8.19 极点与极线 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

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第19节  极点与极线知识与方法极点极线是射影几何中的重要内容，在中学教材中并未提及，但纵观历年高考的解析几何大题，可以发现诸多试题都有极点极线的背景，所以了解极点极线，可以让我们站在更高处来看待问题．这一小节我们先介绍极点极线的几何定义、代数定义和一些常用的性质，再辅以若干典型的高考真题的极点极线观点，来加深大家的理解.1．极点极线的几何定义：以椭圆为例，如图1所示，设P为椭圆外一点，过P作椭圆的两条割线分别与椭圆相交于A、B和C、D四点，与交于点M，与交于点N，则称点P为直线关于椭圆的极点，直线为点P关于椭圆的极线.另一方面，图1也可以这么来看，从椭圆外的点N作椭圆的两条割线分别交椭圆于A、D和B、C四点，与交于点M，AB与CD交于点P，所以点N和直线PM也是一对极点极线，事实上，点M和直线PN也是一对极点极线，因此在中，以其中一个顶点作为极点，那么该顶点的对边所在的直线就是对应的极线，从而我们将称为“自极三角形”，为了加以区分，图中画成了虚线．这个图形有两种特殊情况：（1）如图2所示，当四边形有一组对边平行时，如，此时我们看成和的交点N在无穷远处，那么以M为极点，对应的极线是图2中的，其中；以P为极点，那么极线是，其中；（2）如图3所示，当其中一条割线变成切线时，此时D、M、N几个点就都与切点C重合，从而点C和切线是一对极点极线.2．极点极线的代数定义：在平面直角坐标系中，设有圆锥曲线C（圆、椭圆、双曲线、抛物线均可）和不与C的对称中心重合的点，在圆锥曲线C的方程中，用替换，替换，替换x，替换y，得到的方程即为以P作为极点的极线的方程.例如，设椭圆C的方程为，极点为，则与P对应的极线为，即；又如，设抛物线C的方程为，极点为，则与P对应的极线为，即.可以看到，极点与极线是一个成对的概念，且若给定极点，求极线的规则是统一的，与圆锥曲线的类型无关，与极点P的位置无关，下面以椭圆为例，说明极点P在不同位置时，极线l的情形：（1）当点P在椭圆C上时，极线l为椭圆C在P处的切线，如图4所示；（2）当点P在椭圆C外部时，极线l为点P对椭圆C的切点弦所在直线，如图5所示；（3）当点P在椭圆C内部时，过点P任作椭圆C的一条割线交C于A、B两点，椭圆C在A、B两点处的切线交于点Q，则当割线绕着点P旋转时，点Q的轨迹就是极线l，如图6所示.3．极点极线的常用性质：（下面以椭圆为例）（1）如图7所示，O为椭圆中心，点P在椭圆内，延长交椭圆于点Q，交椭圆与点P对应的极线l于点M，则、、成等比数列；当P恰好为弦的中点时，直线的方程为，且极线l和椭圆在点Q处的切线均与平行.（2）调和分割性：如图8所示，设极点P的极线是直线l，过P作椭圆的一条割线交椭圆于A、B两点，交极线l于点Q，则P、A、Q、B成调和点列，即（或写成）（3）配极原理：若点P关于椭圆的极线过点Q，则点Q关于椭圆的极线也过点P.由此出发，我们可以得出共线点的极线必然共点，共点极线的极点必然共线，如图9所示，极点、、的极线分别为、、，则、、共线、、共点.提醒：极点极线的分析方法只能让我们在看到问题时能够迅速“窥得天机”，不能作为正式的作答，我们在学习时，仍然应该以基本方法为主，技巧偏方为辅，不能本末倒置.典型例题【例1】（2021·新高考Ⅱ卷·多选）已知直线与圆，点则下列说法正确的是（    ）A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【解析】解法1：A项，若点A在圆C上，则，圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相切，故A项正确；B项，若点A在圆C内，则，圆心C到直线l的距离，所以直线与圆C相离，故B项正确；C项，若点A在圆C外，则，圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交，故C项错误；D项，若点A在直线l上，则，即，圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相切，故D项正确.解法2：显然对于圆C，以作为极点，那么极线就是A项，若极点A在圆C上，则极线l是圆C的切线，故A项正确；B项，若极点A在圆C内，则极线l与圆C相离，故B项正确；C项，若极点A在圆C外，则极线l是圆C的切点弦，应与圆C相交，故C项错误；D项，若极点A在直线l上，这是极线恰好为切线，极点为切点的情形，故D项正确.【答案】ABD【例2】（2011·四川）椭圆有两个顶点，，过其焦点的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直线与交于点Q.（1）当时，求直线l的方程；（2）当P点异于A、B两点时，证明：为定值.【解析】（1）由题意，椭圆的短半轴长，半焦距，所以长半轴长，故椭圆的方程为，当时，易得直线l与x轴垂直，故可设l的方程为，设，，联立消去y整理得：，判别式，由韦达定理，，所以，解得：所以直线的方程为.（2）极点极线看问题：设，以P为极点，则对应的极线为，即，显然点Q在极线上，所以，不难发现.注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面两个解法来写.解法1：直线的斜率为，其方程为③，直线的斜率为，其方程为④，用式③除以式④整理得：，即，而，所以，由①知，故，解得：，易得，故，即为定值1.解法2：直线的斜率为，其方程为③，直线的斜率为，其方程为④，用式③除以式④整理得：，即⑤所以，因为，，所以，结合⑤可得与异号，又，所以与异号，即与异号，从而与同号，所以，解得：，易得，故，即为定值1.【例3】（2020·新课标Ⅰ卷）已知A、B分别为椭圆的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线上的动点，与E的另一交点为C，与E的另一交点为D.（1）求E的方程；（2）证明：直线过定点.【解析】（1）由题意，，，，故，，所以，解得：或（舍去），故E的方程为.（2）极点极线看问题：如图1，设和交于点Q，和交于点M，则为自极三角形，所以点Q和直线是一对极点极线，设，则极线的方程为，即，又点P在直线上，所以，从而，故，这样就得到了直线过定点.注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面两个解法来写.解法1：由（1）知，，设，，，当时，直线的方程为，代入消去x化简得：，解得：或，所以，故，从而，直线的方程为，代入消去x化简得：，解得：或，所以，从而，故，设，则，，即，故，所以T、C、D三点共线，从而直线过定点，当时，易得C、D分别与B、A重合，所以直线即为x轴，显然直线也过点T，综上所述，直线过定点解法2：由（1）知，，设，，当时，由图2可知点C不与点B重合，因为，所以，故、的斜率之积为①又的斜率，的斜率，所以，代入式①化简得：、的斜率之积，显然不与y轴垂直，否则与的交点在y轴上，故可直线的方程为，联立消去x整理得：，判别式，所以，由韦达定理，，，所以，，，故，即，整理得：，解得：或3，若，则C、D中有一个点与B重合，不合题意，所以，满足，即直线过定点，当时，易得C、D分别与B、A重合，所以直线即为x轴，也过点，综上所述，直线过定点【例4】（2018·新课标Ⅰ卷）设椭圆的右焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点，点M的坐标为.（1）当l与x轴垂直时，求直线的方程；（2）设O为坐标原点，证明：.【解析】（1）由题意，，当与轴垂直时，其方程为，由解得：，即点A的坐标为，当点A的坐标为时，直线的方程为，当点A的坐标为时，直线的方程为.（2）极点极线看问题：如图，设、分别为A、B关于x轴的对称点，则显然四边形构成等腰梯形，其对角线的交点为F，以为极点，则对应的极线为，即，而和的交点应该在极线上，从而就是和的交点，由图形的对称性不难发现.且这一结论还可以推广，若F不是焦点，而是椭圆内x轴正半轴上的一个一般的点，比如可设为，那么它的极线为，即，所以点必定也能使注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面的解法来写.解：当轴时，易得当l不与y轴垂直时，可设其方程为，设，，联立消去x整理得：，易得判别式，由韦达定理，，，而，所以，从而，综上所述，.【例5】（2008·安徽）设椭圆过点，且左焦点为.（1）求椭圆C的方程；（2）当过点的动直线l与椭圆C相交于两个不同的点A、B时，在线段上取点Q，满足，求证：点Q在某定直线上.【解析】（1）由题意，，解得：，，所以椭圆C的方程为.（2）极点极线看问题：因为，所以，故P、A、Q、B是一组调和点列，从而点Q必定在点P的极线上，因为点P的坐标为，所以它的极线为，化简得：，从而点O在定直线上.注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面的定比点差法来写.解：设，，因为，所以，设，则，，而，，，所以，且，从而，且，①×③得：，②×④得：，所以，即⑤又A、B在椭圆C上，所以，从而，代入⑤的：，化简得：，即点Q始终在直线上.强化训练1.（★★★）对于抛物线，设点满足，则直线与抛物线C（    ）A.恰有1个交点     B.恰有2个交点C.没有交点      D.有1个或2个交点【解析】显然直线l是点P对应的极线，因为，所以点P在抛物线内部，从而直线l与抛物线C没有交点.【答案】C2.（★★★）已知椭圆的右焦点为F，过点的直线与椭圆C在x轴上方相切于点B，则直线的方程为______.【解析】由题意，，以F为极点，则极线为，即，所以点A在极线上，根据配极原理，以A为极点的极线过点F，所以该极线就是，其方程为，即【答案】 3.（★★★）过点的直线l与椭圆相交于点A和B，且，点Q满足，若O为原点，则的最小值为________.【解析】由题意，所以点Q是对应极点P的极线与直线l的交点，如图，易求得极线l的方程为，即，所以点Q在该极线上，从而.【答案】4.（★★★★）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，上顶点为D，点P是椭圆C上异于顶点的动点，已知椭圆C的离心率，短轴长为2.（1）求椭圆C的方程；（2）如下图所示，直线与直线交于点M，直线与x轴交于点N，证明：直线过定点，并求出该定点.【解析】（1）由题意，，所以，椭圆C的离心率，所以，故椭圆C的方程为.（2）极点极线看问题：如图，连接、交于点Q，显然点Q的极线是直线，当P在椭圆上运动的过程中，点Q会在直线上运动，根据共线极点的极线必然共点不难发现直线是过定点的直线，易求得直线的方程为，所以可设，那么极线的方程为，整理得：，所以直线过的定点是．下面给出规范的作答过程.解：由（1）可得，，，可设直线的方程为， 联立消去x整理得：，解得：或，所以，从而，故，从而直线的斜率为故直线的方程为，联立解得：，所以，直线的方程为，即，联立，解得：，所以点M的坐标为，设，则，，从而，故G、M、N三点共线，即直线过定点.【反思】求解这道题时，可以先在草稿纸上用极点极线的知识去找到定点，那么在严格求解时，心中就有答案了，可以通过证明与共线，从而得出直线过定点G.5.（★★★★）如下图所示，椭圆的左、右顶点分别为A、B，左焦点为F，过F的直线与椭圆E交于不与A、B重合的C、D两点，记直线和的斜率分别，，证明：为定值.【解析】极点极线看问题：由题意，，椭圆E的极点F对应的极线为，即，如图，与的交点P应在极线上，所以可设，显然，，所以直线的斜率，直线的斜率，从而.下面给出严格求解过程.解：由题意，，直线不与y轴垂直，可设其方程为，设，，联立消去x整理得：，易得判别式，由韦达定理，，，所以显然，，所以直线的斜率，直线的斜率，从而.6.（★★★★）已知椭圆的上、下顶点分别为A和B，左焦点为F，原点O到直线的距离为.（1）求椭圆C的离心率；（2）设，直线与椭圆C交于不同的两点M、N，证明：直线与直线的交点G在定直线上.【解析】（1）由题意，原点O到直线的距离，所以椭圆C的离心率.（2）极点极线看问题：由题意，直线l与y轴交于定点，显然点G在点P对应的极线上，当时，易求得椭圆C的方程为，从而该极线的方程为，即，所以点G在定直线上．下面给出严格求解过程.解：由题意，，，设，，联立消去y整理得：，判别式所以或，由韦达定理， 直线的方程为，直线的方程为，联立消去x可得：，从而③，接下来给出以下两种计算非对称结构的方法：法1：由①②知，代入式③得：，从而，解得：，所以点G在定直线上.法2：由①知代入式③得：从而，解得：，所以点G在定直线上.