2022-2023学年云南省昆明市第一中学高一上学期期末考试数学试题含解析

  昆明第一中学2022-2023学年度上学期期末考试

高一数学

一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】

根据命题的否定的定义判断，同时要注意既要否定结论，也要转化量词.

【详解】因为命题“，.

根据命题否定的定义

所以该命题的否定是，

故选：C

【点睛】本题主要考查了命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

2. 设全集，集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合中的不等式的解集，确定出集合，利用对数函数的图像与性质及对数的运算性质，求出集合中不等式的解集，确定出集合，找出两集合的公共部分，即可得到两集合的交集.

【详解】由集合中的不等式，解得，

集合，

由集合中的不等式，解得，

集合，

则.

故选：D.

3. 已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克（    ）

A. 5730 B. 11460 C. 17190 D. 22920

【答案】B

【解析】

【分析】

根据由题意可知再经过2个半衰期可消耗到0125克.

【详解】由题意可得：碳14的半衰期为5730年，则再过5730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11460年后，质量可消耗到0.125克．

故选：B.

【点睛】本题考查指数函数的应用，属于基础题.

4. 不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意列不等式组求解

【详解】当即时，恒成立，满足题意，

当时，由题意得，解得，

综上，的取值范围是，

故选：B

5. 在中，若，则的形状为（    ）

A. 等腰三角形

B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形

D. 等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】利用诱导公式和两角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化简已知条件，再结合角的范围即可求解.

【详解】因为，

由可得：，

即，

所以，

所以，

所以或，

因为，，

所以或，

所以的形状为等腰三角形或直角三角形，

故选：D.

6. 若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（    ）

A. 0 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

采用分离参数将问题转化为“对一切恒成立”，再利用基本不等式求解出的最小值，由此求解出的取值范围.

【详解】因为不等式对于一切恒成立，

所以对一切恒成立，

所以，

又因为在上单调递减，所以，

所以，所以的最小值为，

故选：C.

【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在给定区间上的恒成立问题，难度一般.不等式在给定区间上恒成立求解参数范围的两种方法：参变分离法、分类讨论法.

7. 已知函数，则下列关于函数的说法正确的是．

A. 为奇函数且在上为增函数 B. 为偶函数且在上为增函数

C. 为奇函数且在上为减函数 D. 为偶函数且在上为减函数

【答案】A

【解析】

【详解】函数，其定义域为，∵，∴为奇函数，∵在上单调递增，∴在上单调递减，∴在上单调递增，∴函数在上单调递增，综上可知：为奇函数且在上为增函数，故选A.

8. 已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】分讨论，求出的范围，根据在范围内建立不等式求解即可.

【详解】当时，，

由题意知，，即，

当时，，

由题意知，，即，

的取值范围是，

故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列四组函数中，表示同一函数的是(    )

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】AC

【解析】

【分析】两函数定义域相同，对应关系相同，则它们是同一函数，据此逐项分析即可.

【详解】A：，，两函数定义域均为R，对应关系相同，故两个函数为同一函数；

B：定义域为R，的定义域为，故两函数不为同一函数；

C：，，两函数定义域均为R，对应关系相同，故两个函数为同一函数；

D：定义域满足，即[1，＋∞)；定义域满足，即(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故两函数不为同一函数.

故选：AC.

10. 已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

分析】利用特殊值判断A，利用基本不等式判断B、C、D.

【详解】解：对于A：当时，满足，但是，故A错误；

对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确；

对于C：因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，故C正确；

对于C：因为，所以，，

所以，

当且仅当时取等号，故D正确；

故选：BCD

11. 设函数，给出如下命题，其中正确的是（   ）

A. 时，是奇函数

B. ，时，方程只有一个实数根

C. 的图象关于点对称

D. 方程最多有两个实数根

【答案】ABC

【解析】

【分析】

利用函数的解析式，结合奇偶性和对称性，以及利用特值法，依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A，当时，，

此时，故为奇函数，A正确；

对选项B，当，时，，

若，无解，若，有一解，所以B正确；

对选项C，因为为奇函数，图象关于对称，

所以图象关于对称，故C正确，

对选项D，当，时，，

方程，即，解得，，，

故D错误.

故选：ABC

12. 已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，若，则下列结论正确的是（    ）

A. 是偶函数 B.

C. 的图象关于点对称 D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】由，得到，

得出是周期为4的周期函数.根据函数的图象变换，

得到函数的关于对称，得出函数为偶函数.

结合，根据.

进而求得，得到函数关于中心对称，即可判断.

【详解】对于选项A：由函数的图像关于对称，根据函数的图象变换，

可得函数的图象关于对称，所以函数为偶函数，所以A正确；

对于选项B：

由函数对任意都有，可得，

所以函数是周期为4的周期函数，

因为，可得，

则，所以B正确；

又因为函数为偶函数，即，所以，

可得，所以函数关于中心对称，所以C正确；

所以，所以，所以D错误.

故选：ABC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 设函数，则的值为________.

【答案】2

【解析】

【分析】

先求出，再由求出结果.

【详解】首先，，所以.

故答案为：2

【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.

14. 若，则=_____.

【答案】

【解析】

【分析】由诱导公式可知，所以，再根据诱导公式，即可求出结果.

【详解】.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题.

15. 已知，则______．

【答案】

【解析】

【分析】结合正切函数的和差公式及二倍角公式即可运算.

【详解】，

∴．

故答案为：.

16. 已知只有一个零点，则____________．

【答案】

【解析】

【分析】由函数只有一个零点，转化为方程有唯一的实数解，

结合基本不等式，求得，得到，即可求解.

【详解】由题意，函数只有一个零点，

即有唯一的实数根，即方程有唯一的实数解，

令

因为，所以，

当且仅当时，即等号成立，

因为方程有唯一的实数解，所以，即.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了根据函数的零点公式求解参数问题，以及基本不等式的应用，其中解答中把函数的零点个数转化为方程解得个数，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 化简求值

（1）；

（2）.

【答案】（1）109；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用指数幂运算和分数指数幂与根式的转化，化简求值即可；

（2）利用对数运算性质化简求值即可.

【详解】解：（1）原式；

（2）原式.

18. 设，已知函数过点，且函数的对称轴为.

（1）求函数的表达式；

（2）若，函数的最大值为，最小值为，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】根据函数过点及二次函数的对称轴，得到方程组，解得、即可求出函数解析式；

（2）将函数配成顶点式，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值.

【小问1详解】

解：依题意，解得，所以；

【小问2详解】

解：由（1）可得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

所以，，

即、，所以.

19. 已知.

（1）求的值

（2）求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（2）由平方关系求得，再根据二倍角得余弦公式即可得解；

（2）由（1）求得，再根据两角差得正切公式即可得解.

小问1详解】

解：因为，所以，

所以，

又因为，

所以；

【小问2详解】

解：由（1）得，

所以，

所以.

20. 已知函数.

（1）当时，求的单调递增区间；

（2）当且时，的值域是，求，的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）首先利用三角恒等变形公式将函数化为的形式，再由，解出x的范围，可得函数的单调递增区间；

（2）由，得到，进而得到，从而由（1）所得式子，可用a、b将函数的最小值及最大值，取立得方程组，解之即可求得a、b的值.

【详解】（1）

令，则，

的单调递增区间；

（2），，，

，，

∴.

【点睛】本题重点考查了三角函数的图象和性质，属于基础题.

21. 已知函数为奇函数．

（1）求常数的值；

（2）当时，判断的单调性；

（3）若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）单调递增    （3）

【解析】

【分析】（1）根据奇函数及对数函数的性质求参数值；

（2）令，结合对数函数的性质判断的大小关系即可.

（3）将问题转化为在区间上无解，根据右侧函数的单调性求值域，即可确定m的范围.

【小问1详解】

由，即，

所以，故，则，

当时，显然不成立，经验证：符合题意；

所以；

【小问2详解】

单调递增

由（1）知：，若，

则，

而，即，

所以，故单调递增.

【小问3详解】

由，令，

所以，由（2）知：在上递增，而在上递减，

所以在上递减，则.

又在区间上无解，故

22. “金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度（单位：米）与生长年限（单位：年）满足关系，树木栽种时的高度为米；1年后，树木的高度达到米.

（1）求的解析式；

（2）问从种植起，第几年树木生长最快？

【答案】（1）；（2）第3年与第4年.

【解析】

【分析】

（1）由已知得，即，解方程即可求的值，即可求解.

（2）树木第年增长量为：整理之后利用基本不等式求最大值即可.

【详解】（1）由已知得，即，

所以，解得，，

所以，.

（2）令，.

问题化为，当时，求函数的最大值.

而

.

当且仅当，即，上式取等号，但，，

故种植之日起，第3年与第4年树木生长最快.

【点睛】关键点点睛：求第几年树木生长最快关键是构造函数

表示第年的增长量的增长量，经过变形可以利用基本不等式求最值，即可求出取得最值时的值，本题也可以采用换元法令，则通分后分子分母同时除以，再利用基本不等式求最值.