2021-2022学年云南省昆明市第一中学高一上学期期末考试数学试题含解析

2021-2022学年云南省昆明市第一中学高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．设集合，则=（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接根据交集的定义即可得出答案.

【详解】解：因为，，所以.

故选：B.

2．设命题，则为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用含有一个量词的命题的否定方法直接写出作答.

【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，

所以为：.

故选：D

3．已知为第三象限角，sin(3π－α)＝－，则(       )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据sin(3π－α)＝－结合诱导公式求出sinα，再由同角三角函数关系求得cosα.

【详解】∵，∴，

又∵为第三象限角，∴，

故选：D.

4．函数的一个零点所在区间为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；

【详解】解：因为在定义域上单调递增，又、，即，所以的一个零点所在区间为，

故选：B.

5．设p：1<x<2，q：lnx>0，则p是q成立的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解不等式，得到解集，利用集合之间的真含于关系得到结论.

【详解】由，得.记，，则是的真子集，即是成立的充分不必要条件，

故选：A.

6．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则单调递减的区间是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据二次函数的图象与性质，求得当时，函数单调递减的区间，再根据函数为奇函数，结合对称性，即可求解.

【详解】当时，函数，

根据二次函数的图形与性质，可得单调递减的区间是，

又因为函数为定义域上的奇函数，其图象关于原点对称，

所以当时，函数单调递减的区间是，

综上可得，函数单调递减的区间是.

故选：C.

7．设，则（       ）

A．c>b>a B．b>c>a C．a>b>c D．a>c>b

【答案】C

【分析】利用对数进行计算，再借助对数函数的单调性比较大小作答.

【详解】，而函数在上单调递增，又，则，

所以.

故选：C

8．在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y（单位；人）与某产品销售单价x（单位：元）满足关系式：，其中20<x<100，m为常数，当该产品销售单价为25时，在线购买人数为2015人；假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件；下列说法错误的是（       ）

A．实数m的值为10000 B．销售单价越低，直播在线购买人数越多

C．当x的值为30时利润最大 D．利润最大值为10000

【答案】D

【分析】根据购买人数y与单价x的关系式是单调递减判断B，将，代入求得m，判断A，写出利润的函数关系式求最大值可判断CD.

【详解】因为在线购买人数y（单位；人）与某产品销售单价x（单位：元）满足关系式：，单调递减，所以B正确；

将，代入，

可得，解得：，所以A正确；

由题意可得所得利润为：

，

所以当，最大利润为元，C正确，D错误；

故选：D.

二、多选题

9．已知奇函数f(x)在区间[2，5]上是减函数，且f(5)=-5，则函数f(x)在区间[-5，-2]上（       ）

A．是增函数 B．是减函数 C．最小值为5 D．最大值为5

【答案】BD

【分析】根据给定条件利用奇函数的性质推理计算作答.

【详解】因是奇函数，则函数的图象关于原点对称，又函数在上是减函数，于是得在上为减函数，

是在上的最大值，

所以函数f(x)在区间上是减函数，且最大值为.

故选：BD

10．要得到函数y=sin2x的图象，可以把函数的图像（       ）

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】AD

【分析】分别化简函数为或，根据三角函数的图象变换的规则，即可求解.

【详解】由函数，要得到函数的图象，

只需将函数的图象向左平移个单位长度；

又因为，

要得到函数的图象，也可将函数的图象向右平移个单位长度.

故选：AD.

11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(-x)，f(x+1)=f(1-x)，且当x∈[0，1]时，f(x)=-x2+2x，则下列结论正确的是（       ）

A．f(x)的图象关于直线x=1对称 B．当时，

C．当时，f(x)单调递增 D．

【答案】ACD

【分析】根据给定条件探讨函数的性质，再逐一分析各个选项判断作答.

【详解】因，则有函数图象关于对称，A正确；

由得，又R上的函数满足，因此有，

于是得函数是周期为2的周期函数，当时，，

则，B不正确；

因当时，，因此在上单调递增，C正确；

因函数是周期为2的周期函数，则，D正确.

故选：ACD

12．已知函数若关于x的方程有6个不同根，则整数m的取值可能是（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】ABC

【分析】令，结合函数图象，可知有2个不同的解，可能一个在上，一个在上，也可能两个都在上，构造，结合二次函数根的分布，列出不等式，解出的范围，可得结论.

【详解】作出函数f(x)的图象如图：

关于的方程有6个不同根，

令，，

即方程有2个不同的解，可能一个在上，一个在上，也可能两个都在上.

令，若在上和上各有一个不同的零点，

所以，解得，

所以整数的取值可以是-3，-2，-1，0，1，2，3，4.

若在有两个不同的零点，

所以，该不等式组无解，

故选：ABC

三、填空题

13．集合，则的子集的个数为___________.

【答案】8

【分析】先求得，然后求得的子集的个数.

【详解】，

，有个元素，所以子集个数为.

故答案为：

14．幂函数图象经过点（9，3），则f（4）=___________.

【答案】

【分析】先代入点坐标，得到，得到函数解析式，进而求出.

【详解】设，因为函数过点，所以，即，所以，即，所以.

故答案为：2

15．设函数，若，则t的取值范围是___________.

【答案】

【分析】探讨给定函数的单调性，再利用单调性解不等式作答.

【详解】函数在上单调递增，且，当时取“=”，在上单调递增，，

因此，函数在上R单调递增，而，则有，解得，

所以t的取值范围是.

故答案为：

16．已知对恒成立，则实数的取值范围___________.

【答案】

【分析】将不等式分离参数，换元构造函数，利用单调性求得最小值，可得结论.

【详解】因为对恒成立，

即在时恒成立，令，

则代换为，令，

由对勾函数可知，在上单增，所以，

所以.

故答案为：

四、解答题

17．已知α，β均为锐角，.在下面条件中任选一个作为已知条件，求tanβ的值.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

①；②.

【答案】

【分析】选①，利用二倍角的正弦公式将条件化简得到角α的正弦，再利用同角基本关系式求得正切，最后利用两角差的正切公式求得结果. 选②利用二倍角的余弦公式求得角α的余弦，再利用同角基本关系式求得正切，最后利用两角差的正切公式求得结果.

【详解】若选①：

因为，所以，

因为，所以，所以.

，则，

所以.

若选②：

因为，所以，

因为，所以.

则，

所以.

18．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；

(2)求使成立的的取值集合.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据图象依次求得的值，从而求得的解析式.

（2）解三角不等式求得的取值集合.

【详解】(1)由图可知，.

的最小正周期，所以.

因为，

所以，，解得，.

又，所以，故.

(2)，

解得，，

所以.

19．已知a>0且a≠1，M>0，N>0.

(1)举出一个反例说明不成立；

(2)证明：.

【答案】(1)当时不成立.（反例不唯一，计算正确即可）；

(2)证明见解析.

【分析】（1）选取符合要求的M与N的值即可；（2）利用指数式与对数式的互化进行证明.

【详解】(1)假设，

则，，

.

因为，

所以当时不成立.（反例不唯一，计算正确即可）

(2)令，则

，，

所以.

20．每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66）

(1)若x0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.

(2)若雄鸟的飞行速度为1.3，雌鸟的飞行速度为0.8，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍.

【答案】(1)466个单位

(2)3倍

【分析】（1）将，代入函数解析式，求出的值即可答案；（2）设出雄鸟每分钟的耗氧量和雌鸟每分钟耗氧量，得到方程组，两式相减后得到，得到答案.

【详解】(1)将，代入函数，得：，

因为，所以，所以，所以.

答：候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位.

(2)设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟耗氧量为，由题意可得：

两式相减可得：，所以，即，

答：此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.

21．如图，已知直线，A是之间的一定点，并且点A到，的距离分别为和2.B，C分别是直线上的动点，且，设，.

(1)写出关于x的函数解析式；

(2)求函数的最小值及相对应的x的值.

【答案】(1)，；

(2)时，.

【分析】(1)根据给定条件可得且，再借助直角三角形边角关系计算作答.

(2)由(1)利用三角恒等变换公式化简函数，再借助三角函数的性质计算作答.

【详解】(1)依题意，，而，，，则，

由知，点B，C在直线DE同侧，均为锐角，则有，

在中，，在中，，则，

所以，.

(2)由(1)得：

因，即，当，即时，取最大值1，

所以.

【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得.

22．已知函数是偶函数.

(1)求实数k的值；

(2)当时，方程有实根，求实数m的取值范围；

(3)设函数，若函数只有一个零点，求实数n的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)或

【分析】（1）根据是偶函数，列出方程，即可求解；

（2）当时，由，转化为在上有解，设，结合指数函数的性质，即可求解；

（3）把函数只有一个零点，转化为只有一个解，令（），得到有且仅有一个正实数根，分，和，三种情况讨论，即可求解.

【详解】(1)解：因为是偶函数，所以，

即，解得.

(2)解：当时，方程有实根，即，

即，即在上有解，设，

因为，所以，所以，

所以实数的取值范围为.

(3)解：函数只有一个零点，

则关于的方程只有一个解，

所以方程只有一个解，即，

令（），则有且仅有一个正实数根.

①当，即时，此方程的解为，不满足题意；

②当，即时，，，

此时方程有一个正根和一个负根，故满足题意；

③当，即时，要使方程只有一个正根，

令，

因为，要使得函数与 轴的正半轴只有一个公共点，

则满足，解得，

综上，实数的取值范围为或.