2022年山东省泰安市高考数学三模试卷

2022年山东省泰安市高考数学三模试卷

1.（5分）已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2.（5分）已知复数，为虚数单位，则的共轭复数为

A.  B.  C.  D.

3.（5分）已知随机变量服从正态分布，若，则

A.  B.  C.  D.

4.（5分）已知对数函数的图象经过点，，，，则

A.  B.  C.  D.

5.（5分）已知双曲线的右焦点为，点为双曲线虚轴的上端点，为双曲线的左顶点，若，则双曲线的离心率为

A.  B.  C.  D.

6.（5分）已知函数，则对任意实数，，“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7.（5分）已知数列满足对任意的，，都有，且，则

A.  B.  C.  D.

8.（5分）如图，已知三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面，，，点在上底面包括边界上运动，则三棱锥的外接球表面积的最大值为
 

A.  B.  C.  D.

9.（5分）已知，，，，且，则下列说法正确的为

A. 的最小值为 B.
C.  D.

10.（5分）已知实数，满足方程，则下列说法正确的

A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为

11.（5分）已知函数，则下列说法正确的是

A. 函数的最小正周期为
B. 函数的对称轴方程为
C. 函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D. 方程在内有个根

12.（5分）已知函数有两个不同的零点，，符号表示不超过的最大整数，如，，则下列结论正确的是

A. 的取值范围为
B. 的取值范围为
C.
D. 若，则的取值范围为

13.（5分）已知，则______.

14.（5分）已知函数，则______.

15.（5分）如图，在中，，，点在线段上不与，点重合，若的面积为，，则实数______，的最小值为 ______.
 

16.（5分）从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，若直线的倾斜角为，则点的横坐标为 ______.

17.（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，若 
求； 
若为的中点，且，求的面积．

18.（12分）已知数列的前项和为，且满足 
求数列的通项公式； 
能否在数列中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？请说明理由．

19.（12分）如图，四边形为平行四边形，点在上，，且，沿将折起，使点到达点的位置，且 
求证：平面平面； 
若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面的夹角的余弦值．
 

20.（12分）某商场为了促销规定顾客购买满元商品即可抽奖，最多有次抽奖机会．每次抽中，可依次获得元，元，元奖金，若没有抽中，不可继续抽奖，顾客每次抽中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小明购买了元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率依次为，，，选择继续抽奖的概率均为，且每次是否抽中互不影响． 
求小明第一次抽中，但所得奖金归零的概率； 
设小明所得奖金总数为随机变量，求的分布列和数学期望．

21.（12分）已知椭圆：的离心率，四个顶点组成的菱形面积为，为坐标原点． 
求椭圆的方程； 
过：上任意点做的切线与椭圆交于点，，求证为定值．

22.（12分）已知函数， 
若函数是增函数，求实数的取值范围； 
当时，设函数，证明：恒成立．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：，，，即， 
，，，即， 
， 
故选： 
先解不等式求出，，再利用交集的定义求解． 
此题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
 

2.【答案】B

【解析】解：， 
则的共轭复数为， 
故选： 
根据复数的运算和共轭复数的定义即可求出． 
此题主要考查了复数的运算和共轭复数，属于基础题．
 

3.【答案】A

【解析】解：随机变量服从正态分布， 
， 
， 
， 
 
故选： 
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解． 
此题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 

4.【答案】D

【解析】解：由题意得， 
故，，， 
所以 
故选： 
由已知先求出，然后代入分别求出，，即可比较大小． 
此题主要考查了函数值大小的比较，属于基础题．
 

5.【答案】D

【解析】解：由题意知，，，， 
所以，， 
因为，所以，即， 
因为，所以，所以，即， 
解得， 
又，所以 
故选： 
写出，，的坐标，由，推出，再结合和，得解． 
此题主要考查双曲线的几何性质，熟练掌握直线垂直的条件，双曲线的离心率是解答该题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】C

【解析】解：， 
， 
， 
函数为奇函数， 
又， 
当时，函数单调递增，单调递减， 
所以函数在上单调递增， 
又函数为奇函数， 
所以函数在上单调递增， 
由可得，所以， 
故， 
由可得， 
所以，所以， 
所以“”是“”的充要条件， 
故选： 
判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的性质判断与的关系即可． 
此题主要考查了函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
 

7.【答案】C

【解析】解：由题意，，都有， 
令，可得：，数列是等比数列，又，，， 
可得 
故选： 
由任意的，，，且，推出数列是等比数列，然后求解即可． 
此题主要考查数列通项公式和前项和的求解，属于基础题．
 

8.【答案】B

【解析】解：因为为等腰直角三角形，， 
所以的外接圆的圆心为的中点，且， 
连接与的中点，则，所以平面， 
设球的球心为，由球的截面性质可得在上， 
设，，半径为， 
因为，所以， 
所以，又， 
所以， 
因为，所以， 
所以三棱锥的外接球表面积的最大值为， 
 
故选： 
由条件确定球心位置，引入变量表示球的半径，由此确定球的表面积及其最大值． 
此题主要考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

9.【答案】BC

【解析】解：选项，只有当，时，不等式，即，当且仅当时取最大值，即错误； 
选项，，当且仅当时时取，即正确； 
选项，，当且仅当时取，即正确； 
选项，，当且仅当时取，即错误． 
故选： 
由基本不等式和乘“”法、换元法，结合对勾函数的单调性，注意等号成立的条件，可得结论． 
此题主要考查基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
 

10.【答案】ABD

【解析】解：实数，满足方程， 
， 
对于，令，， 
则两条直线都与圆有公共点， 
，，解得，， 
故的最大值为，的最大值为，故正确， 
对于，原点到圆心的距离为， 
则圆上的点到原点的距离为， 
， 
， 
故的最大值为，故错误． 
故选： 
对于，结合点到直线的距离公式，即可求解，对于，结合两点之间的距离公式，即可求解． 
此题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
 

11.【答案】ACD

【解析】解：， 
，正确； 
令得，，错误； 
的图象向右平移个单位长度得，正确； 
由得或，， 
所以或，， 
由内的根有，，，，，，共个，符合题意． 
故选： 
先结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式及对称性，正弦函数的图象的平移，特殊角三角函数值分别检验各选项即可判断． 
此题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数的对称性，函数图象的平移，及特殊角的三角函数值的求解，属于中档题．
 

12.【答案】BD

【解析】解：函数的定义域为， 
， 
当时，，函数在上单调递增， 
函数在上至多只有一个零点，与条件矛盾， 
当时，由，可得或舍去， 
当时，，函数单调递增， 
当，函数单调递减， 
因为函数有两个不同的零点，，可得， 
所以，所以， 
所以对，错； 
不妨设， 
因为，所以， 
当时，，，则， 
当时，则， 
所以， 
当时，， 
此时，，错； 
因为， 
若则，，，， 
所以，，， 
所以， 
所以， 
若，则，，，且， 
所以， 
所以， 
所以， 
又，所以， 
所以，故满足条件的不存在， 
所以的取值范围为对． 
故选： 
利用导数研究函数的单调性，结合条件列不等式求的取值范围，由此判断，，结合零点存在性定理判断， 
函数的零点问题的解决的关键在于分析函数的单调性，并结合零点存在性定理列关系式．
 

13.【答案】 -2

【解析】解：，则， 
故答案为： 
由题意，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，得出结论． 
此题主要考查诱导公式的应用、同角三角函数的基本关系，属于基础题．
 

14.【答案】

【解析】解：， 
， 
故答案为： 
根据函数的解析式求出函数的值即可． 
此题主要考查了函数求值问题，是基础题．
 

15.【答案】  ; 略

【解析】解：， 
， 
， 
与为非零共线向量， 
存在实数，使得，解得，， 
， 
， 
的面积为， 
，解得， 
， 
当且仅当，时，等号成立， 
故的最小值为 
故答案为：； 
用，表示出与，再结合两个向量共线求出，再结合基本不等式的公式，即可求解． 
此题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．
 

16.【答案】

【解析】解：抛物线的准线：， 
设，，， 
， 
又，，，则 
由，得， 
：，即，整理得：， 
同理可得： 
点在两切线上，，， 
即，是方程的两实根，则， 
，即 
故答案为： 
设，，，利用两点求斜率公式可得，利用导数求出、的方程，可得，是方程的两实根，然后结合根与系数的关系求解，则答案可求． 
此题主要考查抛物线的几何性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】解：（1）因为c（sinA+sinC）=（a+b）（sinB-sinA）， 
所以c（a+c）=（a+b）（b-a）， 
所以+-=-ac， 
所以， 
又0°＜B＜180°， 
所以B=120°． 
（2）由题知，AB=4，BD=2，B=120°， 
因为D为AC的中点， 
所以， 
所以，整理得-4a=0， 
所以a=4， 
所以△ABC的面积为．
 

【解析】 
利用正弦定理化简已知等式可得，利用余弦定理可求的值，结合，即可求解的值． 
由题可得，两边平方，利用平面向量数量积的运算得，进而解得的值，利用三角形的面积公式即可求解． 
此题主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量数量积的运算以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

18.【答案】解：（1）∵3=2Sn+2， 
∴n=1时，3=2S1+2=2+2， 
∴=2； 
当n≥2时，3=2Sn-1+2，所以3-3=（2Sn+2）-（2Sn-1+2）=2， 
∴=3，即（n≥2）， 
∴数列{}是以2为首项，3为公比的等比数列， 
∴． 
（2）若1≤k＜m＜n，有，，成等差数列，则2=+， 
即2×2×3m-1=2×3k-1+2×3n-1，整理得， 
又k，m，n∈N*且1≤k＜m＜n， 
∴3n-m≥3，，所以，与矛盾， 
所以数列{}中找不到三项，它们按原来的顺序构成等差数列．

【解析】 
由已知条件推导出，为公比的等比数列，由此能求出 
结合的结论，利用反证法推导出不存在按原来顺序成等差数列的任意三项． 
此题主要考查数列的通项公式的求法，考查等差数列是否存在的判断，属于中档题目．
 

19.【答案】（1）证明：AE=EF=2，EB=1，∠FEB=60°， 
所以BF2=BE2+EF2-2BE⋅EF⋅cos60°=3， 
所以BE2+BF2=EF2，所以BF⊥BE， 
又因为DE⊥AB，所以DE⊥EF，DE⊥EB． 
又EF∩BE=E， 
所以DE⊥平面BEF， 
因为BF⊂平面BEF，所以BF⊥DE， 
因为EB，DE⊂平面BCDE，DE∩EB=E， 
所以BF⊥平面BCDE，又BF⊂平面BFC， 
所以平面BFC⊥平面BCDE； 
（2）解：设AD=a，则，， 
由（1）知BF⊥平面BCDE，所以∠FDB为直线DF与平面BCDE所成的角， 
所以， 
所以，解得， 
以E为坐标原点，，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 
 
则A（-2，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），C（3，2，0），， 
∴，， 
设为平面DFC的一个法向量，则， 
即，令，则z=2，所以， 
由（1）知，平面DEF⊥平面BEF，过B引EF的垂线交EF于M，则BM⊥平面DEF，求得， 
则为平面DEF的一个法向量． 
所以， 
所以平面DEF与平面DFC的夹角的余弦值为．

【解析】 
证明，推出平面，得到，证明平面，然后证明平面平面； 
说明为直线与平面所成的角，以为坐标原点，，的方向分别为轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量．利用空间向量数量积求解即可． 
此题主要考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
 

20.【答案】解：（1）记小明第i次抽中为事件Ai，（i=1，2，3），则有，，，并且A1，A2，A3两两相互独立， 
小明第一次抽中但奖金归零记为事件A，则A的概率为==． 
（2）小明所得奖金总数为随机变量X，则X=0，10，30，60，，，， 
随机变量X的分布列为：

随机变量X的数学期望为．

【解析】 
记小明第次抽中为事件，，求出概率，说明，，两两相互独立，然后求解的概率． 
小明所得奖金总数为随机变量，则，，，，求出概率，得到的分布列，然后求解随机变量的数学期望． 
此题主要考查离散型随机变量以及期望的求法，对立事件的应用，是中档题．
 

21.【答案】（1）解：由题意得，，=+ 
可得，b=2， 
所以椭圆的标准方程为． 
（2）证明：当切线l的斜率不存在时，其方程为， 
当时，将代入椭圆方程得， 
∴，，， 
， 
∴， 
当时，同理可得， 
当切线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，M（，），N（，）， 
因为l与⊙O相切，所以，所以3=8+8， 
由，得（1+2）+4kmx+2-8=0， 
∴，， 
Δ=（4km）2-4（1+2）（2-8）＞0，∴8-+4＞0， 
∴或， 
∴ 
=， 
 
= 
=， 
∴， 
综上，为定值．

【解析】 
由条件列方程求出，，由此可得椭圆标准方程；先计算当直线的斜率不存在时的值，再利用设而不求法求出当直线的斜率存在时，结合直线与圆相切的条件证明为定值． 
此题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 

22.【答案】解：（1）因为函数为增函数， 
所以f'（x）=ax-lnx-1≥0在（0，+∞）上恒成立， 
即在（0，+∞）上恒成立， 
令（x＞0），则， 
令h'（x）=0，解得x=1， 
当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减， 
∴h（x）max=h（1）=1， 
∴a≥1，即实数a的取值范围为[1，+∞）． 
（2）证明：当a=0时，g（x）=f（x）+-sinx-1=-xlnx+-sinx-1（x＞0），g'（x）=-lnx+-cosx-1， 
当x∈（0，1）时，-xlnx＞0， 
设l（x）=-sinx-1（x≥0），则l'（x）=-cosx＞0， 
∴l（x）单调递增， 
∴l（x）≥l（0）=0 
∴当x∈（0，1）时，g（x）＞0恒成立． 
当x∈[1，+∞）时，设φ（x）=-lnx+-cosx-1（x≥1），则， 
∵x≥1， 
∴≥e，sinx∈[-1，1]，． 
∴φ'（x）＞0 
∴φ（x）单调递增， 
∴φ（x）≥φ（1）=e-cos1-1＞0 
∴当x∈[1，+∞）时，g'（x）＞0 
∴g（x）在[1，+∞）上单调递增， 
∴g（x）≥g（1）=e-sin1-1＞0 
∴当x∈[1，+∞）时，g（x）＞0恒成立，综上，g（x）＞0恒成立．

【解析】 
依题意，在上恒成立，即在上恒成立，令，求出的最大值即可； 
当时，，对求导，判断函数的单调性，得到最值情况，进而得证． 
此题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．