还剩13页未读，
继续阅读
2022年山东省济宁市高考数学三模试卷
展开
这是一份2022年山东省济宁市高考数学三模试卷，共16页。试卷主要包含了已知双曲线C，已知cs=14，则sin=，030等内容，欢迎下载使用。
2022年山东省济宁市高考数学三模试卷
1.（5分）已知集合A={x|-2⩽x<2}，B={x|lnx⩾0}，则A∩B=()
A. [-2,2) B. (0,1) C. [1,2) D. [1,2]
2.（5分）已知i为虚数单位，复数z满足z(1-i)=i，则z的虚部为()
A. 1 B. -1 C. -12 D. 12
3.（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线2x-y+1=0垂直，则该双曲线C的离心率为()
A. 52 B. 3 C. 2 D. 5
4.（5分）随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为()
A. 240 B. 480 C. 1440 D. 2880
5.（5分）已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1,+∞),则1a+4c的最小值为()
A. -3 B. 3 C. -4 D. 4
6.（5分）已知cos(α+π6)=14，则sin(2α+5π6)=()
A. 158 B. -158 C. 78 D. -78
7.（5分）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为()
A. 2：1 B. 3：2 C. 7：3 D. 7：4
8.（5分）若函数f(x+2)为偶函数，对任意的x1，x2∈[2,+∞),且x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0，则()
A. f(log26)
D. f(log312)>f(log26)>f(32)
9.（5分）在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(成绩均为正整数，满分为100分)作为样本进行统计，样本容量为n.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间[50,60)内的人数为16.则下列结论正确的是()
A. 样本容量n=100
B. 图中x=0.030
C. 估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分
D. 该市要对成绩由高到低前20％的学生授子“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号
10.（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()
A. 函数f(x)的图象可由y=sin2x的图象向左平移π3个单位得到
B. x=-11π12是f(x)图象的一条对称轴
C. 若|f(x1)-f(x2)|=2，则|x2-x1|的最小值为π2
D. 直线y=12与函数y=f(x)在[0,10π3]上的图象有7个交点
11.（5分）已知直线y=3x+b与圆x2+y2=16交于A，B两点，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，则实数b的取值可以是()
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
12.（5分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若2anSn=1+an2，bn=log2Sn+2Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，则下列结论正确的是()
A. {Sn2}是等差数列 B. an
13.（5分）设随机变量X～N(μ,σ2)，若P(X<0)=P(X>2)，则P(X⩽1)=______.
14.（5分）已知函数f(x)={2x,x⩽0f(x-5),x>0，则f(2022)=______.
15.（5分）在边长为4的等边△ABC中，已知AD→=23AB→，点P在线段CD上，且AP→=mAC→+12AB→，则|AP→|=______.
16.（5分）已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且|AF|=3|BF|=3，则p=______；设点M是抛物线C上的任意一点，点N是C的对称轴与准线的交点，则|MN||MF|的最大值为 ______.
17.（12分）已知函数f(x)=sinxcos(x-π3).
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在锐角△ABC中，若f(A)=32，AC=2，BC=3，求△ABC的面积．
18.（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=1，S6=7，数列{bn}满足b1+b2+…+bn=2n+1-2.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)记cn=bn⋅tan(anπ)，求数列{cn}的前3n项和．
19.（12分）如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，∠BAD=30°，以对角线BD为折痕把△ABD折起，使点A到达图2所示点P的位置，且PC=7.
(1)求证：PD⊥BC；
(2)若点E在线段PC上，且二面角E-BD-C的大小为45°，求三棱锥E-BCD的体积．
20.（12分）某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为600元、900元、1500元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束，选手小李参加该闯关游戏，已知他第一、二、三关闯关成功的概率分别为34，23，12，第一关闯关成功选择继续闯关的概率为35，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为25，且每关闯关成功与否互不影响．
(1)求小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；
(2)设小李所得总奖金为X，求随机变量X的分布列及其数学期望．
21.（12分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，点F是椭圆E的右焦点，点Q在椭圆E上，且|QF|的最大值为3，椭圆E的离心率为12.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若过点A的直线与椭圆E交于另一点P(异于点B)，与直线x=2交于一点M，∠PFB的角平分线与直线x=2交于点N，求证：点N是线段BM的中点．
22.（12分）已知函数f(x)=x-aln2x-(e-a-1)lnx-1，a∈R.
(1)当a=0时，证明：f(x)⩾(e-2)(1-x)；
(2)若函数f(x)在(1,e)内有零点，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A={x|-2⩽x<2}，B={x|lnx⩾0}={x|x⩾1}，
则A∩B={x|1⩽x<2].
故选：C.
求出集合A，B，利用交集定义直接求解．
此题主要考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵z(1-i)=i，
∴z=i1-i=i(1+i)(1-i)(1+i)=-12+12i，
∴z的虚部为12.
故选：D.
结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
此题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y=±bax，
因为直线2x-y+1=0的斜率k=2，由题意可得-ba=-12，可得b2a2=14，
所以双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=1+14=52，
故选：A.
由双曲线的方程可得渐近线的方程，由题意可得渐近线的斜率的值，即求出a，b的关系，进而求出双曲线的离心率．
此题主要考查双曲线的性质的应用及直线互相垂直的性质的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为3个“冰墩墩”完全相同，将其中2个“冰墩墩”捆绑，记为元素a，另外1个“冰墩墩”记为元素b，先将甲、乙、丙、丁4位运动员全排列，然后将a、b元素插入这4位运动员所形成的空中且a、b元素不相邻，则不同的排法种数为A44·A52=480.
故选：B.
将其中2个“冰墩墩”捆绑，记为元素a，另外1个“冰墩墩”记为元素b，将a、b元素插入这4位运动员所形成的空中，结合插空法可求得结果．
此题主要考查排列组合及简单计数原理，属于基础题，插空法是关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=ax2+2x+c的值域为[1,+∞).
∴a>0，且f(x)min=1.
∴4ac-b24a=1，即ac=a+1(c>0,且c≠1).
整理得：a=1c-1(c≠1)⋅⋅⋅⋅⋅⋅①．
将①式代入1a+4c，得到c+4c-1.
∵c>0.
∴c+4c-1⩾2c×4c-1=3，当且仅当c=2时，取得最小值．
∴最小值为3.
故选：B.
根据二次函数的值域确定a和c的关系表达式，利用消元法消去a，再利用基本不等式求最小值即可．
考查二次函数的值域，和基本不等式求最值，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：因为cos(α+π6)=14，
所以sin(2α+5π6)=sin[π2+(2α+π3)]=cos(2α+π3)=cos2(α+π6)=2cos2(α+π6)-1=2×(14)2-1=-78.
故选：D.
由已知利用诱导公式以及二倍角的余弦公式即可求解．
此题主要考查了诱导公式以及二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：如图：O1，O2分别为底面中心，O为O1O2的中点，D为AB的中点，
设正六棱柱的底面边长为2，
若正六棱柱有内切球，则OO1=O1D=3，
即内切球的半径r=3，OA2=OO12+O1A2=7，即外接球的半径R=7，
则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为4πR2：4πr2=R2：r2=7：3.
故选：C.
正六棱柱有内切球，则O到每个面的距离相等，即OO1=O1D，可求内切球的半径，根据OA2=OO12+O1A2可求外接球的半径，代入球的面积公式计算．
此题主要考查了正六棱柱的外接球和内切球的表面积的计算，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：由对∀x1，x2∈[2,+∞),且x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0，
∴函数f(x)在[2,+∞)上递减，
又函数f(x+2)为偶函数，∴函数f(x)关于x=2对称，
∴f(32)=f(52)，
∵log26=1+log23>2，log312=1+log34>2，
log23+1-52=log23-32=log23-log2232=log23-log28>0，
∴log23+1>52，
∵log34+1-52=log34-32=log34-log3332=log34-log327<0，
∴log23+1<52，
∴log26>52>log312>2，
∴f(log26)
由题意可得函数f(x)在[2,+∞)上递减，且关于x=2对称，则f(32)=f(52)，利用作差法比较log23+1,52,log34+1三者之间的大小关系，再根据函数的单调性能求出结果．
此题主要考查命题真假的判断，考查函数的单调性、奇偶性、作差比较法、对数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A：因为成绩落在区间[50,60)内的人数为16，所以样本容量n=160.016×10=100，故A正确；
对于B：因为(0.016+x+0.040+0.010+0.004)×10=1，解得x=0.030，故B正确；
对于C：学生成绩平均分为：0.016×10×55+0.030×10×65+0.040×10×75+0.010×10×85+0.004×10×95=70.6，故C正确；
对于D：因为10×(0.004+0.010)+(80-78)×0.040=0.22>0.2，即按照成绩由高到低前20％的学生中不含78分的学生，所以成绩为78分的学生不能得到此称号，故D不正确．
故选：ABC.
根据频率，频数和样本容量之间的关系即可判断A；根据频率之和等于1，即可判断B；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C；根据题意得10×(0.004+0.01)+(80-78)×0.04=0.22>0.2，即可判断D.
此题主要考查由频率分布直方图求频数、频率、平均数，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：由图象知T=4(π12+π6)=π，可得2πω=π，∴ω=2，
又函数在x=π12取得最大值1，所以sin(2×π12+φ)=1，解得φ=π3，
故函数解析式为f(x)=sin(2x+π3)=sin2(x+π6)，
函数f(x)的图象可由y=sin2x的图象向左平移π6个单位得到，故A错误；
f(-11π12)=sin[2×(-11π12)+π3]=1，所以x=-11π12是f(x)图象的一条对称轴，故B正确；
若|f(x1)-f(x2)|=2，则|x2-x1|的最小值为π2，故C正确；
函数y=f(x)在[0,10π3]有3个完整周期，每个周期有2个交点，
在[3π,103π]上有一个交点，故直线y=12与函数y=f(x)在[0,10π3]上的图象有7个交点，故D正确；
故选：BCD.
利用正弦型函数的图象可求得函数解析式，再结合各个选项判断．
本题以命题的真假判断为载体，考查了函数f(x)=Asin(ωx+φ)的性质，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：∵直线y=3x+b与圆x2+y2=16相交于A，B两点，且△AOB为锐角三角形，∴|AB|<42，.
∴圆心O(0,0)到直线y=3x+b的距离d=|b|3+1>22且d<4，∴-8
由直线y=3x+b与圆x2+y2=16相交于A，B两点，且∠AOB为锐角，可得|AB|<42，圆心O(0,0)到直线y=3x+b与的距离d>22，由点到直线的距离公式列式得b的范围．
此题主要考查了直线与圆相交问题，考查点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：因为2anSn=1+an2，
当n=1时，2a1S1=1+a12，解得S1=1，
当n⩾2时，an=Sn-Sn-1，即2(Sn-Sn-1)Sn=1+(Sn-Sn-1)2，
整理得Sn2-Sn-12=1，
所以数列{Sn2}是首项为S12=1，公差为1的等差数列，
所以Sn2=1+(n-1)×1=n，
又正项数列{an}的前n项和为Sn，所以Sn=n，故A正确；
当n=1时，解得S1=1，
当n⩾2时，an=Sn-Sn-1，即an=n-n-1，
又S1=a1=1，
所以an=n-n-1=1n+n-1,an+1=n+1-n=1n+1+n，
因为n+1+n>n+n-1，
所以1n+1+n<1n+n-1，即an+1
所以原不等式为：ex⩾x+1(x⩾0)，即ex-x-1⩾0(x⩾0)，
令f(x)=ex-x-1(x⩾0)，
所以f'(x)=ex-1，当x⩾0时，ex-1⩾0恒成立，
所以f(x)在[0,+∞)单调递增，
所以f(x)⩾f(0)=0，所以Sn⩽en-1成立，故C正确；
因为Sn=n，所以Sn+2=n+2，
所以bn=log2Sn+2Sn=log2n+2n=log2(n+2n)12=12log2n+2n=12[log2(n+2)-log2n]，
所以Tn=b1+b2+b3+⋯+bn-1+bn
=12[log23-log21+log24-log22+log25-log23+⋯+log2(n+1)-log2(n-1)+log2(n+2)-log2n]，
因为Tn⩾3，
即12[-1+log2(n+1)(n+2)]⩾3，
化简整理得：n2+3n-126⩾0，
当n=9时，92+3×9-126=-18<0，当n=10时，102+3×10-126=4>0，
所以满足Tn⩾3的n的最小正整数解为10，故D正确．
故选：ACD.
根据题意得2(Sn-Sn-1)Sn=1+(Sn-Sn-1)2，整理得Sn2-Sn-12=1，即可判断A；由A知，Sn=n，所以an=n-n-1=1n+n-1,an+1=n+1-n=1n+1+n，即可判断B；因为Sn⩽en-1，即n⩽en-1，令x=n-1(x⩾0)，即ex⩾x+1(x⩾0)，构造函数f(x)=ex-x-1(x⩾0)，求解判断即可；根据题意得bn=log2Sn+2Sn=12[log2(n+2)-log2n]，求和得Tn=12[-1+log2(n+1)(n+2)]，再根据题意求解判断即可．
此题主要考查了数列的递推关系以及数列与函数的综合，属于中档题．
13.【答案】 0.5
【解析】解：∵P(X<0)=P(X>2)，X～N(μ,σ2)，
∴μ=1，
∴P(X⩽1)=0.5.
故答案为：0.5.
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
此题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
14.【答案】 18
【解析】解：∵2020>0.
∴f(2022)=f(2022-5)=f(2017).
∵2017>0.
∴f(2017)=f(2017-5)=f(2012).
以此类推得：f(2022)=f(-3).
∵-3<0.
∴f(-3)=2-3=18.
故答案为：18.
注意分段函数各段的定义域，把2020代入对应的解析式求值．
此题主要考查复合函数求值问题，注意每段解析式所对应的定义域．
15.【答案】 7
【解析】解：∵AD→=23AB→，
∴AP→=mAC→+12AB→=mAC→+34AD→，
∵D，P，C三点共线，∴m+34=1，∴m=14，
∵△ABC为边长为4的等边三角形，
∴AP→2=(14AC→+12AB→)2=116AC→2+14AB→2+14AC→⋅AB→=1+4+14×4×4×12=7，
∴|AP→|=7，
故答案为：7.
利用三点共线的性质求出m=14，再利用向量的求模公式求解即可．
此题主要考查三点共线的性质，向量的求模公式，属于中档题．
16.【答案】 32 2; 略
【解析】解：过AB分别向准线作垂线，垂足分别为A'，B'，取AB中点E，过E，F向准线作垂线，垂足为E'，F'，
|AF|=3|BF|=3，则可得|BB'|=1，|AA'|=3，可得|EE'|=2，
可得F是BE的中点，可得|FF'|=32，所以P=32，
所以x2=3y(p>0)，F(0,34)，N(0,-34)，
∴|MN||MF|=x2+(y+34)2x2+(y-34)2，∴(|MN||MF|)2=3y+y2+32y+9163y+y2-32y+916=y2+92y+916y2+32y+916
=1+3yy2+32y+916=1+3y+916y+32⩽1332+2y×916y=2，
∴|MN||MF|的最大值为2.
故答案为：32；2.
过AB分别向准线作垂线，垂足分别为A'，B'，取AB中点E，过E，F向准线作垂线，垂足为E'，F'，利用几何法可得|FF'|=32，可求p，设M(x,y)，可得|MN||MF|=x2+(y+34)2x2+(y-34)2，计算可得最大值．
此题主要考查抛物线的几何性质，考查最大值的求法，属中档题．
17.【答案】（1）解：因为f(x)=sinx(cosxcosπ3+sinxsinπ3)=12sinxcosx+32sin2x
=14sin2x+3(1-cos2x)4=14sin2x-34cos2x+34=12sin(2x-π3)+34．
所以，函数f（x）的最小正周期为2π2=π．
（2）解：因为f(A)=12sin(2A-π3)+34=32，所以，sin(2A-π3)=32，
因为0＜A＜π2，则-π3＜2A-π3＜2π3，∴2A-π3=π3，可得A=π3，
由余弦定理可得3=BC2=AB2+AC2-2AB⋅ACcosπ3=AB2-2AB+2，
即AB2-2AB-1=0，因为AB＞0，解得AB=6+22，
此时，AB为最长边，角C为最大角，此时cosC=AC2+BC2-AB22AC·BC＞0，则角C为锐角，
所以，S△ABC=12AB⋅ACsinA=12×6+22×2×32=3+34．
【解析】
(1)利用三角恒等变换化简函数解析式为f(x)=12sin(2x-π3)+34，利用正弦型函数的周期公式可求得函数f(x)的最小正周期；
(2)由已知条件结合角A的取值范围可求得角A的值，利用余弦定理可求得AB边的长，再利用三角形的面积公式可求得结果．
此题主要考查三角函数的求值，考查学生的运算能力，属于中档题．
18.【答案】（1）解：设等差数列{an}的公差为d，则{a3=a1+2d=1S6=6a1+15d=7，解得a1=d=13，
所以，an=13+13(n-1)=n3，
当n=1时，b1=22-2=2，
当n≥2时，b1+b2+⋯+bn-1+bn=2n+1-2，
可得b1+b2+⋯+bn-1=2n-2，
上述两个等式作差可得bn=2n+1-2n=2n，
b1=2也满足bn=2n，故对任意的n∈N*，bn=2n．
（2）解：由（1）可得cn=2ntannπ3，
设pn=c3n-2+c3n-1+c3n=23n-2×3+23n-1×(-3)+0=-3×23n-2，
所以，pn+1pn=-3×23(n+1)-2-3×23n-2=8，
所以，数列{pn}是等比数列，且首项为p1=-23，公比为8，
因此，数列{cn}的前3n项和为T3n=-23(1-8n)1-8=23(1-8n)7．
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d，根据题意可得出关于a1、d的方程组，解出这两个量的值，可得出数列{an}的通项公式，利用前n项和与通项的关系可求得数列{bn}的通项公式；
(2)设pn=c3n-2+c3n-1+c3n，推导出数列{pn}为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列{cn}的前3n项和．
此题主要考查了等差数列与等比数列的综合计算，属于中档题．
19.【答案】（1）证明：在△ABD中，由AB=2，AD=3，∠BAD=30°，
得BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cosA=4+3-2×2×3×32=1，
∴AB2+AD2=BD2，即AD⊥BD，则PD⊥DB，
又PD=AD=3，DC=AB=2，PC=7，
∴PD2+DC2=PC2，PD⊥DC，
又DB∩DC=D，∴PD⊥平面BDC，而BC⊂平面BDC，
∴PD⊥BC；
（2）解：作EG⊥DC于G，则EG⊥平面BDC，
作GF⊥BD于F，连接EF，
可得EF⊥BD，即∠EFG为二面角E-BD-C的平面角，大小为45°．
∴EG=FG，又PD=BC，∴EG：PD=FG：BC，
而EG：PD=CG：DC，则FG：BC=CG：DC，
∴CG=DG，可得FG=EG=12BC=32，
又∵S△BDC=12BD×BC=12×3×1=32，
∴VE-BDC=13×32×32=14，
故三棱锥E-BCD的体积为14．
【解析】
(1)由已知求解三角形证明AD⊥BD，可得PD⊥DB，再由勾股定理证明PD⊥DC，可得PD⊥平面BDC，从而得到PD⊥BC；
(2)作EG⊥DC于G，则EG⊥平面BDC，作GF⊥BD于F，连接EF，可得∠EFG为二面角E-BD-C的平面角，大小为45°，再由平行线截线段成比例可得CG=DG，得到FG=EG=12BC=32，求出三角形BDC的面积，再由棱锥体积公式求棱锥E-BCD的体积．
此题主要考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．
20.【答案】解：设“小李第i关闯关成功”为事件Ai （i=1，2，3），
“小李第一关闯关成功，选择继续闯关”为事件B1，“小李第二关闯关成功，选择继续闯关”为事件B2，
（1）设“小李第一次闯关成功，选择继续闯关”为事件B2，
则P（C）=P(A1B1A2-)+P(A1B1A2B2A3-)=34×35×13+34×35×23×25×12=21100．
（2）随机变量X的所有可能取值为0，600，1500，3000，
P（X=0）=P(A1-)+P(C)=14+21100=46100=2350，
P（X=600）=P(A1B1-)=34×25=310，
P（X=1500）=P(A1B1A2B2-)=34×35×23×35=950，
P（X=3000）=P（A1B1A2B2A3）=34×35×23×25×12=350，
故X的分布列为：
X
0
600
1500
3000
P
2350
310
950
350
故E（X）=0×2350+600×310+1500×950+3000×350=630．
【解析】
(1)根据已知条件，分别求出小李在第二次闯关，在第三次闯关失败的概率，并求和，即可求解．
(2)随机变量X的所有可能取值为0，600，1500，3000，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
此题主要考查离散型随机变量分布列的求解，考查期望公式的应用，属于中档题．
21.【答案】（1）解：由已知可得{|QF|max=a+c=3ca=12a2=b2+c2，解得{a=2b=3c=1，
因此，椭圆E的方程为x24+y23=1．
（2）证明：由对称性，不妨设点P在x轴上方．
①当直线PF的斜率存在时，因为∠PFB的角平分线为FN，所以，∠PFB=2∠NFB，
所以，tan∠PFB=2tan∠NFB1-tan2∠NFB，即kPF=2kNF1-kNF2，
设直线AP的方程为y=k（x+2），其中k≠0，
联立{y=k(x+2)3x2+4y2=12可得（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，
设点P（x1，y1），则-2x1=16k2-124k2+3，所以x1=6-8k24k2+3，
则y1=k(x1+2)=12k4k2+3，即点P(6-8k24k2+3，12k4k2+3)，
所以，kPF=y1x1-1=12k3+4k26-8k23+4k2-1=4k1-4k2，
设直线FN的方程为y=m（x-1），则点N（2，m）、M（2，4k），
因为kPF=2kNF1-kNF2，则4k1-4k2=2m1-m2，整理可得（2k-m）（2km+1）=0，
因为km＞0，所以，m=2k，所以，yNyM=m4k=12，
所以，点N为线段BM的中点；
②当直线PF的斜率不存在时，不妨设点P(1，32)，
则直线AP的方程为y=12(x+2)，所以点M（2，2），
又因为直线FN的方程为y=x-1，所以点N（2，1），
所以，点N为线段BM的中点．
综上可知，点N为线段BM的中点．
【解析】
(1)由已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆E的方程；
(2)设点P在x轴上方，对直线PF的斜率是否存在进行分类讨论，在直线PF的斜率存在时，分析可得kPF=2kNF1-kNF2，设出直线AP、FN的方程，求出点P、M、N的坐标，由已知条件可得出M、N坐标之间的关系，可证得结论成立；在直线PF的斜率不存在时，直接求出M、N的坐标，即可证得结论成立．
此题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
22.【答案】解：（1）证明：当a=0时，f（x）=x-（e-1）lnx-1，要证f（x）≥（e-2）（1-x），即证x-（e-1）lnx-1≥（e-2）（1-x），即证x-1-lnx≥0，
令g（x）=x-1-lnx，x＞0，则g'(x)=1-1x=x-1x，
易知函数g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
∴g（x）≥g（1）=0，即得证；
（2）f'(x)=1-2a·lnx·1x-(e-a-1)·1x=1x(x-2alnx-e+a+1)，
令h（x）=x-2alnx-e+a+1，x∈（1，e），则h'(x)=1-2ax=x-2ax，
①当2a≤1，即a≤12时，h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上单调递增，
又h（1）=2+a-e＜0，h（e）=1-a＞0，
由零点存在性定理可知，存在x1∈（1，e），使得h（x1）=0，
且当x∈（1，x1）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x1，e）时，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
又f（1）=f（e）=0，故f（x）不存在零点；
②当2a≥e，即a≥e2时，h′（x）＜0，h（x）在（1，e）上单调递减，
又h（1）=2+a-e＞0，h（e）=1-a＜0，
由零点存在性定理可知，存在x2∈（1，e），使得h（x2）=0，
且当x∈（1，x2）时，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x2，e）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
又f（1）=f（e）=0，故f（x）不存在零点；
③当1＜2a＜e，即12＜a＜e2时，由h′（x）＞0，解得x＞2a，由h′（x）＜0，解得x＜2a，
∴函数h（x）在（1，2a）上单调递减，在（2a，e）上单调递增，
又h（2a）=3a-2aln（2a）-e+1，令V(x)=32x-xlnx-e+1，x∈(1，e)，则V'(x)=32-lnx-1=12-lnx，
易知函数V（x）在(1，e)上单调递增，在(e，e)上单调递减，
∴V(x)max=V(e)=1+e-e＜0，则h（2a）＜0，
由于f（1）=0，f（e）=0，要使函数f（x）在（1，e）内有零点，则需{h(1)>0h(e)>0，即{2+a-e>01-a>0，解得e-2＜a＜1，
综上，实数a的取值范围为（e-2，1）．
【解析】
(1)将a=0代入，问题转化为证明x-1-lnx⩾0，令g(x)=x-1-lnx，x>0，利用导数求出函数g(x)的最小值即可得证；
(2)对函数f(x)求导后，令h(x)=x-2alnx-e+a+1，x∈(1,e)，然后分2a⩽1，2a⩾e以及1<2a
2022年山东省济宁市高考数学三模试卷
1.（5分）已知集合A={x|-2⩽x<2}，B={x|lnx⩾0}，则A∩B=()
A. [-2,2) B. (0,1) C. [1,2) D. [1,2]
2.（5分）已知i为虚数单位，复数z满足z(1-i)=i，则z的虚部为()
A. 1 B. -1 C. -12 D. 12
3.（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线2x-y+1=0垂直，则该双曲线C的离心率为()
A. 52 B. 3 C. 2 D. 5
4.（5分）随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为()
A. 240 B. 480 C. 1440 D. 2880
5.（5分）已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1,+∞),则1a+4c的最小值为()
A. -3 B. 3 C. -4 D. 4
6.（5分）已知cos(α+π6)=14，则sin(2α+5π6)=()
A. 158 B. -158 C. 78 D. -78
7.（5分）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为()
A. 2：1 B. 3：2 C. 7：3 D. 7：4
8.（5分）若函数f(x+2)为偶函数，对任意的x1，x2∈[2,+∞),且x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0，则()
A. f(log26)
D. f(log312)>f(log26)>f(32)
9.（5分）在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(成绩均为正整数，满分为100分)作为样本进行统计，样本容量为n.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间[50,60)内的人数为16.则下列结论正确的是()
A. 样本容量n=100
B. 图中x=0.030
C. 估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分
D. 该市要对成绩由高到低前20％的学生授子“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号
10.（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()
A. 函数f(x)的图象可由y=sin2x的图象向左平移π3个单位得到
B. x=-11π12是f(x)图象的一条对称轴
C. 若|f(x1)-f(x2)|=2，则|x2-x1|的最小值为π2
D. 直线y=12与函数y=f(x)在[0,10π3]上的图象有7个交点
11.（5分）已知直线y=3x+b与圆x2+y2=16交于A，B两点，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，则实数b的取值可以是()
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
12.（5分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若2anSn=1+an2，bn=log2Sn+2Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，则下列结论正确的是()
A. {Sn2}是等差数列 B. an
13.（5分）设随机变量X～N(μ,σ2)，若P(X<0)=P(X>2)，则P(X⩽1)=______.
14.（5分）已知函数f(x)={2x,x⩽0f(x-5),x>0，则f(2022)=______.
15.（5分）在边长为4的等边△ABC中，已知AD→=23AB→，点P在线段CD上，且AP→=mAC→+12AB→，则|AP→|=______.
16.（5分）已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且|AF|=3|BF|=3，则p=______；设点M是抛物线C上的任意一点，点N是C的对称轴与准线的交点，则|MN||MF|的最大值为 ______.
17.（12分）已知函数f(x)=sinxcos(x-π3).
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在锐角△ABC中，若f(A)=32，AC=2，BC=3，求△ABC的面积．
18.（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=1，S6=7，数列{bn}满足b1+b2+…+bn=2n+1-2.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)记cn=bn⋅tan(anπ)，求数列{cn}的前3n项和．
19.（12分）如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，∠BAD=30°，以对角线BD为折痕把△ABD折起，使点A到达图2所示点P的位置，且PC=7.
(1)求证：PD⊥BC；
(2)若点E在线段PC上，且二面角E-BD-C的大小为45°，求三棱锥E-BCD的体积．
20.（12分）某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为600元、900元、1500元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束，选手小李参加该闯关游戏，已知他第一、二、三关闯关成功的概率分别为34，23，12，第一关闯关成功选择继续闯关的概率为35，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为25，且每关闯关成功与否互不影响．
(1)求小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；
(2)设小李所得总奖金为X，求随机变量X的分布列及其数学期望．
21.（12分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，点F是椭圆E的右焦点，点Q在椭圆E上，且|QF|的最大值为3，椭圆E的离心率为12.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若过点A的直线与椭圆E交于另一点P(异于点B)，与直线x=2交于一点M，∠PFB的角平分线与直线x=2交于点N，求证：点N是线段BM的中点．
22.（12分）已知函数f(x)=x-aln2x-(e-a-1)lnx-1，a∈R.
(1)当a=0时，证明：f(x)⩾(e-2)(1-x)；
(2)若函数f(x)在(1,e)内有零点，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A={x|-2⩽x<2}，B={x|lnx⩾0}={x|x⩾1}，
则A∩B={x|1⩽x<2].
故选：C.
求出集合A，B，利用交集定义直接求解．
此题主要考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵z(1-i)=i，
∴z=i1-i=i(1+i)(1-i)(1+i)=-12+12i，
∴z的虚部为12.
故选：D.
结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
此题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y=±bax，
因为直线2x-y+1=0的斜率k=2，由题意可得-ba=-12，可得b2a2=14，
所以双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=1+14=52，
故选：A.
由双曲线的方程可得渐近线的方程，由题意可得渐近线的斜率的值，即求出a，b的关系，进而求出双曲线的离心率．
此题主要考查双曲线的性质的应用及直线互相垂直的性质的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为3个“冰墩墩”完全相同，将其中2个“冰墩墩”捆绑，记为元素a，另外1个“冰墩墩”记为元素b，先将甲、乙、丙、丁4位运动员全排列，然后将a、b元素插入这4位运动员所形成的空中且a、b元素不相邻，则不同的排法种数为A44·A52=480.
故选：B.
将其中2个“冰墩墩”捆绑，记为元素a，另外1个“冰墩墩”记为元素b，将a、b元素插入这4位运动员所形成的空中，结合插空法可求得结果．
此题主要考查排列组合及简单计数原理，属于基础题，插空法是关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=ax2+2x+c的值域为[1,+∞).
∴a>0，且f(x)min=1.
∴4ac-b24a=1，即ac=a+1(c>0,且c≠1).
整理得：a=1c-1(c≠1)⋅⋅⋅⋅⋅⋅①．
将①式代入1a+4c，得到c+4c-1.
∵c>0.
∴c+4c-1⩾2c×4c-1=3，当且仅当c=2时，取得最小值．
∴最小值为3.
故选：B.
根据二次函数的值域确定a和c的关系表达式，利用消元法消去a，再利用基本不等式求最小值即可．
考查二次函数的值域，和基本不等式求最值，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：因为cos(α+π6)=14，
所以sin(2α+5π6)=sin[π2+(2α+π3)]=cos(2α+π3)=cos2(α+π6)=2cos2(α+π6)-1=2×(14)2-1=-78.
故选：D.
由已知利用诱导公式以及二倍角的余弦公式即可求解．
此题主要考查了诱导公式以及二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：如图：O1，O2分别为底面中心，O为O1O2的中点，D为AB的中点，
设正六棱柱的底面边长为2，
若正六棱柱有内切球，则OO1=O1D=3，
即内切球的半径r=3，OA2=OO12+O1A2=7，即外接球的半径R=7，
则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为4πR2：4πr2=R2：r2=7：3.
故选：C.
正六棱柱有内切球，则O到每个面的距离相等，即OO1=O1D，可求内切球的半径，根据OA2=OO12+O1A2可求外接球的半径，代入球的面积公式计算．
此题主要考查了正六棱柱的外接球和内切球的表面积的计算，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：由对∀x1，x2∈[2,+∞),且x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0，
∴函数f(x)在[2,+∞)上递减，
又函数f(x+2)为偶函数，∴函数f(x)关于x=2对称，
∴f(32)=f(52)，
∵log26=1+log23>2，log312=1+log34>2，
log23+1-52=log23-32=log23-log2232=log23-log28>0，
∴log23+1>52，
∵log34+1-52=log34-32=log34-log3332=log34-log327<0，
∴log23+1<52，
∴log26>52>log312>2，
∴f(log26)
由题意可得函数f(x)在[2,+∞)上递减，且关于x=2对称，则f(32)=f(52)，利用作差法比较log23+1,52,log34+1三者之间的大小关系，再根据函数的单调性能求出结果．
此题主要考查命题真假的判断，考查函数的单调性、奇偶性、作差比较法、对数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A：因为成绩落在区间[50,60)内的人数为16，所以样本容量n=160.016×10=100，故A正确；
对于B：因为(0.016+x+0.040+0.010+0.004)×10=1，解得x=0.030，故B正确；
对于C：学生成绩平均分为：0.016×10×55+0.030×10×65+0.040×10×75+0.010×10×85+0.004×10×95=70.6，故C正确；
对于D：因为10×(0.004+0.010)+(80-78)×0.040=0.22>0.2，即按照成绩由高到低前20％的学生中不含78分的学生，所以成绩为78分的学生不能得到此称号，故D不正确．
故选：ABC.
根据频率，频数和样本容量之间的关系即可判断A；根据频率之和等于1，即可判断B；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C；根据题意得10×(0.004+0.01)+(80-78)×0.04=0.22>0.2，即可判断D.
此题主要考查由频率分布直方图求频数、频率、平均数，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：由图象知T=4(π12+π6)=π，可得2πω=π，∴ω=2，
又函数在x=π12取得最大值1，所以sin(2×π12+φ)=1，解得φ=π3，
故函数解析式为f(x)=sin(2x+π3)=sin2(x+π6)，
函数f(x)的图象可由y=sin2x的图象向左平移π6个单位得到，故A错误；
f(-11π12)=sin[2×(-11π12)+π3]=1，所以x=-11π12是f(x)图象的一条对称轴，故B正确；
若|f(x1)-f(x2)|=2，则|x2-x1|的最小值为π2，故C正确；
函数y=f(x)在[0,10π3]有3个完整周期，每个周期有2个交点，
在[3π,103π]上有一个交点，故直线y=12与函数y=f(x)在[0,10π3]上的图象有7个交点，故D正确；
故选：BCD.
利用正弦型函数的图象可求得函数解析式，再结合各个选项判断．
本题以命题的真假判断为载体，考查了函数f(x)=Asin(ωx+φ)的性质，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：∵直线y=3x+b与圆x2+y2=16相交于A，B两点，且△AOB为锐角三角形，∴|AB|<42，.
∴圆心O(0,0)到直线y=3x+b的距离d=|b|3+1>22且d<4，∴-8
由直线y=3x+b与圆x2+y2=16相交于A，B两点，且∠AOB为锐角，可得|AB|<42，圆心O(0,0)到直线y=3x+b与的距离d>22，由点到直线的距离公式列式得b的范围．
此题主要考查了直线与圆相交问题，考查点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：因为2anSn=1+an2，
当n=1时，2a1S1=1+a12，解得S1=1，
当n⩾2时，an=Sn-Sn-1，即2(Sn-Sn-1)Sn=1+(Sn-Sn-1)2，
整理得Sn2-Sn-12=1，
所以数列{Sn2}是首项为S12=1，公差为1的等差数列，
所以Sn2=1+(n-1)×1=n，
又正项数列{an}的前n项和为Sn，所以Sn=n，故A正确；
当n=1时，解得S1=1，
当n⩾2时，an=Sn-Sn-1，即an=n-n-1，
又S1=a1=1，
所以an=n-n-1=1n+n-1,an+1=n+1-n=1n+1+n，
因为n+1+n>n+n-1，
所以1n+1+n<1n+n-1，即an+1
所以原不等式为：ex⩾x+1(x⩾0)，即ex-x-1⩾0(x⩾0)，
令f(x)=ex-x-1(x⩾0)，
所以f'(x)=ex-1，当x⩾0时，ex-1⩾0恒成立，
所以f(x)在[0,+∞)单调递增，
所以f(x)⩾f(0)=0，所以Sn⩽en-1成立，故C正确；
因为Sn=n，所以Sn+2=n+2，
所以bn=log2Sn+2Sn=log2n+2n=log2(n+2n)12=12log2n+2n=12[log2(n+2)-log2n]，
所以Tn=b1+b2+b3+⋯+bn-1+bn
=12[log23-log21+log24-log22+log25-log23+⋯+log2(n+1)-log2(n-1)+log2(n+2)-log2n]，
因为Tn⩾3，
即12[-1+log2(n+1)(n+2)]⩾3，
化简整理得：n2+3n-126⩾0，
当n=9时，92+3×9-126=-18<0，当n=10时，102+3×10-126=4>0，
所以满足Tn⩾3的n的最小正整数解为10，故D正确．
故选：ACD.
根据题意得2(Sn-Sn-1)Sn=1+(Sn-Sn-1)2，整理得Sn2-Sn-12=1，即可判断A；由A知，Sn=n，所以an=n-n-1=1n+n-1,an+1=n+1-n=1n+1+n，即可判断B；因为Sn⩽en-1，即n⩽en-1，令x=n-1(x⩾0)，即ex⩾x+1(x⩾0)，构造函数f(x)=ex-x-1(x⩾0)，求解判断即可；根据题意得bn=log2Sn+2Sn=12[log2(n+2)-log2n]，求和得Tn=12[-1+log2(n+1)(n+2)]，再根据题意求解判断即可．
此题主要考查了数列的递推关系以及数列与函数的综合，属于中档题．
13.【答案】 0.5
【解析】解：∵P(X<0)=P(X>2)，X～N(μ,σ2)，
∴μ=1，
∴P(X⩽1)=0.5.
故答案为：0.5.
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
此题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
14.【答案】 18
【解析】解：∵2020>0.
∴f(2022)=f(2022-5)=f(2017).
∵2017>0.
∴f(2017)=f(2017-5)=f(2012).
以此类推得：f(2022)=f(-3).
∵-3<0.
∴f(-3)=2-3=18.
故答案为：18.
注意分段函数各段的定义域，把2020代入对应的解析式求值．
此题主要考查复合函数求值问题，注意每段解析式所对应的定义域．
15.【答案】 7
【解析】解：∵AD→=23AB→，
∴AP→=mAC→+12AB→=mAC→+34AD→，
∵D，P，C三点共线，∴m+34=1，∴m=14，
∵△ABC为边长为4的等边三角形，
∴AP→2=(14AC→+12AB→)2=116AC→2+14AB→2+14AC→⋅AB→=1+4+14×4×4×12=7，
∴|AP→|=7，
故答案为：7.
利用三点共线的性质求出m=14，再利用向量的求模公式求解即可．
此题主要考查三点共线的性质，向量的求模公式，属于中档题．
16.【答案】 32 2; 略
【解析】解：过AB分别向准线作垂线，垂足分别为A'，B'，取AB中点E，过E，F向准线作垂线，垂足为E'，F'，
|AF|=3|BF|=3，则可得|BB'|=1，|AA'|=3，可得|EE'|=2，
可得F是BE的中点，可得|FF'|=32，所以P=32，
所以x2=3y(p>0)，F(0,34)，N(0,-34)，
∴|MN||MF|=x2+(y+34)2x2+(y-34)2，∴(|MN||MF|)2=3y+y2+32y+9163y+y2-32y+916=y2+92y+916y2+32y+916
=1+3yy2+32y+916=1+3y+916y+32⩽1332+2y×916y=2，
∴|MN||MF|的最大值为2.
故答案为：32；2.
过AB分别向准线作垂线，垂足分别为A'，B'，取AB中点E，过E，F向准线作垂线，垂足为E'，F'，利用几何法可得|FF'|=32，可求p，设M(x,y)，可得|MN||MF|=x2+(y+34)2x2+(y-34)2，计算可得最大值．
此题主要考查抛物线的几何性质，考查最大值的求法，属中档题．
17.【答案】（1）解：因为f(x)=sinx(cosxcosπ3+sinxsinπ3)=12sinxcosx+32sin2x
=14sin2x+3(1-cos2x)4=14sin2x-34cos2x+34=12sin(2x-π3)+34．
所以，函数f（x）的最小正周期为2π2=π．
（2）解：因为f(A)=12sin(2A-π3)+34=32，所以，sin(2A-π3)=32，
因为0＜A＜π2，则-π3＜2A-π3＜2π3，∴2A-π3=π3，可得A=π3，
由余弦定理可得3=BC2=AB2+AC2-2AB⋅ACcosπ3=AB2-2AB+2，
即AB2-2AB-1=0，因为AB＞0，解得AB=6+22，
此时，AB为最长边，角C为最大角，此时cosC=AC2+BC2-AB22AC·BC＞0，则角C为锐角，
所以，S△ABC=12AB⋅ACsinA=12×6+22×2×32=3+34．
【解析】
(1)利用三角恒等变换化简函数解析式为f(x)=12sin(2x-π3)+34，利用正弦型函数的周期公式可求得函数f(x)的最小正周期；
(2)由已知条件结合角A的取值范围可求得角A的值，利用余弦定理可求得AB边的长，再利用三角形的面积公式可求得结果．
此题主要考查三角函数的求值，考查学生的运算能力，属于中档题．
18.【答案】（1）解：设等差数列{an}的公差为d，则{a3=a1+2d=1S6=6a1+15d=7，解得a1=d=13，
所以，an=13+13(n-1)=n3，
当n=1时，b1=22-2=2，
当n≥2时，b1+b2+⋯+bn-1+bn=2n+1-2，
可得b1+b2+⋯+bn-1=2n-2，
上述两个等式作差可得bn=2n+1-2n=2n，
b1=2也满足bn=2n，故对任意的n∈N*，bn=2n．
（2）解：由（1）可得cn=2ntannπ3，
设pn=c3n-2+c3n-1+c3n=23n-2×3+23n-1×(-3)+0=-3×23n-2，
所以，pn+1pn=-3×23(n+1)-2-3×23n-2=8，
所以，数列{pn}是等比数列，且首项为p1=-23，公比为8，
因此，数列{cn}的前3n项和为T3n=-23(1-8n)1-8=23(1-8n)7．
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d，根据题意可得出关于a1、d的方程组，解出这两个量的值，可得出数列{an}的通项公式，利用前n项和与通项的关系可求得数列{bn}的通项公式；
(2)设pn=c3n-2+c3n-1+c3n，推导出数列{pn}为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列{cn}的前3n项和．
此题主要考查了等差数列与等比数列的综合计算，属于中档题．
19.【答案】（1）证明：在△ABD中，由AB=2，AD=3，∠BAD=30°，
得BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cosA=4+3-2×2×3×32=1，
∴AB2+AD2=BD2，即AD⊥BD，则PD⊥DB，
又PD=AD=3，DC=AB=2，PC=7，
∴PD2+DC2=PC2，PD⊥DC，
又DB∩DC=D，∴PD⊥平面BDC，而BC⊂平面BDC，
∴PD⊥BC；
（2）解：作EG⊥DC于G，则EG⊥平面BDC，
作GF⊥BD于F，连接EF，
可得EF⊥BD，即∠EFG为二面角E-BD-C的平面角，大小为45°．
∴EG=FG，又PD=BC，∴EG：PD=FG：BC，
而EG：PD=CG：DC，则FG：BC=CG：DC，
∴CG=DG，可得FG=EG=12BC=32，
又∵S△BDC=12BD×BC=12×3×1=32，
∴VE-BDC=13×32×32=14，
故三棱锥E-BCD的体积为14．
【解析】
(1)由已知求解三角形证明AD⊥BD，可得PD⊥DB，再由勾股定理证明PD⊥DC，可得PD⊥平面BDC，从而得到PD⊥BC；
(2)作EG⊥DC于G，则EG⊥平面BDC，作GF⊥BD于F，连接EF，可得∠EFG为二面角E-BD-C的平面角，大小为45°，再由平行线截线段成比例可得CG=DG，得到FG=EG=12BC=32，求出三角形BDC的面积，再由棱锥体积公式求棱锥E-BCD的体积．
此题主要考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．
20.【答案】解：设“小李第i关闯关成功”为事件Ai （i=1，2，3），
“小李第一关闯关成功，选择继续闯关”为事件B1，“小李第二关闯关成功，选择继续闯关”为事件B2，
（1）设“小李第一次闯关成功，选择继续闯关”为事件B2，
则P（C）=P(A1B1A2-)+P(A1B1A2B2A3-)=34×35×13+34×35×23×25×12=21100．
（2）随机变量X的所有可能取值为0，600，1500，3000，
P（X=0）=P(A1-)+P(C)=14+21100=46100=2350，
P（X=600）=P(A1B1-)=34×25=310，
P（X=1500）=P(A1B1A2B2-)=34×35×23×35=950，
P（X=3000）=P（A1B1A2B2A3）=34×35×23×25×12=350，
故X的分布列为：
X
0
600
1500
3000
P
2350
310
950
350
故E（X）=0×2350+600×310+1500×950+3000×350=630．
【解析】
(1)根据已知条件，分别求出小李在第二次闯关，在第三次闯关失败的概率，并求和，即可求解．
(2)随机变量X的所有可能取值为0，600，1500，3000，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
此题主要考查离散型随机变量分布列的求解，考查期望公式的应用，属于中档题．
21.【答案】（1）解：由已知可得{|QF|max=a+c=3ca=12a2=b2+c2，解得{a=2b=3c=1，
因此，椭圆E的方程为x24+y23=1．
（2）证明：由对称性，不妨设点P在x轴上方．
①当直线PF的斜率存在时，因为∠PFB的角平分线为FN，所以，∠PFB=2∠NFB，
所以，tan∠PFB=2tan∠NFB1-tan2∠NFB，即kPF=2kNF1-kNF2，
设直线AP的方程为y=k（x+2），其中k≠0，
联立{y=k(x+2)3x2+4y2=12可得（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，
设点P（x1，y1），则-2x1=16k2-124k2+3，所以x1=6-8k24k2+3，
则y1=k(x1+2)=12k4k2+3，即点P(6-8k24k2+3，12k4k2+3)，
所以，kPF=y1x1-1=12k3+4k26-8k23+4k2-1=4k1-4k2，
设直线FN的方程为y=m（x-1），则点N（2，m）、M（2，4k），
因为kPF=2kNF1-kNF2，则4k1-4k2=2m1-m2，整理可得（2k-m）（2km+1）=0，
因为km＞0，所以，m=2k，所以，yNyM=m4k=12，
所以，点N为线段BM的中点；
②当直线PF的斜率不存在时，不妨设点P(1，32)，
则直线AP的方程为y=12(x+2)，所以点M（2，2），
又因为直线FN的方程为y=x-1，所以点N（2，1），
所以，点N为线段BM的中点．
综上可知，点N为线段BM的中点．
【解析】
(1)由已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆E的方程；
(2)设点P在x轴上方，对直线PF的斜率是否存在进行分类讨论，在直线PF的斜率存在时，分析可得kPF=2kNF1-kNF2，设出直线AP、FN的方程，求出点P、M、N的坐标，由已知条件可得出M、N坐标之间的关系，可证得结论成立；在直线PF的斜率不存在时，直接求出M、N的坐标，即可证得结论成立．
此题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
22.【答案】解：（1）证明：当a=0时，f（x）=x-（e-1）lnx-1，要证f（x）≥（e-2）（1-x），即证x-（e-1）lnx-1≥（e-2）（1-x），即证x-1-lnx≥0，
令g（x）=x-1-lnx，x＞0，则g'(x)=1-1x=x-1x，
易知函数g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
∴g（x）≥g（1）=0，即得证；
（2）f'(x)=1-2a·lnx·1x-(e-a-1)·1x=1x(x-2alnx-e+a+1)，
令h（x）=x-2alnx-e+a+1，x∈（1，e），则h'(x)=1-2ax=x-2ax，
①当2a≤1，即a≤12时，h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上单调递增，
又h（1）=2+a-e＜0，h（e）=1-a＞0，
由零点存在性定理可知，存在x1∈（1，e），使得h（x1）=0，
且当x∈（1，x1）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x1，e）时，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
又f（1）=f（e）=0，故f（x）不存在零点；
②当2a≥e，即a≥e2时，h′（x）＜0，h（x）在（1，e）上单调递减，
又h（1）=2+a-e＞0，h（e）=1-a＜0，
由零点存在性定理可知，存在x2∈（1，e），使得h（x2）=0，
且当x∈（1，x2）时，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x2，e）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
又f（1）=f（e）=0，故f（x）不存在零点；
③当1＜2a＜e，即12＜a＜e2时，由h′（x）＞0，解得x＞2a，由h′（x）＜0，解得x＜2a，
∴函数h（x）在（1，2a）上单调递减，在（2a，e）上单调递增，
又h（2a）=3a-2aln（2a）-e+1，令V(x)=32x-xlnx-e+1，x∈(1，e)，则V'(x)=32-lnx-1=12-lnx，
易知函数V（x）在(1，e)上单调递增，在(e，e)上单调递减，
∴V(x)max=V(e)=1+e-e＜0，则h（2a）＜0，
由于f（1）=0，f（e）=0，要使函数f（x）在（1，e）内有零点，则需{h(1)>0h(e)>0，即{2+a-e>01-a>0，解得e-2＜a＜1，
综上，实数a的取值范围为（e-2，1）．
【解析】
(1)将a=0代入，问题转化为证明x-1-lnx⩾0，令g(x)=x-1-lnx，x>0，利用导数求出函数g(x)的最小值即可得证；
(2)对函数f(x)求导后，令h(x)=x-2alnx-e+a+1，x∈(1,e)，然后分2a⩽1，2a⩾e以及1<2a
相关试卷
山东省济宁市2023届高考数学一模试题（Word版附解析）： 这是一份山东省济宁市2023届高考数学一模试题（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了03， 已知，则等内容，欢迎下载使用。
2022年山东省济宁市高考数学一模试卷： 这是一份2022年山东省济宁市高考数学一模试卷，共16页。试卷主要包含了下列说法正确的是，2，则P=0等内容，欢迎下载使用。
2022年山东省济宁市高考数学二模试卷： 这是一份2022年山东省济宁市高考数学二模试卷
