2022-2023学年云南省大理市下关第一中学教育集团高二上学期段考（二）数学试题（A卷）（解析版）

2022-2023学年云南省大理市下关第一中学教育集团高二上学期段考（二）数学试题（A卷）

一、单选题

1．若，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】利用复数的除法可求，从而可求.

【详解】由题设有，故，故，

故选：D

2．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设直线的倾斜角为，根据直线的方程求出直线的斜率 ，再由结合即可求解.

【详解】设直线的倾斜角为，

由可得，

所以直线的斜率，则，

因为，所以，

故选：C.

3．在等差数列中，已知 ，则等于（　　）

A．40 B．42 C．43 D．45

【答案】B

【分析】根据等差数列的基本量的计算，求得公差，结合等差数列性质即可求得答案.

【详解】由题意得等差数列中，已知，

设公差为d，则，故    ，

故选：B

4．在等比数列中，若，是方程的根，则的值为（    ）

A． B． C． D．或

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用等比数列的性质计算作答.

【详解】显然方程有两个正实根，依题意，有，，

等比数列公比，，所以.

故选：C

5．数学家蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由新定义求得后，再求出可得离心率．

【详解】由题意，，所以，

离心率为．

故选：A．

6．已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，测量得水面宽8米．当水面升高0.5米后，水面宽度是（    ）米.

A．3 B．4 C． D．

【答案】D

【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意确定点的坐标，代入方程求得p，继而可求得水面升高米后的水面宽度，即得答案.

【详解】由题意，以拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，抛物线的开口向下，

设抛物线的标准方程为，∵顶点距水面2米时，量得水面宽8米，

∴点在抛物线上，代入方程得，p＝4，∴，

当水面升高0.5米后，设水面如图中,则A点纵坐标为 ，

代入方程得：，

∴水面宽度是米，

故选：D．

7．已知双曲线的右焦点为，过F和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由焦点坐标得，由平行线斜率相等得，从而求得得双曲线方程．

【详解】右焦点为，则，

过F和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则，，

，

双曲线方程为．

故选：B．

8．过点 的直线与曲线交于两点，且满足，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据曲线的解析式得到曲线为半圆，然后结合图象得到直线的斜率的范围，根据得到，然后列方程求解即可.

【详解】

曲线，可整理为，所以曲线为半圆，图象如上所示，，，直线与曲线有两个交点，所以直线的斜率，

取中点为，连接，，所以，

设直线的方程为，则，，，，

因为，所以，，解得或1（舍去）.

故选：B.

二、多选题

9．设，为不重合的两个平面，，为不重合的两条直线，则下列命题中正确的是（    ）

A．，则

B．，则

C．，则

D．，则

【答案】AB

【分析】对A，由面面垂直证线线垂直；

对B，由线面垂直证面面垂直；

对C，由面面平行证线面平行；

对D，由面面平行证线线平行.

【详解】对A，由可得或，又，可得，A对；

对B，由，可得．又，所以，B对；

对C，由可得或，C错；

对D，由得或m与n异面，D错.

故选：AB

10．下列选项中哪些是正确的（    ）

A．命题的否定是.

B．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度.

C．函数为奇函数.

D．已知向量.若，则.

【答案】ACD

【分析】A通过特称命题的否定是全称命题来判断；

B利用三角函数平移规律来判断；

C利用奇函数的定义来判断；

D利用垂直的坐标运算来计算.

【详解】命题的否定是，A正确；

把函数图象上所有的点向右平移个单位长度得，B错误；

定义域为，又，函数为奇函数，C正确；

若，则，得，D正确.

故选：ACD.

11．设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的有（    ）

A． B．

C．数列单调递减 D．对任意，有

【答案】BCD

【分析】由可得，而，从而可判断ABCD.

【详解】，

，，B正确；

而，故无法判断的正负，A错误；

，数列单调递减，C正确；

当时，有最大值，即，D正确.

故选：BCD

12．已知双曲线的左，右顶点分别为，，点P，Q是双曲线C上关于原点对称的两点（异于顶点），直线，，的斜率分别为，，，若，则下列说法正确的是（    ）

A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的离心率为

C．为定值 D．的取值范围为

【答案】BCD

【分析】求得双曲线C的渐近线方程判断选项A；求得双曲线C的离心率判断选项B；化简后再判断选项C；求得的取值范围判断选项D.

【详解】设，则，因为，，

故，

依题意有，所以，

所以双曲线C的渐近线方程为，

离心率，故选项A错误，选项B正确；

因为点P，Q关于原点对称，所以四边形为平行四边形，即有，

所以，故C正确；

设的倾斜角为，的倾斜角为，由题意可得，

则，根据对称性不妨设P在x轴上方，则，则，则，

因为P在x轴上方，则，或，

函数在和上单调递增，

所以，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则an＝________．

【答案】

【分析】利用的关系求{an}的通项公式，注意是否适合所得通项.

【详解】当n＝1时，；当时，；

由于n＝1时a1的值不适合的通项公式，

∴{an}的通项公式为.

故答案为：.

14．写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．

【答案】或或

【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.

【详解】[方法一]：

显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，

于是，

故①，于是或，

再结合①解得或或，

所以直线方程有三条，分别为，，

填一条即可

[方法二]：

设圆的圆心，半径为，

圆的圆心，半径，

则，因此两圆外切，

由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；

又由方程和相减可得方程，

即为过两圆公共切点的切线方程，

又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，

直线OC与直线的交点为，

设过该点的直线为，则，解得，

从而该切线的方程为填一条即可

[方法三]：

圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，

两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，

如图，

当切线为l时，因为，所以，设方程为

O到l的距离，解得，所以l的方程为，

当切线为m时，设直线方程为，其中，，

由题意，解得，

当切线为n时，易知切线方程为，

故答案为：或或.

15．如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图像上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则_______ .

【答案】216

【分析】由的坐标得出矩形的周长，进而得出.

【详解】由题意，在函数的图像上，若点坐标为的纵坐标为的横坐标为，所以矩形的一条边长为，另一条边长为，所以矩形的周长为，

故答案为：216

16．椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为_________．

【答案】6

【分析】先由判断出四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆的方程，将点代入椭圆及圆，即可求出，即可求得短轴长.

【详解】由题意得，设，由可得在以为直径的圆上，

又原点为圆上弦的中点，所以圆心在的垂直平分线上，即在轴上，则，又可得，

故圆心坐标为，所以圆的方程为，将代入可得，

又，解得，则，故短轴长为.

故答案为：6.

四、解答题

17．已知公差为2的等差数列中，，，成等比数列.

(1)求；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，用表示，求解即可；

（2）结合等差、等比求和公式，分组求和即可.

【详解】（1）因为，，成等比数列，所以，

又因为等差数列的公差为2，

所以，

解得，

所以；

（2）由题意，

由于，故为以为首项，公比为4的等比数列，

所以

.

18．某区，，三所学校有意愿报考名校自招的人数分别为24，8，16人，受疫情因素影响，该区用分层随机抽样的方法从三所学校中抽取了6名学生，参加了该区统一举办的现场小范围自招推介说明会.

(1)从这6名中随机抽取2名学生进行座谈和学情调查，求这2名学生来自不同学校的概率；

(2)若考生小张根据自身实际，报考了甲乙两所名校的自招，设通过甲校自招资格审核的概率为，通过乙校自招资格审核的概率为，已知通过两所学校自招资格审核与否是相互独立的，求小张至少能通过一所学校自招资格审核的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先确定三所学校被抽到的人数，再利用编号，列举的方法，即可所求概率；

（2）首先求两所学校都没有通过的概率，再利用对立事件概率公式，即可求解.

【详解】（1）用分层随机抽样的方法从三个学校中一共抽取了6名选手参加全市集训，现三所学校应该抽取的人数分别为3，1，2

设来自学校的三名学生分别为，，；来自学校的学生为；来自学校的两名学生分别为，

从这6名中随机抽取2名学生进行座谈和学情调查，样本空间

共包含15个样本点

记这2名学生来自不同学校为事件，

事件含，，；，，；，，，，共11个样本点，

所以

（2）记小张至少能通过一所学校自招资格审核为事件，通过甲学校自招资格审核为事件，通过乙学校自招资格审核为事件，则事件“至少通过一所学校自招资格审核”的对立事件是“两所学校都通不过”，

因为与相互独立，所以与相互独立

所以

答：小张至少能通过一所学校自招资格审核的概率为

19．如图，圆柱轴截面ABCD是正方形，，点E在底面圆周上，，F为垂足．

(1)求证：；

(2)当直线DE与平面ABE所成角的正切值为时，求三棱锥的体积．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）先证明，证明，进而证明平面，根据线面垂直的性质定理可证明结论.

（2）建立空间直角坐标系，求出三角形的面积，平面DCE的法向量，利用空间向量的距离公式求出点B到平面CDE的距离，再由三棱锥的面积公式即可求出答案..

【详解】（1）由题意可知底面 , 底面 ,故 ，

又，，平面AED，

故平面AED,

由平面AED,得，

又，平面BED，故平面BED,

由平面BED,，可得．

（2）由题意，以A为原点，在底面圆内过点A作AB的垂线作为x轴，以AB，AD所在直线为y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，

并设AD的长度为2，则，，，，

因为平面ABE，所以∠DEA就是直线DE与平面ABE所成的角，

所以，所以，所以，

，

，

由上可得，，

设平面DCE的法向量为，则，即

取，得．

因为，

所以点B到平面CDE的距离．

所以三棱锥的体积为：.

20．已知的三个内角的对边分别为，，，内角成等差数列，，数列是等比数列，且首项、公比均为.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）由题意求得，根据正弦定理求得等比数列的首项和公比，可得答案；

（2）利用（1）的结论可得的表达式，利用错位相减法即可求得答案.

【详解】（1）∵内角成等差数列,∴，又,∴,

又 所以 ，

即数列是等比数列，且首项、公比均为，所以.

（2）由（1）可得∶ ,

∴，

又，

两式相减 ,

整理得︰．

21．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米.

(1)求线段的长度；

(2)若，求两条观光线路与所围成的面积的最大值.

【答案】(1)3千米

(2)平方千米

【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求解；

（2）设，则，在中，由正弦定理可得，，则由整理可得，结合的范围，即可求解.

【详解】（1）在中，由余弦定理得，

，

所以，

所以线段的长度为3千米.

（2）设，因为，所以，

在中，由正弦定理得，

，

所以，，

因此

，

因为，所以.

所以当，即时，所围成的面积的最大值为.

所以两条观光线路与所围成的面积的最大值为平方千米．

22．设抛物线的准线为l，A、B为抛物线上两动点，于，定点使有最小值．

(1)求抛物线的方程；

(2)当（且）时，是否存在一定点T满足为定值？若存在，求出T的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在定点，使得为定值．

【分析】（1）根据抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，然后三点共线时，距离和最短，即可得到关系式；

（2）由已知可得，直线经过点，设出直线方程和点的坐标，与抛物线联立，根据韦达定理，得到，，表示出，整理完成得到，可知当所有的形式前面的系数均为0时为定值，即可解出T的坐标和该定值.

【详解】（1）设抛物线焦点为F，，根据抛物线的定义有，

则，

即，所以（舍去负值），

则抛物线的方程为．

（2）∵，∴K、A、B三点共线．

∴设直线AB方程为，

设，，，

联立得，

，则或.

，，，，

且有，

而

，

因为，的任意性，要使该值为定值，需满足

，可得，此时.