云南省昆明市五华区2022-2023学年高一上学期期末监测数学试题

这是一份云南省昆明市五华区2022-2023学年高一上学期期末监测数学试题，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由交集运算求解.
【详解】
故选：C
2. 在平面直角坐标系中，若角的始边为轴的非负半轴，其终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数的定义求解.
【详解】因为其终边经过点，所以.
故选：A
3. 下列四组函数中，与表示同一函数的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】判断与的定义域、对应关系，从而得出答案.
【详解】对于A：与的定义域不一致，故A错误；
对于B：的定义域为，的定义域为，定义域不一致，故B错误；
对于C：的定义域为，的定义域为，定义域不一致，故C错误；
对于D：与的定义域都为，且，即与为同一函数，故D正确；
故选：D
4. 若，，且，则的最大值为（ ）
A. 5B. 6C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据即可求解.
【详解】因为，，且，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为9.
故选:D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化为关于的二次齐次式，然后弦化切代入计算．
【详解】，则，
故选：B．
6. 函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由奇偶性排除AC；讨论和两种情况，结合函数的单调性判断BD.
【详解】当时，函数的定义域为，
当时，函数的定义域为，其定义域都关于原点对称，，即函数为奇函数，其图像关于原点对称，故AC错误；
由选项图可知，都是讨论的情况，
当时，，对勾函数在上单调递减，
在上单调递增，若，则在上单调递增，
在上单调递减，且当时，，故B正确；
对于D选项，由图可知，.函数在和上单调递增，
若，在和上单调递减，
若，在和上单调递增，故D错误；
故选：B
7. 某同学完成假期作业后，离开学还有10天时间决定去某公司体验生活，公司给出薪资有三种方案；方案①；每天50元；方案②：第一天10元，以后每天比前一天多10元；方案③：第一天1元，以后每天比前一天翻一番，为了使体坛生活期间的薪资最多，下列方案选择错误的是（ ）
A. 若体验7天，则选择方案①B. 若体验8天，则选择方案②
C. 若体验9天，则选择方案③D. 若体验10天，则选择方案③
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列与等比数列求和公式得出各天各方案的薪资，比较大小即可对选项一一判断.
【详解】对于A：体验7天，方案①需：元，方案②需：元，方案③需：元；故若体验7天，则选择方案①薪资最多，故A正确；
对于B：体验8天，方案①需：元，方案②需：元，方案③需：元；故若体验8天，则选择方案①薪资最多，故B错误；
对于C：体验9天，方案①需：元，方案②需：元，方案③需：元；故若体验9天，则选择方案③薪资最多，故C正确；
对于D：体验10天，方案①需：元，方案②需：元，方案③需：元；故若体验10天，则选择方案③薪资最多，故D正确；
故选：B.
8. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数与指数运算得到，，，再根据对数与指数比较大小的应用结合不等式的性质应用得出，，即可得出答案.
【详解】，，，
，
，
，
，
，
故选：C.
二、多项选择题：
9. 已知为实数，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据不等式性质判断，可用作差法证明不等式成立．
【详解】当时，，A错误；
，则，即，B正确；
，则，，
∴，∴，C正确；
，则，，，
∴，即，D正确．
故选：BCD．
10. 已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如：，，则（ ）
A. 是单调递增函数B. 当时，的最大值为
C. 当为素数时，D. 当为偶数时，
【答案】BC
【解析】
【分析】写出的前8项，可判断ABD；当为素数时，与前个数均互素，从而可判断C.
【详解】由题意知，，，，，，，，，
对于A，不是单调递增函数，故A错误；
对于B，当时，的最大值为，故B正确；
对于C，当素数时，与前个数均互素，所以，故C正确；
对于D，当时，,故D错误.
故选:BC.
11. 下列各式中，与相等是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由二倍角的余弦公式可得，由二倍角的正切公式可判断A；由二倍角的正弦公式可判断B；由两角差的余弦公式可判断C；由同角三角函数的基本关系、诱导公式及二倍角的余弦公式可判断D.
【详解】，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，
，故D正确.
故选:ACD.
12. 设函数，则（ ）
A. 的定义域为B. 的值域为
C. 在单调递增D. 在单调递减
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数解析式可确定其定义域和值域，判断A，B；根据复合函数的单调性的判断方法，可判断C，D.
【详解】由可得，
即的定义域为，A错误；
又，
由于，故的值域为R，B正确；
当时，，
由于在上单调递减，故在单调递减，C错误；
当时，，
由于在上单调递减，故在单调递减，D正确；
故选：BD
三、填空题
13. 一个扇形的弧长和面积都为1，则此扇形的圆心角的弧度数为________.
【答案】##
【解析】
【分析】由扇形的面积公式以及弧长公式得出圆心角的弧度数.
【详解】设此扇形的圆心角的弧度数为，半径为，弧长为，则，解得.
故答案为：
14. 使命题“，”为真命题的一个充分条件是________.
【答案】（答案不唯一，取内任意一个实数都可以）
【解析】
【分析】根据含参一元二次不等式恒成立的解法得出答案.
【详解】命题“，”为真命题
当时，恒成立，符合题意，
当时，则，解得，
综上所述，实数的范围为，
则使命题“，”为真命题的一个充分条件为，
故答案为：（答案不唯一，取内任意一个实数都可以）.
15. 函数的最大值为________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据对数的运算可得,配方，根据二次函数的性质即可求最大值.
详解】
，
故当时，.
故答案为:.
16. 已知是定义在上的奇函数，且对任意且，都有，若，则不等式的解集为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数为奇函数又已知得函数在上单调递减，可得函数在上单调递减，又，可得函数大致图象，结合图象解不等式即可得解集.
【详解】解：已知是定义在上的奇函数，则，且
又对任意且，都有，不妨设，则，所以，即，
所以函数在上单调递减，则函数在上单调递减，
又，所以，
则函数的大致图象如下图：
根据图象可得不等式的解集为：.
故答案为：.
四、解答题：
17. 化简求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由对数和指数的运算求解；
（2）由诱导公式求解即可.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
18. 已知函数.
（1）在所给坐标系中作出的简图；
（2）解不等式.
【答案】（1）图像见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）直接画出对应二次函数和反比例函数的图像即可；
（2）分段函数分段解不等式即可.
【小问1详解】
的简图如下：
；
【小问2详解】
由已知得或，
解得或，
即不等式的解集为．
19. 已知是钝角，是锐角，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式可得，再由二倍角的余弦公式即可求解；
（2）根据同角三角函数的基本关系分别求出，，由及两角差的正弦公式即可求解.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为是钝角，是锐角，，
所以，，，
所以，
.
所以
,
20. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象向下平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，若方程有两个不等的实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由三角恒等变换可得，故可求最小正周期；
（2）由三角函数的图象变换可得，令，可转化为与的图象在上有两个交点, 画出在上的图象，由图象即可求实数的取值范围.
【小问1详解】
,
故函数的最小正周期为.
【小问2详解】
将函数的图象向下平移个单位长度，得到的图象，
再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象.
当时，，令,
当时,方程有两个不等的实根，
即与的图象在上有两个交点,
画出在上的图象如图所示：
由图可得，
故实数的取值范围为.
21. 已知函数是奇函数.
（1）求的值，并求的定义域；
（2）已知实数满足，求t的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义得出，解得，则，根据具体函数定义域的求法得出其定义域；
（2）根据复合函数的单调性得出函数是减函数，即可结合已知得出，即可根据一元二次不等式的解法得出答案.
【小问1详解】
函数是奇函数，
，即，
，解得：，
则，其定义域为；
【小问2详解】
，
在定义域上为增函数，在与上为减函数，
在其定义域上为减函数，
，即，
函数是奇函数，
，
，即，解得或，
即的取值范围为.
22. 利用“函数零点存在定理”，解决以下问题.
（1）求方程的根；
（2）设函数，若，求证：.
【答案】（1）2； （2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）构造函数，利用函数零点存定理转化求解即可；
（2）由题意可得，根据零点存在定理可得，从而可证明.
【小问1详解】
方程的根就是函数的零点，
因为函数是连续的递减函数，且，
所以函数的零点在内.
因为，
所以函数的零点为2，即方程的根为.
【小问2详解】
若，所以，即.
因为在上单调递增，且，，
所以.
，
因为，所以，所以.
所以，所以.
故.