绵阳南山中学2023年三月高三月考数学（理科）试题含答案解析

绵阳南山中学2023年春三月月考数学（理科）试题

命题人：石智文  审题人：青树国

（时间：120分钟 分值：150分）

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在答题卡“栏目”内.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，考生用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若，则在复平面内，复数所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．等比数列的前n项和为，已知，= 9，则=（    ）

A． B． C． D．

4．某车间从生产的一批产品中随机抽取1000个零件进行质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（   ）

A．

B．估计这批产品该项质量指标的众数为45

C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60

D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5

5．为得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

6．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建设和搬迁很方便，适用于牧业生产和游牧生活.小明对蒙古包非常感兴趣，于是做了一

个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在他需要

买一些油毡纸铺上去（底面不铺），则至少要买油

毡纸（    ）

A．0.99π B．0.9π

C．0.66π D．0.81π

7. 2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司openAI发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：）

A．72 B．74 C．76 D．78

8．如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（    ）

A.                   B.

C.                 D．

9．已知，则（    ）

A． B． C． D．

10．函数是（  ）

A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2

C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为

11．若函数满足对一切实数恒成立，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

12．如图，在三棱锥中，平面，，，M为中点，H为线段上一点（除的中点外），且.

当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接

球表面积为（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知向量，，且，则t=____.

14．已知等差数列的前n项和为，若，，则_______.

15.已知函数，若对任意正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围是_________．

16．已知抛物线，其焦点为点，点是拋物线上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为___________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17．（12分）

第24届冬季奥运会于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下：

我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀.

（1）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？

（2）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中优秀人数，求X的分布列与期望.

18．（12分）

在①，②，③的面积为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．

(1)求角A；

(2)若，的内切圆半径为，求的面积．

19．（12分）

如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.

(1)求证：平面；

(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.

20．（12分）

已知函数，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．

21.（12分）

椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设直线交x轴于点P，其中，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值．

（二）选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知正实数满足．

(1)求的最小值；

(2)当取得最小值时，的值满足不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

绵阳南山中学2023年春3月月考数学（理科）

试题答案

四、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

1—5  ABCCD     6—10 DBCAC     11—12 CB

11题解析

【详解】由，对上式求导可得，

即，所以关于对称，因为，

所以图像的开口向上，对称轴为，由，

得，解得.故选：C.

12题解析

【详解】在中，因为M为中点，故，且，因为，，所以平面，故，又因为，所以平面，因此，故平面，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，即只需底面面积最大即可.因为，则，故，当且仅当时取等号.在中，，故，过点C作，取，的中点T，N，

连接，，过点T作的平行线交于点O.

由平面知平面.又平面，

故平面.因此O为三棱锥的外接球

的球心，由，

因为，所以，故，即三棱锥的外接球表面积为.故选：B

五、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.       14.50      15.    16.

16题解析：

【详解】将已知直线化为，当时，可确定直线过定点，记为M点.

∵过点F做直线的垂线，垂足为Q，

∴直线，即，

故Q点的轨迹是以FM为直径的圆，半径，其圆心为FM的中点，记为点H，∴，

∵P在抛物线上，其准线为，

∴等于P到准线的距离.

过P作准线的垂线，垂足为R.要使取到最小，即最小，

此时R、P、Q三点共线，且三点连线后直线RQ过圆心H.如图所示，

此时.

故答案为：

六、解答题：共70分.

（一）必考题：60分

17. （12分）

解：（1）记恰好2名学生都是优秀的事件为，

 则.

（2）抽到一名优秀学生的概率为，

X的取值为，

,

,

,

故X的分布列为：

18．（12分）

解：（1）若选①，由及正弦定理，得，

即，

即，

所以，

因为,所以，

所以，又,

所以．

若选②，由，得

，

∴，

因为,所以，当时，不存在，

所以，又,

所以．

若选③，因为的面积为，

所以，

即，

所以，又,

所以．

（2）由（1）知，，

∵内切圆半径为，

∴，即

，

由余弦定理，得，即，

所以，

联立，得，解得，

所以．

19．（12分）

解：（1）证明：连接，取线段的中点，连接，

在Rt中，，

，

在中，，

由余弦定理可得：，

在中，

，

又平面，

平面，

又平面

∴平面平面，

在中，，

∵平面平面平面，

平面.

（2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

，

平面的法向量，

在平面直角坐标系中，直线的方程为，

设的坐标为，

则，

设平面的法向量为，

，

所以，

令，则，

由已知，

解之得：或9（舍去），

所以点是线段的中点.

20．（12分）

解：（1）根据题意可知的定义域为，

，令，得．

当时，时，，时；

当时，时，，时．

综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）依题意，，即在上恒成立，

令，则．

对于，，故其必有两个零点，且两个零点的积为，

则两个零点一正一负，设其正零点为，

则，即，

且在上单调递减，在上单调递增，

故，即．

令，

则，

当时，，当时，，

则在上单调递增，在上单调递减，

又，故，

显然函数在上是关于的单调递增函数，

则，

所以实数的取值范围为．

21．(12分)

解：（1）由题意，设椭圆半焦距为c，则，即，得，

设，由，所以的最大值为，

将代入，有，解得，

所以椭圆的标准方程为；

（2）设，因为点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，则直线BC不与x轴重合，

设直线BC方程为，与椭圆方程联立得，

，可得，

由韦达定理可得，

直线BA的方程为，令得点M纵坐标，

同理可得点N纵坐标，

当O、A、M、N四点共圆，由相交弦定理可得，即，

，

由，故，解得．

（二）选考题:共10分.

22.（10分）（1） （1）∵C1的参数方程为

∴（x－4）2＋（y－5）2＝25（cos2t＋sin2t）＝25，

即C1的直角坐标方程为（x－4）2＋（y－5）2＝25，

把代入（x－4）2＋（y－5）2＝25，

化简得：.

（2）C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，C1的直角坐标方程为

（x－4）2＋（y－5）2＝25，

∴C1与C2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.

∴C1与C2交点的极坐标为.

23.（10分）

（1）由题意

∵，

∴，

∴，

当且仅当，即b＝2a时，a＋b有最小值9，

由4a＋b＝ab，可求得此时a＝3，b＝6．

（2）由题意及（1）得

．

∵满足不等式对任意的恒成立，

所以，

解得

∴实数的取值范围为．