绵阳南山中学2023年三月高三月考数学（文科）试题含答案解析

2023年3月

绵阳南山中学2023年春高三下期3月月考

数学试题(文科)

命题人：李若虚      审题人：郑  瑜

本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共 4 页；答题卷共 6页，满分150分．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、     选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．下列复数在复平面上所对应的点落在单位圆上的是（    ） 

A．2 B． C． D．

3．下列说法中正确的是　　

A．命题“若，则”的逆命题是真命题

B．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题

C．命题“”的否定为：“，”

D．直线l不在平面内，则“l上有两个不同的点到的距离相等”是“”的充要条件

4．向量，，若∥，则实数a＝（    ）

 A．－4 B．－2 C．2 D．4

5．通过加强对野生动物栖息地的保护，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量（的单位：年），其中为栖息地所能承受该野生动物的最大数量。当时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别，此时约为（）（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

6．已知等差数列的前项和为，，若，则（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13

7．执行如图所示的程序框图，若输出的，

则判断框内应填入的条件为（    ）

A． B．   

C．      　 D． （7题图）              （8题图）

8．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（    ）

A． B．           C． D．

9．已知函数，现有如下说法：，；，函数的图象关于原点对称；若，则的值可以为；，，若，则．则上述说法中，正确的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．已知奇函数在R上是增函数，．，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

11．已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（    ）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知直线和直线垂直，则实数的值为_________．

14．实数满足不等式组，则的最小值为__________．

15．已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为___________．

16．如图，若点是棱长为的正方体的内切球的球面上的动点，点为棱上的一点，且，，则动点的轨迹的长度为_____________．

三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答）

17．已知，设函数．

（1）当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值；

（2）设的内角的对应边分别是且，，求的值．

18．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量(百千克)与某种液体肥料每亩的使用量(千克)之间的对应数据的散点图如图所示．

(1)从散点图可以看出，可用线性回归方程拟合与的关系，请计算样本相关系数r并判断它们的相关程度；

(2)求关于的线性回归方程，并预测液体肥料每亩的使用量为12千克时西红柿亩产量的增加量．

附： ，，.

19．如图，在四棱锥中，和都是等边三角形，

平面平面，且，．

（1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积．

20．在平面直角坐标系xOy中：①已知点A(，0)，直线，

动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比；②已知点S，T分别在x轴，y轴上运动，且|ST|=3，动点P满；③已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记点到直线l的距离分别为动点P满足 ．

（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹方程；

（2）记（1）中动点P的轨迹为E，经过点D(1，0)的直线交E于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．

21．已知函数，．(1)试求函数的单调区间；

(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

选考题：（共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．

（1）求的普通方程和的极坐标方程；　（2）求曲线上的点到曲线距离的最小值．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数．

（1）求函数的最小值；（2），不等式恒成立，求实数的取值范围．

绵阳南山中学2023年春高三下期3月月考

文科数学答案

一、选择题：1—4．DCCB   5—8．CBCA    9—12．CADB

7．由题意得：解得，即当时，满足判断框内的条件，时，不满足判断框内的条件，结束运行，所以判断框内应填入的条件是“？”，故选：C．

8．设圆的半径为r，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为．

∴所求的概率为P= ．故选A．

9．函数．对于，令，解得，

此时，，，正确；

对于，，结合函数的图象知，，函数的图象关于原点对称，错误；

对于，若，则，的值为，

可以为，正确；

对于，当，时，，满足，正确；

综上，正确的命题序号是．故选C．

10．奇函数在上是增函数，则当时，，且

，则，在单调递增，且偶函数

，则，，则，故选：A．

11．，即

，

，

，　

，，，故选：D．

12．因为函数，

，在区间上是单调减函数，所以，

，在区间上是单调增函数，所以，

由于使得，所以

当时，或，解得或．所以当时，得．故选：B．

二、填空题：　13．      14．      15．       16．

16．【分析】由题意画出图形，上取点，使得，连接，由线面垂直的判定定理和性质，可得平面，所以点的轨迹为平面与球的截面圆周，求出截面圆的半径即可得出答案

如图所示，在上取点，使得，连接

，,  又平面，

又，平面，平面，

平面，又点是棱长为的正方体的内切球的球面上的动点且，可得点的轨迹为平面与球的截面圆周．连接,则

．　

又

又在平面，则到平面的距离：

又

设到平面的距离为，则，解得：

又正方体的内切球得半径

则截面圆的半径

因此可得动点的轨迹的长度为．故答案为：．

三、解答题：

17．解：（1）由题知：

，，

∴当，即，得时，取得最大值0

当，即，得时，取得最小值．

（2），即，又，则．

由余弦定理A得，解得：或．

另解：且，

由正弦定理有，则或

当时．，由勾股定理有；当时，，则

综上所解：或．

18．解：(1)由题知：＝＝5，＝＝5

所以y与x程正线性相关，且相关程度很强．

所以y关于x的线性回归方程为＝1.5＋0.7x

当x＝12时，＝1.5＋0.7×12＝9.9

所以预测液体肥料每亩的使用量为12千克时西红柿亩产量的增加量为9.9百千克．

19．（1）证明：由等边三角形可得

在中，，，，

可得，，所以

即，

又平面平面，平面平面

可得平面．

（2）取的中点，连接，如图所示：

由等边三角形，可得，.

又平面平面，平面平面，可得平面

所以四棱锥的体积为

．

20．（1）若选①：设P(x，y)，根据题意，得

整理可得：，所以动点P的轨迹方程为．

若选②：设P(x，y)，S(x′，0)，T(0，y′)，则＝3，(I)

因为，所以整理，得

代入(I)得：，所以动点P的轨迹方程为．

若选③：设P(x，y)，直线l与圆相切于点H，则|PA|＋|PB|＝d1＋d2＝2|OH|＝4>2＝|AB|

由椭圆的定义，知点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆

所以2a＝4，2c＝|AB|＝2，故a＝2，c＝，b＝1

所以动点P的轨迹方程为．

（2）设Q(0，y0)，当直线l′的斜率不存在时，y0＝0

当直线l′的斜率存在时，设直线l′的斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为

G(x3，y3)．由，得

所以

线段MN的垂直平分线的方程为

令x＝0，得y0＝－3y3．由，得

由>0得，所以0<≤，则－≤y3<0或0<y3≤，所以≤y0<0或0<y0≤．

综上所述，点Q纵坐标的取值范围是．

21．解：(1)因为，（，）

则

①若，则，即在区间上单调递减

②若，则当时， ；当时，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增

③若，则当时，；当时，

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减

综上所述，若，函数在区间上单调递减；

若，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；

若，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．

 (2)根据题意得

令．因为，则，即

于是，由，得

即对任意恒成立

设函数（），则

当时，；当时，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以

于是，可知，解得．故，实数的取值范围是．

22．（1）由,所以，代入，整理化简得：

因为中，所以，即的普通方程为：.

由得：，所以的普通方程为：

把代入，整理化简得：

所以的极坐标方程为： ．

(2)设上任意一点坐标，设P到的距离d，则

其中时，当， 取得最小值．

23．解：（1）由题知　

易知当时，单调递减；当时，单调递增

所以，即有最小值，无最大值．

（2），不等式恒成立，即

整理得：对于恒成立

设，则

所以函数的最小值是

所以，即实数的取值范围是．