2023届四川省绵阳南山中学高三下学期高考热身考试理科数学试题Word版含解析

  绵阳南山中学2023年高考热身考试

数学（理科）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．考试结束后，将答题卡收回．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的．）

1. 复数是纯虚数的充要条件是（    ）

A 且 B.

C. 且 D.

2. 已知命题，使得，则为（    ）

A. ，使得 B. ，使得

C. ，使得 D. ，使得

3. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届国际足联世界杯足球赛，这是世界杯第一次在阿拉伯地区举办，由于夏季炎热，2022年卡塔尔世界杯放在冬季进行，如图是卡塔尔2022年天气情况（其中曲线图表示气温，条形图表示降雨量），下列对月份说法错误的是（    ）

A. 有5个月平均气温在30以上

B. 有4个月平均降水量为0

C. 7月份平均气温最高

D 3月份平均降水量最高

4. 已知函数的大致图像如图所示，则函数的解析式应为(　　)

A.  B.

C.  D.

5. 某几何体的三视图如图所示（小正方形的边长为），则该几何体的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（    ）

A  B.  C.  D.

7. 圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（注：）（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）

A. 16 B. 12 C. 8 D. 4

9. 如图，正方形ABCD的边长为1，M、N分别为BC、CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，现有以下结论：①异面直线AC与MN所成的角为定值．②存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．③三棱锥N－ACM与B－ACD体积之比值为定值．④四面体ABCD的外接球体积为．其中说法正确的是（    ）

A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①④

10 已知，则（    ）

A.  B. －1 C.  D.

11. 双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 若，，，，则a，b，c，d中最大的是（    ）

A. a B. b C. c D. d

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 某班有7名班干部，其中4名男生，3名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为__________．

14. 已知曲线在点处的切线被圆所截弦长最短，则______．

15. 一封闭圆台上、下底面半径分别为1，4，母线长为6．该圆台内有一个球，则这个球表面积的最大值为______．

16. 已知函数，若存在，且，使，则的值为_______________．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．下图是2018-2022年移动物联网连接数与年份代码的散点图，其中年份2018-2022对应的分别为1~5．

（1）根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到），并推断它们的相关程度；

（2）求关于的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．

附：样本相关系数，，，

18. 如图，，分别是圆台上下底面的圆心，是下底面圆的直径，，点是下底面内以为直径的圆上的一个动点（点不在上）.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值.

19. 记正项数列的前项积为，且.

（1）证明：数列是等差数列；

（2）记，求数列的前项和.

20. 已知动圆经过点，并且与圆相切．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）动直线过点，且与轨迹分别交于，两点，点与点关于轴对称（点与点不重合），求证：直线恒过定点．

21. 设函数．

（1）求在处的切线方程；

（2）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

选考题：共10分．请考生在22，，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22. 在平面直角坐标中，曲线的参数方程为（为参数）

（1）写出曲线普通方程；

（2）若A、B是曲线上的两点且，求的最大值.

23. 已知定义在上的函数的最大值为．

（1）求的值；

（2）设，求证：．