高中数学高考2018高考数学（理）大一轮复习习题：第九章 解析几何 课时达标检测（四十九） 直线与圆锥曲线 Word版含答案

课时达标检测（四十九）  直线与圆锥曲线

1．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的取值范围是(　　)

A.   B．(－，)

C.   D．

解析：选C　由题意知，右焦点为F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.当过点F的直线与渐近线平行时，满足与双曲线的右支有且只有一个交点，数形结合可知该直线的斜率的取值范围是，故选C.

2．已知经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，则k的取值范围是(　　)

A.   B.∪

C．(－，)   D．(－∞，－)∪(，＋∞)

解析：选B　由题意得，直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，整理得x2＋2kx＋1＝0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，解得k<－或k>，即k的取值范围为∪.故选B.

3．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　)

A．有且只有一条　   B．有且只有两条

C．有且只有三条   D．有且只有四条

解析：选B　∵通径2p＝2，|AB|＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝3>2p，故这样的直线有且只有两条．

4．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)

A．2        B.        C.   D.

解析：选C　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.则x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝· ＝·，故当t＝0时，|AB|max＝.

5．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为________．

解析：由题意得解得故椭圆C的方程为＋＝1.

答案：＋＝1

一、选择题

1．椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则＝(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，结合题意，由点差法得，＝－·＝－·＝－·＝－1，所以＝.

2．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于(　　)

A．－3   B．－

C．－或－3   D．±

解析：选B　依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，∴·＝－，同理，直线 l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.

3．已知抛物线y2＝2px的焦点F与椭圆16x2＋25y2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则点A的横坐标为(　　)

A．2        B．－2       C．3   D．－3

解析：选D　16x2＋25y2＝400可化为＋＝1，

则椭圆的左焦点为F(－3,0)，

又抛物线y2＝2px的焦点为，准线为x＝－，

所以＝－3，即p＝－6，即y2＝－12x，K(3,0)．

设A(x，y)，则由|AK|＝|AF|得

(x－3)2＋y2＝2，即x2＋18x＋9＋y2＝0，

又y2＝－12x，所以x2＋6x＋9＝0，解得x＝－3.

4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)

A．x＝1   B．x＝－1

C．x＝2   D．x＝－2

解析：选B　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵两点在抛物线上，

∴

①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，

又线段AB的中点的纵坐标为2，∴y1＋y2＝4，

又直线的斜率为1，∴＝1，∴2p＝4，p＝2，

∴抛物线的准线方程为x＝－＝－1.

5．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是(　　)

A．4   B．3 

C．4   D．8

解析：选C　∵y2＝4x，∴F(1,0)，准线l：x＝－1，过焦点F且斜率为的直线l1：y＝(x－1)，与y2＝4x联立，解得A(3,2)，∴AK＝4，∴S△AKF＝×4×2＝4.

6．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

解析：选C　由题可设斜率存在的切线的方程为y－＝k(x－1)(k为切线的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，由＝1，解得k＝－，所以圆x2＋y2＝1的一条切线的方程为3x＋4y－5＝0，可求得切点的坐标为，易知另一切点的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝－2x＋2，令y＝0得右焦点为(1,0)，令x＝0得上顶点为(0,2)，故a2＝b2＋c2＝5，所以所求椭圆的方程为＋＝1.

二、填空题

7．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．

解析：c＝5，设过点F平行于一条渐近线的直线方程为y＝(x－5)，即4x－3y－20＝0，联立直线与双曲线方程，求得yB＝－，则S＝×(5－3)×＝.

答案：

8．在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0，c)任作一条直线，与抛物线y＝x2相交于A，B两点，若·＝2，则c的值为________．

解析：设过点C的直线为y＝kx＋c(c>0)，代入y＝x2得x2＝kx＋c，即x2－kx－c＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝k，x1x2＝－c，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，因为·＝2，所以x1x2＋y1y2＝2，即x1x2＋(kx1＋c)(kx2＋c)＝2，即x1x2＋k2x1x2＋kc(x1＋x2)＋c2＝2，所以－c－k2c＋kc·k＋c2＝2，即c2－c－2＝0，所以c＝2或c＝－1(舍去)．

答案：2

9．中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为________．

解析：由已知得c＝5，设椭圆的方程为＋＝1，联立得消去y得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数关系得x1＋x2＝，由题意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，所以该椭圆方程为＋＝1.

答案：＋＝1

10．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·＝0，则k＝________.

解析：如图所示，设F为焦点，易知F(2，0)，取AB的中点P，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，由·＝0，知MA⊥MB，则|MP|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AG|＋|BH|)，所以MP为直角梯形BHGA的中位线，所以MP∥AG∥BH，由|MP|＝|AP|，得∠GAM＝∠AMP＝∠MAP，又|AG|＝|AF|，AM为公共边，所以△AMG≌△AMF，所以∠AFM＝∠AGM＝90°，则MF⊥AB，所以k＝－＝2.

答案：2

三、解答题

11．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2,0)，离心率为.过点F2的直线l(斜率不为0)与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．

解：(1)由题意可知

解得a＝，b＝.

故椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由题意可知直线l的斜率存在．设其方程为y＝k(x－2)，

点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(－x3，－y3)，

由得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0，

所以x1＋x2＝，

则y1＋y2＝k(x1＋x2－4)＝，

所以AB的中点D的坐标为，

因此直线OD的方程为x＋3ky＝0(k≠0)．

由

解得y＝，x3＝－3ky3.

因为四边形MF1NF2为矩形，

所以F2M―→·F2N―→＝0，

即(x3－2，y3)·(－x3－2，－y3)＝0，

所以4－x－y＝0.所以4－＝0.

解得k＝±.故直线l的方程为x－3y－2＝0或x＋3y－2＝0.

12．(2016·大连双基测试)已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于A，B两点，直线l2：x＝－2交x轴于点Q.

(1)设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值；

(2)点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点，·＝2，求抛物线C的方程．

解：(1)设直线l1的方程为x＝my＋2，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．

联立方程得y2－2pmy－4p＝0，

则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－4p.

k1＋k2＝＋

＝＋

＝

＝

＝0.

(2)设点P(x0，y0)，直线PA：y－y1＝(x－x1)，

当x＝－2时，yM＝，

同理yN＝.

因为·＝2，

所以4＋yNyM＝2，

即·

＝

＝

＝＝－2，

故p＝，所以抛物线C的方程为y2＝x.