2+(y-12)y2=12，
则点C在圆(x-12)2+(y-12)2=12上，其圆心为(12,12)，半径为22，
则点C到原点O距离的最大值为14+14+22=2，
故选：B.
根据题意，设c→=(x,y)，即C的坐标为(x,y)，由向量数量积的坐标计算公式可得(a→-2c→)⋅(b→-c→)=(2x-2)×x+(y-1)×2y=0，变形可得关于x、y的关系式，分析C的轨迹，结合点与圆的位置关系分析可得答案．
此题主要考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量垂直的性质，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：由F(x)=f(x2-m)+f(3-2x)=0，可得f(x2-m)=-f(3-2x)，
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x2-m)=-f(3-2x)=f(2x-3)，
因为对于任意x1≠x2，必有f(x1)≠f(x2)，
所以x2-m=2x-3，即x2-2x-m+3=0，
因为函数F(x)=f(x2-m)+f(3-2x)只有一个零点，
所以方程x2-2x-m+3=0只有一个根，
所以Δ=4-4(-m+3)=0，解得m=2，
所以g(x)=2x2-62-x，
令t=2-x(t>0)，则x=2-t，
所以y=2x2-62-x=2(2-t)2-6t=2t2-8t+2t=2t+2t-8⩾22t·2t-8=-4，
当且仅当2t=2t，即t=1，x=1时等号成立，
所以函数g(x)=mx2-62-x(x<2)有最小值为-4.
故选：A.
由函数F(x)=f(x2-m)+f(3-2x)只有一个零点，结合条件可得方程x2-2x-m+3=0只有一个根，即可求出m，然后可求出g(x)的最值情况．
此题主要考查了函数的零点、奇偶性及利用基本不等式求函数的最小值，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：z=5i1+2i=5i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=2+i，
复数z的虚部为1，故A错误，
复数z-2=2+i-2=i为纯虚数，故B正确，
复数z的共轭复数对应点(2,-1)在第四象限，故C正确，
|z|=22+(-1)2=5，故D错误．
故选：BC.
根据已知条件，先对z化简，即可依次求解．
此题主要考查复数的四则运算，虚部和纯虚数的定义，复数的几何意义，复数模公式，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)图像的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为3π4，
对于A：故T4=3π4，所以T=3π，故A正确；
所以ω=2π3π=23，
故f(x)=sin(23x-π6)；
对于B：将函数f(x)的图像向左平移π4个单位长度后，得到g(x)=sin23x的图像，所得图像关于原点对称，故B正确；
对于C：由于x∈[π,52π]，所以23x-π6∈[π2,3π2]，故函数在该区间上单调递减，故C错误；
对于D：由于g(x)=e|x|f(32x+π4)=e|x|·sinx，
由于函数g(-x)=g(x)为奇函数，故函数在(0,10π)上有10个极值点，故函数在(-10π,10π)内有20个极值点，故D正确．
故选：ABD.
直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的关系式的变换的应用判断A、B、C、D的结论．
此题主要考查的知识要点：函数的图像的平移变换，函数的图像和性质的应用，函数的关系式的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为m的圆B，
点D为线段AC的中点，点G为线段AC的中垂线与直线AB的交点，则|GA|=|GC|，
当m=4时，线段AC为圆B的弦，则AC的中垂线过圆心B，点G即点B，A错误；
当6⩽m⩽8时，如图1，点G在线段AB上，连接GC，
则|GC|+|GB|=|GA|+|GB|=|AB|=m，
∴点G的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为m的椭圆，即a=m2,c=2，
则椭圆的离心率e=ca=4m∈[12,23]，B正确；
当G为椭圆短轴顶点时，△BCG面积的最大，
若m=5时，则a=52,c=2,b=a2-c2=32，最大面积为bc=3，D正确；
当m=2时，过点C作圆B的切线，切点为M，N，
若点A在劣弧MN⏜(不包括端点M，N)上，如图2，点G在BA的延长线上，连接GC，
则|GB|-|GC|=|GB|-|GA|=|AB|=2，
∴点G的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为m的双曲线的左半支；
若点A在优弧MN⏜(不包括端点M，N)上，如图3，点G在AB的延长线上，连接GC，
则|GC|-|GB|=|GA|-|GB|=|AB|=2，
∴点G的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为m的双曲线的右半支，
则点G的轨迹为双曲线，
∴a=1,c=2,b=c2-a2=3，渐近线方程为y=±bax=±3x，C正确；
故选：BCD.
根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为m的圆B，点D为线段AC的中点，点G为线段AC的中垂线与直线AB的交点，则|GA|=|GC|，利用图形结合圆锥曲线定义理解分析．
此题主要考查了与圆锥曲线有关的轨迹方程，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：对于A，过P作PQ//BC交CC1于Q，连A1Q，
依题意，对任意位置的点P，C1Q=B1P，
则A1P=A1Q，△A1PQ为等腰三角形，∠A1PQ为锐角，即A1P不垂直于PQ，A1P也不垂直于BC，A不正确；
对于B，当λ=12时，B1P=1，过点P作与底面A1B1C1平行的正三棱柱ABC-A1B1C1的截面PQT，
则三棱柱TPQ-A1B1C1是棱长为1的正三棱柱，它与三棱锥P-A1B1C1有相同的外接球，
球心到平面A1B1C1的距离d=12,ΔA1B1C1的外接圆半径r=33，则球半径R=d2+r2=712，
于是得三棱锥P-A1B1C1的外接球表面积为S=4πR2=7π3，B正确；
对于C，当λ=14时，B1P=12，记此时点P为P1，过P1作P1D//BC1交B1C1于D，连A1D，
则∠A1P1D是异面直线A1P1和C1B所成的角或其补角，A1P1=52,P1D=54，
而A1D2=A1B12+B1D2-2A1B1⋅B1Dcos60°=1316，
在△A1P1D中，由余弦定理得：cos∠A1P1D=A1P12+P1D2-A1D22A1P1⋅P1D=35，C不正确；
对于D，因B1C1//BC，则过点P与直线AB和直线B1C1都成60°角的问题转化为过点B与直线AB和直线BC都成60°角的问题，
显然∠ABC的平分线所在m与直线AB和BC都成30°角，在由直线m与BB1确定的平面内将m绕点B旋转，
旋转过程中的每一位置的直线与直线AB和BC都成θ角，θ∈[30°,90°]，
当θ∈(30°,90°)时，由旋转方向的不同，这样的直线有2条，
此时，过点B与直线AB和直线B1C1所成角都是60°的直线有2条，
∠ABC的邻补角平分线所在n与直线AB和BC都成60°角，
在由直线n与BB1确定的平面内将n绕点B旋转，旋转过程中的每一位置的直线与直线AB和BC都成α角，
α∈[60°,90°]°，
当α∈(60°,90°)时，由旋转方向的不同，这样的直线有2条，
此时，过点B与直线AB和直线B1C1所成角都是60°的直线只有1条，即直线n，
综上得，过P且与直线AB和直线B1C1所成角都是60°的直线有三条，D正确．
故选：BD.
过P作PQ//BC交CC1于Q，证明A1P=A1Q判断A；过BB1中点作与平面A1B1C1的平行截面，求截面与底面A1B1C1间的正三棱柱外接球半径计算判断B；λ=14时，作出异面直线所成的角计算判断C；分析过B且与直线AB和BC都成60°角的直线条数判断D作答．
此题主要考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
13.【答案】 -1010
【解析】解：因为α∈(π,3π2)，tan(α-π4)=12，
所以tanα-tanπ41+tanαtanπ4=12，解得tanα=3，
所以sin2α+cos2α=1tanα=sinαcosα=3，解得cosα=-1010.
故答案为：-1010.
根据α∈(π,3π2)，tan(α-π4)=12，求出tanα，再结合同角三角函数的基本关系，求出cosα.
此题主要考查的知识要点：同角三角函数的关系式，差的正切函数，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
14.【答案】 7
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
由S7=35，得7a1+21d=35，又a1=2，所以14+21d=35，解得d=1，
所以a6=a1+5d=2+5=7.
故答案为：7.
设等差数列{an}的公差为d，根据a1=2，S7=35，可求出d值，从而利用a6=a1+5d进行求解即可．
此题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
15.【答案】 8186
【解析】解：∵某种袋装食品每袋质量X～N(500,16)，
∴P(492
∴袋装质量在区间(492,504]的约10000×0.8186=8186.
故答案为：8186.
根据已知条件，结合正态分布的对称性，结合频率与频数的关系，即可求解．
本题主要正态分布的对称性，结合频率与频数的关系，属于基础题．
16.【答案】 [1e，e2]
【解析】解：由题ael-x=elna+1-x，原式变形：elna-lna⩾elna+1-x+ex-e-x，
移项且两边同时加1得e(lna+1-x)+1⩾elna+1-x+lna+1-x，
令lna+1-x=t，原式可得et+1⩾et+t，令f(t)=et+t，g(t)=et+1，
因为g(0)=f(0)=1，g(1)=f(1)=e+1，
由下图图像可知，当f(x)⩽g(x)时，可得t∈[0,1]，故0⩽lna+1-x⩽1，
所以x-1⩽lna⩽x，因为题目中为存在性命题，且x∈[0,2]，
所以-1⩽lna⩽2，解得1e⩽a⩽e2，
即实数a的取值范围是[1e,e2].
故答案为：[1e,e2].
利用同构思想将原始变形，构造新不等式et+1⩾et+t，通过数形结合得到t的范围，由此反推出a的范围．
同构题型识别度较高，当题目中同一个参数出现在多个位置，且一般无法分离，同时式子中指数对数幂函数三类形式的函数时，常常想到同构思想来解题．
17.【答案】解：（1）在△ABC中，BC=2，AC=2，A=π4，
由正弦定理得：BCsinA=ACsinB，2sinπ4=2sinB⇒sinB=12，
因为B∈（0，π），则B=16π或B=56π（不合题意，舍去），
则C=π-π4-π6=712π，
所以△ABC的面积为S△ABC=12⋅CB⋅CA⋅sin712π=12×2×2sin(π3+π4)=3+12；
（2）在△BCN中，BC=2，BN=3，B=π6，
由余弦定理可得CN=BC2+BN2-2BC⋅BNcosπ6=4+3-6=1，
则有BC2=BN2+CN2，所以CN⊥AB，
在直角△CMN中，CN=1，∠MCN=π6MNCN=tanπ6=33⇒MN=33．
MNMNMNMNMNMNMNMNMNMNMNMNMNMNMN．
NMNMNMNMNMNMNMNNMNMNMNMNMNMN
【解析】
(1)由已知结合正弦定理可求B，进而可求C；
(2)由已知结合余弦定理可求CN，然后结合勾股定理判断△CMN为直角三角形，进而可求．
此题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：（1）由Sn-n=12(an+1)，
得Sn+1-(n+1)=12(an+1+1)(n∈N*)，
两式相减可得：an+1+an=2，
因为a1=3，得a2=-1
数列{an}为3，-1，3，-1，3，-1，3，
即an={3,n为奇数-1,n为偶数，
当n为偶数时，Sn=n2[3+(-1)]=n，
当n为奇数时，Sn=n-12[3+(-1)]+3=n+2，
则Sn={n+2,n为奇数n,n为偶数；
（2）证明：由bk=1(S2k+1)·S2k+1(k∈N*)，
则有bn=1(S2n+1)·S2n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1-12n+3)，
所以Tn=12(13-15+15-17+12n+1-12n+3)，
故Tn=12(13-12n+3)＜16，
故命题得证．
【解析】
(1)由Sn-n=12(an+1)，得Sn+1-(n+1)=12(an+1+1)(n∈N*)，两式相减可得：an+1+an=2，然后求数列通项公式即可；
(2)由已知有bn=1(S2n+1)·S2n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1-12n+3)，然后累加求和即可．
此题主要考查了利用递推式求数列的通项公式，重点考查了裂项求和法，属中档题．
19.【答案】解：（1）2×2列联表如下表所示：
男生
女生
合计
喜欢
6n
5n
11n
不喜欢
4n
5n
9n
合计
10n
10n
20n
K2=20n×(6n×5n-4n×5n)210n×10n×11n×9n=20n99≈4.040，
∵n∈N*，可得n=20，
∵P（K2≥3.841）=0.05，
∴有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关．
（2）①采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为1-C43C93=1-484=2021．
②由题意可知X～B（10，1120），
故E(X)=10×1120=112．
【解析】
(1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
(2)①根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及对立事件概率和为1，即可求解．
②结合二项分布的概率公式，即可求解．
此题主要考查离散型随机变量期望的求解，以及独立性检验公式，属于中档题．
20.【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
由直四棱柱得GD⊥底面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴GD⊥AC，
又BD⋂GD=D，BD，GD⊂平面BDG，
∴AC⊥平面BDG，因为BG⊂平面BDG，
∴AC⊥BG，
已知CE⊥BG，又AC⋂CE=C，AC，CE⊂平面ACE，
∴BG⊥平面ACE，
因为AE⊂平面BDG，∴平面ABE∥平面CFGD，
平面AEFG⋂平面ABE=AE，平面AEFG⋂平面CFGD=GF，
∴FG∥AE，则FG⊥BG．
（2）解：已知AB=2，∠DAB=60°，可求BD=2，AC=23，
由VGACD=13×12×2×2×sin120°×GD=233，则GD=2，
在直四棱柱中，FC⊥底面ABCD，
所以∠FAC为直线AF与底面ABCD所成角，tan∠FAC=FCAC=32，则FC=3，
在平面ACF内作Oz∥CF，可知Oz⊥底面ABCD，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，
则A(3，0，0)，B（0，1，0），C(-3，0，0)，G（0，-1，2），F(-3，0，3)，
OE→=OA→+AE→=OA→+GF→=(3，0，0)+(-3，1，1)=(0，1，1)，
则CE→=(3，1，1)，CB→=(3，1，0)，
设平面BCE的法向量为m→=(x，y，z)，
则{m→⋅CE→=3x+y+z=0m→⋅CB→=3x+y=0，
取x=1，得y=-3，z=0，得m→=(1，-3，0)，
由（1）知BG⊥平面ACE，所以平面ACE的一个法向量为n→=BG→=(0，-2，2)，
则cos〈m→，n→〉=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=232·22=64，
所以锐二面角A-EC-B的余弦值为64．
【解析】
(1)根据题意可证AC⊥平面BDG，可得AC⊥BG，得证BG⊥平面ACE，得BG⊥AE，再根据面面平行的性质可证FG⊥BG；
(2)根据题意可得GD=2，FC=3，利用空间向量求二面角．
此题主要考查空间中的垂直关系，空间向量及其应用，二面角的相关计算等知识，属于中等题．
21.【答案】解：（1）已知F为抛物线Г：x2=2py（p＞0）的焦点，点P在抛物线Г上，O为坐标原点，△OPF的外接圆与抛物线Г的准线相切，且该圆周长为3π．
F(0，p2)圆心在直线y=p4上，又外接圆与准线y=-p2相切，
所以半径为p4+p2=34p，
所以周长为2π⋅34p=3π，所以p=2，
故抛物线方程为x2=4y；
（2）已知F为抛物线Г：x2=2py（p＞0）的焦点，点P在抛物线Г上，O为坐标原点，△OPF的外接圆与抛物线Г的准线相切，且该圆周长为3π．
设点A(x1，x124)，B(x2，x224)，C(x3，x334)（x1＞x2＞x3），直线AB的斜率为k（k＞0），
因为AB⊥BC，则直线BC的斜率为-1k，因为|AB|=|BC|，
则|x1-x2|⋅1+k2=|x2-x3|⋅1+1k2，得x2-x3=k（x1-x2），①
因为k=x124-x224x1-x2=x1+x24，则x1+x2=4k，得x1=4k-x2，②
因为-1k=x224-x324x2-x3=x2+x34，则x2+x3=-4k，即x3=-x2-4k，③
将②③代入①，得2x2+4k=k(4k-2x2)，即(k+1)x2=2k2-2k=2(k3-1)k，
则x2=2(k3-1)k(k+1)，
所以AB→⋅AC→=|AB→|⋅|AC→|cos45°=|AB→|2=(x1-x2)2(1+k2)=(4k-2x2)2(1+k2)=[4k-4(k3-1)k(k+1)]2(1+k2)=16(k2+1)3k2(k+1)2，
因为k2+1≥2k，则（k2+1）2≥4k2，
又k2+1≥(k+1)22，则（k2+1）3≥2k2（k+1）2，
从而(k2+1)3k2(k+1)2≥2，当且仅当k=1时取等号，所以AB→⋅AC→的最小值为32．
【解析】
(1)可得△OPF的外接圆圆心在直线y=p4上，然后可求出圆的半径，然后根据周长可求出p的值；
(2)设点A(x1,x124),B(x2,x224),C(x3,x334)(x1>x2>x3)，直线AB的斜率为k(k>0)，由|AB|=|BC|可得x2-x3=k(x1-x2)，然后结合k=x1+x24、-1k=x2+x34可得x2=2(k3-1)k(k+1)，然后可得AB→⋅AC→=|AB→|=16(k2+1)3k2(k+1)2，然后可求出答案．
此题主要考查了抛物线的性质，属于中档题．
22.【答案】解：（1）由f(x)=alnxx+1，得f'(x)=a(1+1x-lnx)(x+1)2，
曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线2x+y=0垂直，
则f'(1)=a2=12，即a=1，∴g(x)=x(x+1)f(x)=xlnx，
g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），则g'(x)=lnx-1(lnx)2．
当x∈（0，1）⋃（1，e）时，g'（x）＜0，x∈（e，+∞）时，g'（x）＞0，
函数g（x）的单调增区间为（e，+∞），单调减区间为（0，1），（1，e）
（2）当x＞0，且x≠1时，f(x)＞lnxx-1+k-1x，即lnxx+1-lnxx-1-k-1x＞0，
lnxx+1-lnxx-1-k-1x=2lnx1-x2-k-1x=11-x2(2lnx+(k-1)(x2-1)x)＞0，
构建h(x)=2lnx+(k-1)(x2-1)x(x＞0)，则h'(x)=(k-1)(x2+1)+2xx2．
当k≤0，由h'(x)=k(x2+1)-(x-1)2x2≤0，当x＞0时恒成立，
h（x）在（0，+∞）上单调递减且h（1）=0，
当x∈（0，1）时，h（x）＞0，则11-x2h(x)＞0；
当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，则11-x2h(x)＞0，
∴当x＞0，且x≠1时，f(x)＞lnxx-1+k-1x．
当0＜k＜1时，当x∈(1，11-k)时，
k（x2+1）-（x-1）2=（k-1）x2+2x+（k-1）＞0，
h（x）在(1，11-k)上单调递增且h（1）=0，
∴当x∈(1，11-k)时，h（x）＞0，可得11-x2h(x)＜0，与题设矛盾．
当k≥1，则k（x2+1）-（x-1）2=（k-1）（x2+1）+2x＞0，
h（x）在（0，+∞）上单调递增且h（1）=0，
∴当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得11-x2h(x)＜0，与题设矛盾．
综上，k的取值范围为（-∞，0]．
【解析】
(1)根据题意结合导数的几何意义，可得f'(1)=12，则a=1，对g(x)求导，利用导数判断单调性，注意函数的定义域；
(2)整理得11-x2h(x)>0，对h(x)>0求导，分类讨论求解即可．
此题主要考查了利用导数研究函数的单调性与切线方程，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
相关试卷
2022年山东省德州市高考数学二模试卷： 这是一份2022年山东省德州市高考数学二模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省德州市高考数学模拟试卷（一模）： 这是一份2021年山东省德州市高考数学模拟试卷（一模），共30页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省德州市高考数学二模试卷： 这是一份2021年山东省德州市高考数学二模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
