初中苏科版9.4 矩形、菱形、正方形优秀精练

专题08 解题技巧专题：矩形、菱形、正方形与折叠问题压轴题七种模型全攻略

【考点导航】

【典型例题】

【考点一 矩形中的折叠问题求角度】

例题：（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）将矩形纸片沿折叠得到，与交于点E，若，则的度数为（    ）

A．15° B．20° C．25° D．30°

【变式训练】

1．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，将矩形纸片沿折叠，使点A落在对角线上的处．若，则等于（　　）

A． B． C． D．

2．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，、为折痕，若，则的度数为（    ）．

A． B． C． D．

3．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处．若∠DBC＝22°，则∠A'EB的大小为（　　）

A．68° B．34° C．56° D．46°

4．（2021春·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期中）将长方形沿折叠，得到如图所示的图形．已知，则________．

5．（2023秋·河南南阳·七年级校考期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，C，D两点分别落在，两点处，若，则______度．

6．（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期中）如图，将长方形沿折叠，点C落在点Q处，点D落在边上的点E处，若，则________．

【考点二 矩形中的折叠问题求线段】

例题：（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）如图，在长方形中，，．将沿折叠，使点的对应点落在上，则的长度为（    ）

A． B． C． D．

【变式训练】

1．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，矩形纸片中，，现将其沿对折，使得点落在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（　　）

A． B． C． D．

2．（2022秋·四川成都·九年级统考期中）如图，矩形，，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，连接，若三角形为等腰三角形，则______．

3．（2023秋·广东·八年级校联考期末）在长方形中，，，点E是边上的一个动点，把沿BE折叠，点A落在处，当是直角三角形时，的长为______．

4．（2023春·八年级单元测试）如图，已知矩形，点E为的中点，将沿直线折叠，点B落在点处，连接．

(1)求证：．

(2)若，，求线段的长．

5．（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）如图，把矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边上的点B'处，点A落在点A'处；

(1)求证：

(2)求证：．

(3)若，，F为的中点，求的长度．

6．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在矩形中，点E在边上，折叠使点A落在边上的点F处，折痕为，过点A作交于点G，连接．

(1)求证：四边形是菱形．

(2)若，，求四边形的面积．

【考点三 菱形中的折叠问题求角度】

例题：（2021春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠BEC′的大小为（   ）

A．20° B．25° C．30° D．35°

【变式训练】

1．（2022秋·九年级课时练习）如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，若，则的大小为（    ）．

A． B． C． D．

2．（2022秋·全国·九年级阶段练习）如图，菱形纸片ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，将菱形ABCD沿EF，GH折叠，使得点B，D两点重合于对角线BD上一点P，若AE＝2BE，则六边形AEFCHG面积的是（    ）

A．a2 B．a2 C．a2 D．a2

3．（2022秋·九年级课时练习）如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片分别沿，所在直线进行折叠，使得菱形的两边，重合于．若此时，则______．

4．（2022秋·九年级课时练习）如图，在菱形中，是上一点，沿折叠，点恰好落在上的点处，连接，若，则__________．

5．（2021·云南红河·统考一模）如图，菱形的周长为8厘米，，点M为的中点，点N是边上任一点，把沿直线折叠，点A落在图中的点E处，当_________厘米时，是直角三角形．

6．（2022春·吉林松原·八年级校考期末）如图，菱形ABCD中，∠A=120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，求∠BFC的度数是．

【考点四 菱形中的折叠问题求线段】

例题：（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在边长为 2的菱形 ABCD中，∠D＝45°，点 E在 BC边上，将沿 AE所在的直线折叠得到，交 CD于点 F，使经过点 C，则 的长度为__________．

【变式训练】

1．（2021春·全国·八年级专题练习）如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形的边长为4，，则的值是（   ）

A． B．2 C． D．4

2．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，折叠菱形纸片，使得对应边过点C，若，当时，的长是（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·八年级专题练习）如图，菱形纸片，，，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在边的中点处，折痕与边、分别交于点M、N．则的长为 _______．

4．（2022春·山西临汾·八年级统考期末）如图，菱形纸片的边长为，，点和分别在边和上运动，沿折叠，点的对应点落在边上，则的最大长度是_________．

5．（2022·安徽合肥·校考二模）如图，在菱形中，，，点是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠使落在直线上，点的对应点为点，折痕为且交于点．

（1）______；

（2）若点是的中点，则的长为______．

【考点五 正方形中的折叠问题求角度】

例题：（2022春·河北承德·七年级统考期末）如图，将正方形的一角折叠，折痕为，比大48°．则的度数为______．

【变式训练】

1．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，将正方形纸片按如图折叠， 为折痕，点 落在对角线 上的点 处，则 的度数为（   ）

A． B． C． D．

2．（2022秋·陕西西安·七年级高新一中校联考阶段练习）如图所示，将一张长方形纸片分别沿着，对折，使点B落在点，点C落在（在C的右侧），若，则的度数为（　　）

A．76° B．90° C．73° D．88°

3．（2022春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考开学考试）将一张正方形纸片如图所示的方式折叠，为折痕，点折凳后的对应点分别为，若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

4．（2022春·河南郑州·八年级校考期末）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么(    )

A． B． C． D．

5．（2023·全国·八年级专题练习）如图，将正方形沿对折，使点落在对角线上的处，连接，则 _________．

6．（2022春·重庆忠县·八年级统考期末）如图，正方形ABCD中，点E是BC上一点，连接DE，将沿DE翻折得到，GD交BC于点F，连接CG，若，则_____．

7．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为，若，求的大小．

8．（2022秋·四川成都·八年级成都七中校考期中）已知：如图，在边长为的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接

(1)求的度数：

(2)求的长度

【考点六 正方形中的折叠问题求线段】

例题：（2022春·安徽滁州·八年级校考期末）如图，正方形的边长为，点是的中点，沿所在直线折叠，得到，延长交于点，则的长为______．

【变式训练】

1．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若，则线段CH的长是（    ）

A．3 B． C．1 D．2

2．（2021春·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）如图，正方形纸片的边长为5，点和点分别在边与上，将、分别沿，折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为（    ）

A． B． C． D．5

3．（2022秋·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，正方形纸片的边长为12，E、G分别是、边上的点，连接、把正方形纸片沿折叠，使点C落在上的一点F，若，则的长为（   ）

A． B． C． D．

4．（2022秋·山西晋中·九年级校考阶段练习）如图，正方形纸片中，，点为边的中点，沿折叠至，连接．则线段的长为________．

5．（2022秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，，点E在边上，将沿对折至，延长交于点G，G恰好是边的中点，则的长是________．

6．（2022秋·山东东营·九年级东营市东营区实验中学校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，GF的长是 ___________．

7．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于G，连接．

(1)求证：．

(2)如图2，E为的中点，连接．

①求证：；②若正方形边长为6，求线段的长．

8．（2022春·河南驻马店·八年级统考阶段练习）如图，将正方形ABCD折叠，使点B落在DC边的中点Q处，点A落在P处，折痕为EF．已知BD长为16．

(1)求线段 AB和线段CF 的长；

(2)连接EQ，求EQ的长．

【考点七 矩形、菱形、正方形折叠后求周长、面积问题】

例题：（2022秋·江苏·八年级统考期中）把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若cm， cm．则重叠部分的面积为_____．

【变式训练】

1．（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）如图，矩形沿对角线折叠，已知长，宽，那么折叠后重合部分的面积是(    )

A． B． C． D．

2．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，已知正方形面积为2，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（    ）

A． B． C． D．

3．（2022春·江苏徐州·八年级邳州市新城中学校考阶段练习）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的面积为（　　　　）

A．1 B．2 C．2 D．4

4．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）如图，把一张长方形的纸片折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若长为，长为，其不重合部分的面积是_______．

5．（2022春·广东韶关·八年级统考期末）如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为______．

6．（2022春·广东汕头·八年级校考阶段练习）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，则阴影部分的面积为___________．

7．（2022秋·四川自贡·八年级统考期中）如图，把长方形沿对角线折叠，重合部分为．

(1)求证：为等腰三角形．

(2)图中有哪些全等三角形？

(3)若求的周长．

8．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）如图，长方形纸片的边长，．将矩形纸片沿折叠，使点与点重合，折叠后在其一面着色．

(1)求的长；

(2)求图中阴影部分的面积．