2021-2022学年云南省下关第一中学高二下学期段考（一）数学试题（A卷）含解析

这是一份2021-2022学年云南省下关第一中学高二下学期段考（一）数学试题（A卷）含解析，共21页。试卷主要包含了 已知全集，集合，，则， 若命题， 若复数，则， 若，则， 下列不等式成立的是， 已知函数下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

一､选择题
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：
C
解析：
【分析】根据指数函数的性质求出集合B，再根据交集的定义即可得出答案.
【详解】解：因为，，
所以.
2. 若命题：，，则命题的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
答案：
C
解析：
【分析】将任意改为存在，再否定结论即可得到答案.
【详解】由题意知，命题的否定为，.
3. 若复数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：
A
解析：
【分析】先求出复数，在根据模长的公式求解.
【详解】，则.
4. 设，，，则a，b，c大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
答案：
A
解析：
【分析】利用指数运算法则，对数运算法则及中间值比大小.
【详解】，，；又，则．
5. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：
C
解析：
【分析】根据等差数列的前项和的性质，列式求解.
【详解】由等差数列的项和的性质可知，成等差数列，
即，，成等差数列，所以，所以.
即.
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：
A
解析：
【分析】根据题意将条件变形为，然后弦化切即可求得答案.
【详解】由题意，.
7. 已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A. B. C. D.
答案：
D
解析：
【分析】
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】
，
将代入得，故选D．
8. 已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：
A
解析：
【分析】由定义证明函数的单调性，再由函数不等式恒能成立的性质得出，从而得出实数的取值范围.
【详解】任取，
∵，∴，
即函数在上单调递减，，
，若，使得，则
即,故选：A.
二､多选题
9. 下列不等式成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，，则
答案：
A、D
解析：
【分析】
由不等式的性质对各个选项进行推理、验证可得正确答案.
【详解】对于A，若，根据不等式的性质则，故A正确；
对于B，当，时，，显然B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，，
因为，，所以，，所以
所以，即成立，故D正确．
故选AD．
10. 已知函数下列说法正确的是（ ）
A. 函数图象关于点对称
B. 函数图象关于直线对称
C. 函数在上单调递减
D. 图象右移个单位可得的图象
答案：
B、D
解析：
【分析】根据正弦函数的对称性，可判定A错误，B正确；根据正弦函数的单调性，可判定C错误；根据三角函数的图象变换，可判定D正确.
【详解】对于A中，令，可得，
所以不是函数的对称中心，所以A错误；
对于B中，令，可得，
所以函数关于对称，所以B正确；
对于C中，当，则，
根据正弦函数的单调性可知函数在已知区间上不单调，所以C错误；
对于D中，当向右平移个单位后可得，
所以D正确.故选：BD.
11. 已知点､是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（ ）
A. 与双曲线的实轴长相等B. 的面积为
C. 双曲线的离心率为D. 直线是双曲线的一条渐近线
答案：
B、C、D
解析：
【分析】结合双曲线的定义和条件可得，然后，然后逐一判断即可.
【详解】由双曲线的定义可得，
因为，所以，故A错误；
因为以线段为直径圆与双曲线在第一象限的交点为，
所以，所以的面积为，故B正确；
由勾股定理得，即，所以，故C正确
因为，所以，即，
所以双曲线的渐近线方程为：，即，即，故D正确.
12. 已知正方体的棱长为1，点，，分别为棱，，的中点，下列结论正确的是（ ）
A. 四面体的体积等于
B. 平面
C. 平面与平面夹角余弦值为
D. 平面
答案：
A、B、C
解析：
【分析】计算四面体体积判断A，在正方体中利用线面垂直的判定、性质定理推理可判断B，建立空间直角坐标系计算可判断CD.
【详解】对于A，四面体的体积为，故A正确；
对于B，正方体中，∵，，又，
∴平面，∵平面，∴，
同理，，又，∴平面，故B正确；
对于C，以为原点，建立空间直角坐标如图，
，，，，，
设平面的法向量，
则
取，得，
又平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，∴平面与平面的夹角的余弦值为，
故C正确；
对于D，，，，
由C选项可知，平面的一个法向量，
∵，∴与平面不平行，故D错误.
三､填空题
13. 设，向量，，且，则______．
答案：
解析：
【详解】因为，所以
点睛：
(1)向量平行：，,
(2)向量垂直：，
(3)向量加减乘：
14. 已知点在一次函数的图象上，其中，则的最小值为__________.
答案：
解析：
【分析】根据点在函数图象上先写出满足的关系式，在运用基本不等式求解最值即可.
【详解】解：因为点在一次函数的图象上，则，
又，所以，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.
15. 已知点在圆上，为中点，则的最大值为__________.
答案：
解析：
【分析】设，求出，再换元求函数的最值即得解.
【详解】设，因为为的中点，所以，
所以，
因为点在圆上，则，不妨令，
则，令，则，
所以当且仅当时，取是大值，故.
16. 在三棱锥中，平面，，，，是上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则________，三棱锥的外接球的表面积为________．
答案：
6
解析：
【分析】（1）设直线与平面所成的角为，先求出的最小值为，的最小值是，即点到的距离为，再利用余弦定理求出的值；
（2）取的外接圆的圆心为，则圆的半径，连接，作于点，即得，即得解.
【详解】设直线与平面所成的角为，三棱锥外接球的球心为，半径为，
如图所示，则，
所以，则的最小值为，的最小值是，即点到的距离为，所以．因为，
所以，所以，
所以，
所以．
取的外接圆的圆心为，则圆的半径．
连接，作于点，
则点为的中点，所以，
故三棱锥的外接球的表面积．
四､解答题
17. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图：
（1）求出表中，及图中的值；
（2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率．
答案：
见解析
解析：
【分析】（1）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值；
（2）该校高三学生有240人，分组内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人；
（3）设在区间内的人为，，，，在区间内的人为，，写出任选2人的所有基本事件，利用对立事件求得答案.
【详解】（1）由分组内的频数是，频率是0.25知，，
∴．∵频数之和为，
∴，，．
∵是对应分组的频率与组距的商，
∴；
（2）因为该校高三学生有人，分组内的频率是，
∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人．
（3）这个样本参加社区服务的次数不少于次的学生共有人，
设在区间内的人为，，，，在区间内的人为，．
则任选人共有，，，，，，，，，，，，，，15种情况，而两人都在内只能是一种，∴所求概率为．
18. 如图，在四棱柱中，底面是为菱形，，平面，E为的中点．
（1）证明：；
（2）若与平面所成角为，且，求二面角的大小．
答案：
见解析
解析：
【分析】（1）由线面垂直知是在面上的射影，结合菱形的性质即可证结论.
（2）若交于，构建为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，根据已知确定相关点的坐标，再求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值，进而求角的大小.
【详解】（1）由平面，易知是在面上的射影，
∵底面是为菱形，
∴，∴.
（2）若交于，如下图，构建为、、轴正方向的空间直角坐标系，
令，由，面是为菱形，为的中点且，
∴，，，，
∴，，，
若是面的一个法向量，则，令，即，而面的一个法向量为，
∴，故锐二面角的大小为.
19. 已知在数列中，，且满足.
（1）证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
答案：
见解析
解析：
【分析】（1）两边同除以可得，利用等差数列的定义可得答案；
（2）利用错位相减求和可得答案.
【详解】（1），两边同除以，，∴，
又是以为首项，公差为的等差数列，
，
数列的通项公式为：.
（2）由（1）可知：，
，①
，②
①-②得
，
20. 在中，内角所对的边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若是锐角三角形，且，求的取值范围.
答案：
见解析
解析：
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合三角恒等变换的知识求得.
（2）利用正弦定理将转化为用来表示的式子，结合三角函数的值域的求法，求得的取值范围.
【详解】（1），
由正弦定理得：.
，∴，故，即，
于是得，所以或.
（2）因为是锐角三角形，由（1）知，于是有，
且，从而得，
而，由正弦定理得，
则，，
则有
而，则，即，
所以的取值范围为.
21. 已知函数为实数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若在上恒成立，求的范围；
答案：
见解析
解析：
【分析】(1) 求得函数的导数令，解得或，根据根的大小三种情况分类讨论，即可求解．
（2）依题意有在上的恒成立，
转化为在上的恒成立，设，，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解．
【详解】(1) 由题意，函数，
则
令，解得或，
①当时，有，有，故在上单调递增；
②当时，有，随的变化情况如下表：

由上表可知在和上单调递增，在上单调递减；
③同②当时，有，
有在和上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）依题意有在上的恒成立，
即在上的恒成立，
故在上的恒成立，
设，，则有…（*）
易得，令，有，，
随的变化情况如下表：

由上表可知，，
又由（*）式可知，
故的范围为．
22. 知椭圆的焦点在轴上，并且经过点，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）动直线与圆相切于点，与椭圆相交于，两点，线段的中点为，求面积的最大值，并求此时点的坐标．
答案：
见解析
解析：
【分析】（1）先设椭圆的标准方程，再根据题意建立方程，．，最后求椭圆的标准方程即可；
（2）先得到方程和，再用表示出、、，最后求最大时点的坐标即可.
【详解】（1）设椭圆的标准方程为，
由题意得，，．
因为，所以，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设动直线的方程为．
由直线与圆相切得，即．
由，得，
其中．
设，，，
则，从而，．
所以
．
因为，所以．
当时，上式等号成立，此时．
故的面积最大值为，
此时点的坐标为或或或．