山东省德州市2022届高三数学三模试卷及答案

 高三数学三模试卷

一、单选题

1．已知全集为，设集合，，则（　　）

A． B． C． D．

2．是直线和平行的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（　　）

A． B． C． D．

4．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（　　）

A． B．

C． D．

5．已知对数函数的图像经过点与点，，，，则（　　）

A． B． C． D．

6．的展开式中的系数为（　　）

A．80 B．24 C．-12 D．-48

7．已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（　　）

A．1 B． C． D．2

8．已知函数是定义在上的奇函数，对于任意，必有，若函数只有一个零点，则函数有（　　）

A．最小值为-4 B．最大值为-4 C．最小值为4 D．最大值为4

二、多选题

9．已知复数，则下列各项正确的为（　　）

A．复数的虚部为

B．复数为纯虚数

C．复数的共轭复数对应点在第四象限

D．复数的模为5

10．已知函数图像的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则（　　）

A．函数的最小正周期为

B．将函数的图像向左平移个单位长度后所得图像关于原点对称

C．函数在上为增函数

D．设，则在内有20个极值点

11．已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为，点D，G满足，，且点在直线AB上，若以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（　　）

A．当时，点的轨迹为圆

B．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为

C．当时，点的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为

D．当时，面积的最大值为3

12．如图，在正三棱柱中，，，P为线段上的动点，且，则（　　）

A．存在，使得

B．当时，三棱锥的外接球表面积为

C．当时，异面直线和所成角的余弦值为

D．过且与直线AB和直线所成角都是的直线有三条

三、填空题

13．已知，，则　     　．

14．设 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 　     　. 

15．已知某种袋装食品每袋质量，则随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间的约　     　袋（质量单位：）.（附：，则，，）.

16．若，使不等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是　         　.

四、解答题

17．如图，在中，，，，点M､N是边AB上的两点，.

（1）求的面积；

（2）当，求MN的长.

18．已知数列的前项和为，，.

（1）求数列的通项公式和前项和；

（2）设，数列的前项和记为，证明：.

19．某学校对男女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男女生人数均为，统计得到以下2×2列联表，经过计算可得.

附表：

附：.

（1）完成表格求出n值，并判断有多大的把握认为该校学生对长跑的喜欢情况与性别有关；

（2）①为弄清学生不喜欢长跑的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；

②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对长跑喜欢的人数为X，求X的数学期望.

20．已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示.

（1）若，求证：；

（2）若，，三棱锥GACD的体积为，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值.

21．已知F为抛物线的焦点，点P在抛物线T上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线T的准线相切，且该圆周长为.

（1）求抛物线的方程；

（2）如图，设点A，B，C都在抛物线T上，若是以AC为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.

22．已知函数，曲线在处的切线与直线垂直.

（1）设，求的单调区间；

（2）当，且时，，求实数的取值范围.

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】A

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】C

6．【答案】A

7．【答案】B

8．【答案】A

9．【答案】B,C

10．【答案】A,B,D

11．【答案】B,C,D

12．【答案】B,D

13．【答案】

14．【答案】7

15．【答案】8186

16．【答案】

17．【答案】（1）解：在中，，则

由正弦定理得：，，则

因为，则或（不合题意，舍去），

则

的面积为

（2）解：在中，，，

由余弦定理可得

则有，所以

在直角中，，

，则

18．【答案】（1）解：由，得

两式相减可得，

因为，得

数列为3，，3，，3，，3，

即，

当为偶数时，；

当为奇数时，；

（2）证明：由

则有

所以，

19．【答案】（1）解：2×2列联表如下表所示：

，而，于是得，

又，

所以有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关.

（2）解：①采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，

再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为；

②由（1）知，任抽1人喜欢长跑的概率，

依题意，，所以X的数学期望是.

20．【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，底面ABCD为菱形，

∴，

由直四棱柱得底面ABCD，又平面ABCD，∴，

又，BD，平面BDG，

∴平面BDG，因为平面BDG，

∴

已知，又，AC，平面ACE，

∴平面ACE，

因为平面BDG，∴

∵平面平面CFGD

平面平面，平面平面，

∴，则

（2）解：已知，，可求，

由，则

在直四棱柱中，底面ABCD，

所以为直线AF与底面ABCD所成角，，则

在平面ACF内作，可知底面ABCD，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

则

设平面BCE的法向量为，

则

取，得，，得，

由（1）知平面ACE，所以平面ACE的一个法向量为

则，

所以锐二面角的余弦值为

21．【答案】（1）解：因为，所以的外接圆圆心在直线上，又外接圆与准线相切，

所以半径为

所以周长为，所以

故抛物线方程为

（2）解：设点，，，直线AB的斜率为，

因为，则直线BC的斜率为.因为，

则，得，①

因为，则，得，②

因为，则，即，③

将②③代入①，得，即，

则，

所以

因为，则，又，则

从而，当且仅当时取等号，所以的最小值为32.

22．【答案】（1）解：∵

曲线在处的切线与直线垂直，则，即

∴，的定义域为

则

当时，，时，，

函数的单调增区间为，单调减区间为，

（2）解：当，且时，，即

构建，则

当，由当时恒成立

在上单调递减且

当时，，则；

当时，，则

∴当，且时，.

当时，当时，

在上单调递增且

∴当时，，可得，与题设矛盾.

当，则

在上单调递增且

∴当时，，可得，与题设矛盾.

综上所述：的取值范围为.