2022年山东省威海市高考数学三模试卷

2022年山东省威海市高考数学三模试卷

1.（5分）已知复数与复平面内的点对应，则

A.  B.  C.  D.

2.（5分）设集合，，且，则

A.  B.  C.  D.

3.（5分）等差数列的前项和为，若，，则公差

A.  B.  C.  D.

4.（5分）已知函数为偶函数，则

A.  B.  C.  D.

5.（5分）甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站查到共有人参与评价，其中好评率为，乙在网站查到共有人参与评价，其中好评率为综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为

A.  B.  C.  D.

6.（5分）已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为

A.  B.  C.  D.

7.（5分）已知圆柱的高和底面半径均为，为上底面圆周的直径，点是上底面圆周上的一点且，，是圆柱的一条母线，则点到平面的距离为

A.  B.  C.  D.

8.（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，以原点为顶点，为焦点的抛物线交于点若，则的离心率为

A.  B.  C.  D.

9.（5分）若，，则

A.  B.  C.  D.

10.（5分）已知，是两个不同的平面，，是平面及外两条不同的直线，给出四个论断：①，②，③，④，则

A. ②③④① B. ①③④② C. ①②④③ D. ①②③④

11.（5分）数学中有许多优美的曲线，星形曲线就是其中之一，它最早是由古希腊天文学家发现的，罗默、伯努利、莱布尼兹等数学家都研究过其性质在工业生产中，利用星形曲线的特性，能设计出一种超轻超硬材料，展现了数学模型的广泛性和应用性．已知星形曲线，设为上任意一点，则

A. 曲线与坐标轴有四个交点 B. ，
C. 曲线有且只有两条对称轴 D.

12.（5分）已知函数，则

A. 当时，函数的定义域为
B. 当时，函数的值域为
C. 当时，函数在上单调递减
D. 当时，关于的方程有两个解

13.（5分）已知， ，则______．

14.（5分）圆与圆的公共弦长为 ______.

15.（5分）设随机事件，，已知，则______，______.

16.（5分）已知曲线，若有且只有一条直线同时与，都相切，则______.

17.（12分）已知等比数列的各项均为正值，是，的等差中项，，记 
求数列和的通项公式； 
设数列的前项和为，证明：

18.（12分）如图所示，在等边中，，，分别是，上的点，且，是的中点，交于点以为折痕把折起，使点到达点的位置，连接，， 
 
证明：； 
设点在平面内的射影为点，若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．

19.（12分）如图所示，在平面四边形中，，，，设 
若，求的长； 
当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值．
 

20.（12分）某生物实验室用小白鼠进行新冠病毒实验，已知只小白鼠中有只感染新冠病毒且无患病症状，将它们分别单独封闭隔离到个不同的操作间内，由于工作人员的疏忽，没有记录感染新冠病毒的小白鼠所在的操作间，需要通过化验血液来确定．血液化验结果呈阳性即为感染新冠病毒，呈阴性即没有感染新冠病毒．下面是两种化验方案： 
方案甲：逐个化验，直到能确定感染新冠病毒的小白鼠为止． 
方案乙：先任取只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性，则表明感染新冠病毒的小白鼠为这只中的只，然后再逐个化验，直到能确定感染新冠病毒的小白鼠为止；若结果呈阴性，则在另外只中任取只化验． 
求采用方案甲所需化验的次数为次的概率； 
用表示采用方案乙所需化验的次数，求的分布列； 
求采用方案乙所需化验的次数少于采用方案甲所需化验的次数的概率．

21.（12分）已知椭圆的离心率为，圆与椭圆有且仅有两个交点且都在轴上． 
求椭圆的标准方程； 
已知直线过椭圆的左顶点，且交圆于，两点，为椭圆上一点，若以为直径的圆过点，求面积的最大值．

22.（12分）已知函数 
当时，求的单调区间； 
若有两个极值点，，且，从下面两个结论中选一个证明． 
①； 
②

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：复数与复平面内的点对应， 
， 
 
故选： 
根据已知条件，先求出，再结合复数的运算法则，即可求解． 
此题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
 

2.【答案】D

【解析】解：，， 
若，则，即 
故选： 
求解不等式化简与，结合，则，可得值． 
此题主要考查交集及其运算，是基础题．
 

3.【答案】B

【解析】解：， 
， 
，解得 
故选： 
根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，以及等差数列的通项公式，即可求解． 
此题主要考查等差数列的前项和公式，以及等差数列的通项公式，属于基础题．
 

4.【答案】C

【解析】解：定义域为，且为偶函数， 
， 
， 
当时，为偶函数满足题意． 
故选： 
由是上的偶函数，故可取特值，求 的值． 
此题主要考查了偶函数的性质，属于基础题．
 

5.【答案】B

【解析】解：由已知可得这家健身房的总好评率为 
故综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为， 
故选： 
根据已知数据直接计算可得． 
此题主要考查合情推理，考查学生的推理能力，属于基础题．
 

6.【答案】A

【解析】解：单位向量满足， 
，， 
， 
在方向上的投影向量为， 
故选： 
根据向量数量积定义、性质，投影向量的定义即可求解． 
此题主要考查向量数量积定义、性质，投影向量的定义，属基础题．
 

7.【答案】D

【解析】解：由题可得，，， 
平面，且，， 
，， 
， 
设点到平面的距离为， 
则，解得 
故选： 
根据题意求出三棱锥的体积，再求出的面积即可求解． 
此题主要考查点到平面的距离、圆柱的结构特征、线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

 

8.【答案】B

【解析】解：由题知，， 
由， 
，轴， 
， 
双曲线离心率 
故选： 
根据题设条件求出抛物线方程和直线方程，联立解出的坐标，求出、，根据双曲线离心率即可计算． 
此题主要考查了双曲线离心率的计算，属于中档题．
 

9.【答案】BC

【解析】解：对于，在上单调递增， 
，，故错误， 
对于，在上单调递增， 
，，故正确， 
对于，在上单调递减， 
，，故正确， 
对于，令，，，满足，， 
但，故错误． 
故选： 
根据已知条件，结合函数的单调性，以及特殊值法，即可求解． 
此题主要考查不等式的基本性质，掌握函数的单调性，以及特殊值法是解本题的关键，属于基础题．
 

10.【答案】AC

【解析】解：对于，若，，则，又，，故正确； 
对于，若，，则，又，可得或与相交，故错误； 
对于，若，，则，又，则，故正确； 
对于，若，，则，又，则或与相交，相交也不一定垂直，故错误． 
故选： 
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案． 
此题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 

11.【答案】ABD

【解析】解：， 
令，可得，令，可得， 
曲线与坐标轴有四个交点，故正确； 
由可知，， 
，，故正确； 
因为， 
将方程中的换为，不变，则方程不变；将方程中的换为，不变，则方程不变；可得曲线关于，轴对称； 
将方程中的换为，方程中的换为，则方程不变，可得曲线关于原点对称； 
将方程中的换为，换为，则方程不变，可得曲线关于对称； 
将方程中的换为，换为，则方程不变，可得曲线关于对称；故错误； 
由上可知曲线关于曲线关于，轴对称，关于原点对称， 
当，时，， 
所以，即，故正确． 
故选： 
利用曲线方程令，可判断，利用可判断，利用方程可得曲线关于关于，轴对称，关于对称，可判断，结合对称性可得，进而可判断 
此题主要考查了由方程研究曲线的性质，属于中档题．
 

12.【答案】BCD

【解析】解：对于，当时，， 
由，解得或，函数的定义域为，故错误； 
对于，当时，，定义域为， 
当时，；当时， 
函数的值域为，故正确； 
对于，当时，， 
当时，，在上递减， 
当时，，在上递减， 
，函数在上单调递减，故正确； 
对于，由题意知，，即为， 
设，，，， 
则，即， 
若方程有两个解，即，故正确． 
故选： 
由根式函数的定义域求法判断；由函数值域的求法判断；由，分和判断；设，将问题转化为，得到有两个解判断 
此题主要考查命题真假的判断，考查函数的定义域、值域、换元法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】

【解析】解：已知，，， 
，，则， 
故答案为：． 
由题意利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得的值． 
这道题主要考查同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
 

14.【答案】

【解析】解：设圆与圆交于，两点， 
把两圆方程相减，化简得， 
即：， 
圆心到直线的距离， 
又而， 
所以， 
故答案为： 
先求两圆公共弦方程，再利用弦心距，弦长，半径之间的关系求解． 
此题主要考查圆与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

15.【答案】 0.12  0.24; 略

【解析】解：，， 
， 
， 
， 
， 
 
故答案为：； 
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解． 
此题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于基础题．
 

16.【答案】 1

【解析】解：设与相切于，与相切于点， 
由，得， 
则与相切于点的切线方程为：，即， 
由， 
则与相切于点的切线方程为：，即， 
因为两切线重合，所以，②， 
由①得，代入②得，， 
化简得，， 
明显可见，，时等式成立． 
故答案为： 
设出直线与两条曲线的切点坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解． 
此题主要考查了利用导数求曲线在切点处的切线方程，属于中档题．
 

17.【答案】解：（1）设数列{}的公比为q， 
由题意知， 
即， 
解得， 
所以， 
． 
（2）因为， 
所以=， 
因为n∈N*，所以， 
即．

【解析】 
直接利用数列的的递推关系式求出数列的通项公式； 
利用裂项相消法的应用求出数列的和． 
此题主要考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

18.【答案】（1）证明：因为△ABC是等边三角形，E是BC的中点， 
所以AE⊥BC， 
因为AM=AN=4，所以MN∥BC，所以MN⊥AE， 
可得MN⊥PF，MN⊥FE，又PF∩FE=F， 
所以MN⊥平面PFE， 
又PE⊂平面PFE， 
所以MN⊥PE． 
（2）解：因为MN⊥PF，MN⊥FE， 
所以二面角P-MN-B的平面角为∠PFE， 
所以，可得， 
由第（1）问知，MN⊥平面PFE，MN⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面PFE， 
又因为平面PFE⋂平面ABC=AE， 
所以点P在平面ABC内的射影Q在AE上， 
因为，所以， 
过F作直线l∥PQ交PE于点K，以F为坐标原点， 
以的方向分别为x，y，z轴的正方向， 
建立如图所示的空间直角坐标系， 
，，，， 
，，， 
 
设平面PBC的法向量为， 
则， 
令z=2，可得， 
所以， 
所以直线QC与平面PBC所成角的正弦值为．

【解析】 
折叠前，折叠后，，从而平面，又又平，则； 
易知二面角的平面角为，另一方面平面平面，从而可以确定的位置，建立空间直角坐标系即可求解． 
此题主要考查空间中的垂直关系，线面角的相关计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
 

19.【答案】解：（1）在△ABD中，由余弦定理可得，， 
所以AD=1， 
在△ACD中，由正弦定理可得，， 
所以． 
（2）由第（1）问知，在△ABD中，， 
所以AB2=AD2+BD2，所以， 
在△ACD中，由正弦定理可得，， 
所以， 
因为， 
所以==， 
因为，所以， 
所以当，即时，， 
此时△BCD面积的最大值为．

【解析】 
在中，根据余弦定理求出，在中，利用正弦定理即可求出 
解和，根据用表示出的面积，利用三角恒等变换和三角函数性质即可求其最大值． 
此题主要考查了正余弦定理的应用以及三角形面积的最值问题，属于中档题．
 

20.【答案】解：（1）记“采用方案甲所需化验的次数为4次”为事件A， 
则采用方案甲所需化验的次数为4次的概率为： 
P（A）==． 
（2）X可能的取值为2，3，4， 
P（X=2）==， 
P（X=3）==， 
P（X=4）==， 
∴X的分布列为：

（3）设采用方案甲所需化验的次数为3，4，5分别为事件A3，A4，A5， 
， 
P（A4）==． 
P（A5）==， 
设采用方案乙所需化验的次数为2，3，4分别为事件B2，B3，B4， 
由（2）知P（B2）=，P（B3）=，P（B4）=， 
设采用方案乙所需化验的次数少于方案甲化需化验的次数为事件C， 
由题意可知B2与A3，A4，A5相互独立，B3与A4，A5相互独立，B4与A5相互独立， 
则P（C）=P（A3B2）+P（A4B2）+P（A5B2）+P（A4B3）+P（A5B3）+P（A5B4） 
=+=， 
∴采用方案乙所需化验的次数少于采用方案甲所需化验的次数的概率为．

【解析】 
利用古典概型概率计算公式直接求解． 
先确定的可能取值，再求出取每个值时相应的概率，由此能求出的分布列． 
事件“采用方案乙所需化验的次数少于采用方案甲所需化验的次数”可拆分为方案乙化验次方案甲至少化验次，方案乙化验次方案甲至少化验次，方案乙化验次方案甲化验次三个互斥事件，由此能求出结果． 
此题主要考查古典概型、超几何分布、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】解：（1）由题意知，， 
解方程组得a=2，b=， 
所以椭圆C的标准方程为． 
（2）由题意知A（-2，0），因为以PM为直径的圆过点A， 
所以由题意可知直线AP的斜率存在且不为0， 
设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）， 
则直线l的方程为， 
设P（，），联立， 
整理得（3+4）+16x+16-12=0， 
因为点A（-2，0）为AP与椭圆C的一个交点， 
所以，解得， 
所以， 
直线l的方程变形为x+ky+2=0，设原点O到直线l的距离为d， 
所以，所以， 
方法一： 
所以， 
设3-1=t，则， 
所以， 
因为（当且仅当时，等号成立）， 
所以△PMN面积的最大值为36=． 
方法二： 
所以， 
设，则， 
所以， 
因为，所以S△PMN≤=（当且仅当时，等号成立）， 
所以△PMN面积的最大值为．

【解析】 
根据题意，利用椭圆的几何性质列方程组求解即可． 
可知直线的斜率存在且不为，设出直线的方程，可得直线的方程，与椭圆方程联立，消去整理得关于的方程，求出点的坐标，计算的值，求出，可利用方法一：写出的面积公式，利用换元法和基本不等式，即可求出面积的最大值．可利用方法二：写出的面积公式，利用换元法和基本不等式，求面积的最大值． 
此题主要考查了圆锥曲线的简单几何性质与最值的应用问题，也考查了逻辑思维与运算求解能力，是难题．
 

22.【答案】解：（1）， 
当时，， 
令f'（x）＞0，解得；令f'（x）＜0，解得或， 
所以f（x）的单增区间为；单减区间为，． 
（2）证明①：由题意知，，是-2x+a=0的两根，则， 
， 
将=a代入得，， 
要证明， 
只需证明， 
即， 
因为0＜＜，所以-＞0， 
只需证明， 
令，则t＞1，只需证明，即， 
令，， 
所以h（t）在（1，+∞）上单调递减，可得h（t）＜h（1）=0， 
所以， 
综上可知，． 
证明②：， 
设g（x）=-+2x-a， 
因为f（x）有两个极值点，所以， 
解得0＜a＜1， 
因为g（2）=-a＜0，g（1）=1-a＞0， 
所以1＜＜2，（7分）， 
由题意可知， 
可得代入得，， 
令，（9分）， 
当，所以h（x）在上单调递减， 
当，所以h（x）在上单调速增， 
因为1＜＜2，所以h（）＜max{h（1），h（2）}， 
由， 
可得，所以h（2）＞h（1）， 
所以h（）＜h（2）， 
所以，即．

【解析】 
首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解； 
若选①，不等式转化为证明，变形为证明，通过构造函数，即可证明； 
若选②，首先根据函数有两个极值点，证得，再变换为，通过构造函数，利用导数，即可证明． 
此题主要考查导数的综合应用，考查学生的综合能力，属于难题．