第九讲 一次函数-备战中考数学第一轮专题复习真题分点透练（全国通用）

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 第九讲 一次函数
【命题点1 一次函数的图像与性质】
类型一 与图像有关的判定
1．（2022•沈阳）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：一次函数y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝1，
∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过点（0，1）和（1，0），
∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过一、二、四象限，
故选：C．
2．（2022•安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵y＝ax+a2与y＝a2x+a，
∴x＝1时，两函数的值都是a2+a，
∴两直线的交点的横坐标为1，
若a＞0，则一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a都是增函数，且都交y轴的正半轴，图象都经过第一、二、三象限；
若a＜0，则一次函数y＝ax+a2经过第一、二、四象限，y＝a2x+a经过第一、三、四象限，且两直线的交点的横坐标为1；
故选：D．

类型二 一次函数解析式与象限的关系
3．（2022•凉山州）一次函数y＝3x+b（b≥0）的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解答】解：∵函数y＝3x+b（b≥0）中，k＝3＞0，b≥0，
∴当b＝0时，此函数的图象经过一、三象限，不经过第四象限；
当b＞0时，此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．
则一定不经过第四象限．
故选：D．
4．（2022•六盘水）如图是一次函数y＝kx+b的图象，下列说法正确的是（　　）

A．y随x增大而增大 B．图象经过第三象限
C．当x≥0时，y≤b D．当x＜0时，y＜0
【答案】C
【解答】解：由图象得：图象过一、二、四象限，则k＜0，b＞0，
当k＜0时，y随x的增大而减小，故A、B错误，
由图象得：与y轴的交点为（0，b），所以当x≥0时，从图象看，y≤b，故C正确，符合题意；
当x＜0时，y＞b＞0，故D错误．
故选：C．
5．（2022•包头）在一次函数y＝﹣5ax+b（a≠0）中，y的值随x值的增大而增大，且ab＞0，则点A（a，b）在（　　）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【答案】B
【解答】解：∵在一次函数y＝﹣5ax+b中，y随x的增大而增大，
∴﹣5a＞0，
∴a＜0．
∵ab＞0，
∴a，b同号，
∴b＜0．
∴点A（a，b）在第三象限．
故选：B．
类型三 与一次函数增减性、最值有关的问题
6．（2022•柳州）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解答】解：∵点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，
∴点P在直线y＝2上，如图所示，

当P为直线y＝2与直线y2的交点时，m取最大值，
当P为直线y＝2与直线y1的交点时，m取最小值，
∵y2＝﹣x+3中令y＝2，则x＝1，
y1＝x+3中令y＝2，则x＝﹣1，
∴m的最大值为1，m的最小值为﹣1．
则m的最大值与最小值之差为：1﹣（﹣1）＝2．
故选：B．
7．（2022•兰州）若一次函数y＝2x+1的图象经过点（﹣3，y1），（4，y2），则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
【答案】A
【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，
∴y随着x的增大而增大．
∵点（﹣3，y1）和（4，y2）是一次函数y＝2x+1图象上的两个点，﹣3＜4，
∴y1＜y2．
故选：A．
8．（2022•宿迁）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图象经过点（0，2）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是 　 ．
【答案】y＝﹣x+2（答案不唯一）　
【解答】解：∵函数值y随自变量x增大而减小，且该函数图象经过点（0，2），
∴该函数为一次函数．
设一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），则k＜0，b＝2．
取k＝﹣1，此时一次函数的表达式为y＝﹣x+2．
故答案为：y＝﹣x+2（答案不唯一）．

类型四 一次函数图像的交点问题
9.（2022•株洲）在平面直角坐标系中，一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（　　）
A．（0，﹣1） B．（﹣，0） C．（，0） D．（0，1）
【答案】D
【解答】解：∵当x＝0时，y＝1，
∴一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（0，1），
故选：D．
10．（2022•辽宁）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为 　 ．

【答案】2
【解答】解：当x＝0时，y＝2×0+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），OB＝4．
∵点D为OB的中点，
∴OD＝OB＝×4＝2．
∵四边形OCDE为平行四边形，点C在x轴上，
∴DE∥x轴．
当y＝2时，2x+4＝2，
解得：x＝﹣1，
∴点E的坐标为（﹣1，2），
∴DE＝1，
∴OC＝1，
∴▱OCDE的面积＝OC•OD＝1×2＝2．
故答案为：2．
11.（2014•宜宾）如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（　　）

A．y＝2x+3 B．y＝x﹣3 C．y＝2x﹣3 D．y＝﹣x+3
【答案】D
【解答】解：∵B点在正比例函数y＝2x的图象上，横坐标为1，
∴y＝2×1＝2，
∴B（1，2），
设一次函数解析式为：y＝kx+b，
∵一次函数的图象过点A（0，3），与正比例函数y＝2x的图象相交于点B（1，2），
∴可得出方程组 ，
解得 ，
则这个一次函数的解析式为y＝﹣x+3，
故选：D．
12．（2020•南通）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．

【答案】（1） y＝﹣2x+6 （2）M（3，6）或（﹣1，2）
【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
∴AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．

【命题点2 一次函数图像的平移、旋转与对称】
13．（2022•广安）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（　　）
A．y＝3x+5 B．y＝3x﹣5 C．y＝3x+1 D．y＝3x﹣1
【答案】D
【解答】解：将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象的函数关系式为y＝3x+2﹣3＝3x﹣1，
故选：D．
14．（2021•陕西）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
【答案】A
【解答】解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣1，
把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣1，
解得m＝﹣5．
故选：A．
15．（2020•南京）将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是 　 ．
【答案】　y＝x+2
【解答】解：在一次函数y＝﹣2x+4中，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝2，
∴直线y＝﹣2x+4经过点（0，4），（2，0）
将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，则点（0，4）的对应点为（﹣4，0），（2，0）的对应点是（0，2）
设对应的函数解析式为：y＝kx+b，
将点（﹣4，0）、（0，2）代入得，解得，
∴旋转后对应的函数解析式为：y＝x+2，
故答案为y＝x+2．
16．（2022•阜新）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整．
（1）如图1，将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移
了 　　个单位长度；
（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向 　 　（填“左”或“右”）平移了 　　个单位长度；
（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向 　　（填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向 　　（填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单位长度，且m，n，k满足等式　 　．


【解答】解：（1）∵将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x+2﹣1＝（x﹣1）+2，
∴相当于将它向右平移了1个单位长度，
故答案为：1；
（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度得到y＝﹣2x+4﹣1＝﹣2（x+）+4，
∴相当于将它向左平移了个单位长度；
故答案为：左；；
（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向右（填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向左（填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单位长度，且m，n，k满足等式m＝n|k|．
故答案为：右；左；m＝n|k|（或：当k＞0时，m＝nk，当k＜0时，m＝﹣nk）

【命题点3 一次函数与方程、不等式结合】
类型一 一次函数与方程（组）的关系
17．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与直线y＝﹣3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由图象可得直线的交点坐标是（1，3），
∴方程组的解为．
故选：B．
18．（2022•贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数y＝mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而增大；
②方程组的解为；
③方程mx+n＝0的解为x＝2；
④当x＝0时，ax+b＝﹣1．
其中结论正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：①由函数图象可知，直线y＝mx+n从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故①错误；
②由函数图象可知，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象交点坐标为（﹣3，2），所以方程组的解为，故②正确；
③由函数图象可知，直线y＝mx+n与x轴的交点坐标为（2，0），所以方程mx+n＝0的解为x＝2，故③正确；
④由函数图象可知，直线y＝ax+b过点（0，﹣2），所以当x＝0时，ax+b＝﹣2，故④错误；
故选：B．
类型二 一次函数与不等式（组）的关系
19．（2022•南通）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（　　）


A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1
【答案】D
【解答】解：根据图象可知：两函数图象的交点为（1，2），
所以关于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1，
故选：D．
20．（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，根据图象可知，x的取值范围是（　　）

A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
【答案】A
【解答】解：由图象可得，
当x＞3时，直线y＝x在一次函数y＝kx+b的上方，
∴当kx+b＜x时，x的取值范围是x＞3，
故选：A．
21．（2022•徐州）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于kx+b＞0的不等式的解集为 　 ．

【答案】x＞3　
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象过点（2，0），
∴2k+b＝0，
∴b＝﹣2k，
∴关于kx+b＞0
∴kx＞﹣×（﹣2k）＝3k，
∵k＞0，
∴x＞3．
故答案为：x＞3．
22．（2022•扬州）如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为 　 ．

【答案】x＜﹣1　
【解答】解：由图象可得，
当x＝﹣1时，y＝3，该函数y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b＞3的解集为x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1．
23．（2022•襄阳）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y＝﹣|x|的图象，并探究该函数性质．
（1）绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝　1　．
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
﹣2.5
﹣3.8
……
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；

（2）探究函数性质
请写出函数y＝﹣|x|的一条性质： 　 ；
（3）运用函数图象及性质
①写出方程﹣|x|＝5的解 　 　；
②写出不等式﹣|x|≤1的解集 　 ．
【解答】解：（1）①列表：当x＝2时，a＝﹣|2|＝1，
故答案为：1；
②描点，③连线如下：

（2）观察函数图象可得：y＝﹣|x|的图象关于y轴对称，
故答案为：y＝﹣|x|的图象关于y轴对称（答案不唯一）；
（3）①观察函数图象可得：当y＝5时，x＝1或x＝﹣1，
∴﹣|x|＝5的解是x＝1或x＝﹣1，
故答案为：x＝1或x＝﹣1；
②观察函数图象可得，当x≤﹣2或x≥2时，y≤1，
∴﹣|x|≤1的解集是x≤﹣2或x≥2，
故答案为：x≤﹣2或x≥2．
【命题点4 一次函数与几何图形结合】
24．（2022•黑龙江）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

【解答】解：（1）解方程x2﹣14x+48＝0得
x1＝6，x2＝8．
∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根，
∴OC＝6，OA＝8．
∴C（0，6）；

（2）设直线MN的解析式是y＝kx+b（k≠0）．
由（1）知，OA＝8，则A（8，0）．
∵点A、C都在直线MN上，
∴，
解得，，
∴直线MN的解析式为y＝﹣x+6；

（3）∵A（8，0），C（0，6），
∴根据题意知B（8，6）．
∵点P在直线MNy＝﹣x+6上，
∴设P（a，﹣a+6）
当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：
①当PC＝PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；
②当PC＝BC时，a2+（﹣a+6﹣6）2＝64，
解得，a＝，则P2（﹣，），P3（，）；
③当PB＝BC时，（a﹣8）2+（a﹣6+6）2＝64，
解得，a＝，则﹣a+6＝﹣，∴P4（，﹣）．
综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（﹣，）P3（，），P4（，﹣）．

25．（2022•攀枝花）如图，直线y＝x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段AB上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作∠OCD＝∠OAB，射线CD交线段OB于点D，将射线OC绕点O顺时针旋转90°交射线CD于点E，连结BE．
（1）证明：＝；（用图1）
（2）当△BDE为直角三角形时，求DE的长度；（用图2）
（3）点A关于射线OC的对称点为F，求BF的最小值．（用图3）

【解答】（1）证明：∵OC⊥OE，
∴∠COE＝90°，
∴∠AOB＝∠COE＝90°，
∵∠OCD＝∠OAB，
∴∠ABO＝∠CEO，
∵∠BDC＝∠EDO，
∴△BDC∽△EDO，
∴＝；
（2）解：当x＝0时，y＝6，
∴B（0，6），
∴OB＝6，
当y＝0时，x+6＝0，
∴x＝﹣8，
∴A（﹣8，0），
∴OA＝8，
如图2，∠BDE＝90°，

∴∠ODC＝∠BDE＝90°，
∵∠OCD＝∠OAB，
∴tan∠OCD＝tan∠OAB，
∴＝＝＝，
∴设OD＝3m，CD＝4m，
∵∠CDB＝∠AOB＝90°，
∴CD∥OA，
∴△CDB∽△AOB，
∴＝，即＝，
∴BD＝3m，
∴OB＝BD+OD＝3m+3m＝6，
∴m＝1，
∴BD＝3，CD＝4，
由（1）知：＝，
∴＝，
∴DE＝；
（3）解：如图3，由对称得：OA＝OF，

∵动点F在以O为圆心，以OA为半径的半圆AFA'上运动，
∴当F在y轴上，且在B的上方时，BF的值最小，如图4，

此时BF＝OF﹣OB＝8﹣6＝2，
即BF的最小值是2．

命题点5 一次函数的实际应用
类型一 行程问题
26．（2022•盐城）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）小丽步行的速度为 　 　m/min；
（2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离．

【解答】解：（1）由图象可知，小丽步行的速度为＝80（m/min），
故答案为：80；
（2）由图象可得，小华骑自行车的速度是＝120（m/min），
∴出发后需要＝12（min）两人相遇，
∴相遇时小丽所走的路程为12×80＝960（m），
即当两人相遇时，他们到甲地的距离是960m．
27．（2022•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 　 　米/分钟，乙的速度为 　 　米/分钟；
（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．

【解答】解：（1）根据题意可知D（1，800），E（2，800），
∴乙的速度为：800÷1＝800（米/分钟），
∴乙从B地到C地用时：2400÷800＝3（分钟），
∴G（6，2400）．
∴H（8，2400）．
∴甲的速度为2400÷8＝300（米/分钟），
故答案为：300；800；
（2）设直线FG的解析式为：y＝kx+b（k≠0），且由图象可知F（3，0），
由（1）知G（6，2400）．
∴，
解得，．
∴直线FG的解析式为：y＝800x﹣2400（3≤x≤6）．
（3）由题意可知，AB相距800米，BC相距2400米．
∵O（0，0），H（8，2400），
∴直线OH的解析式为：y＝300x，
∵D（1，800），
∴直线OD的解析式为：y＝800x，
当0≤x≤1时，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，即甲乙朝相反方向走，
∴令800x+300x＝600，解得x＝．
∵当x＞2时，甲从B继续往C地走，乙从A地往C地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600或800（x﹣2）﹣（300x+800）＝600，
解得x＝或x＝6．
综上，出发分钟或分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
28．（2022•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A、B两地之间的距离是 　　米，乙的步行速度是 　　米/分；
（2）图中a＝　 　，b＝　 ，c＝　　 ；
（3）求线段MN的函数解析式；
（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）

【解答】解：（1）由图象知：当x＝0时，y＝1200，
∴A、B两地之间的距离是1200米；
由图象知：乙经过20分钟到达A，
∴乙的速度为＝60（米/分）．
故答案为：1200；60；
（2）由图象知：当x＝时，y＝0，
∴甲乙二人的速度和为：1200÷＝140（米/分），
设甲的速度为x米/分，则乙的速度为（140﹣x）米/分，
∴140﹣x＝＝60，
∴x＝80．
∴甲的速度为80（米/分），
∵点M的实际意义是经过c分钟甲到达B地，
∴c＝1200÷80＝15（分钟），
∴a＝60×15＝900（米）．
∵点N的实际意义是经过20分钟乙到达A地，
∴b＝900﹣（80﹣60）×5＝800（米）；
故答案为：900；800；15；
（3）由题意得：M（15，900），N（20，800），
设线段MN的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴线段MN的解析式为y＝﹣20x+1200（15≤x≤20）；
（4）在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米．理由：
①相遇前两人相距80米时，二人的所走路程和为1200﹣80＝1120（米），
∴1120÷140＝8（分钟）；
②相遇后两人相距80米时，二人的所走路程和为1200+80＝1280（米），
∴1280÷140＝（分钟）．
综上，在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米．
29．（2022•新疆）A，B两地相距300km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1h．如图是甲，乙行驶路程y甲（km），y乙（km）随行驶时间x（h）变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 　 km/h；
（2）分别求出y甲，y乙与x之间的函数解析式；
（3）求出点C的坐标，并写出点C的实际意义．

【解答】解：（1）甲的速度为：300÷5＝60（km/h），
故答案为：60；
（2）由（1）可知，y甲与x之间的函数解析式为y甲＝60x（0＜x≤5）；
设y乙与x之间的函数解析式为y乙＝kx+b，根据题意得：
，
解得，
∴y乙＝100x﹣100（1≤x≤4）；
（3）根据题意，得60x＝100x﹣100，
解得x＝2.5，
60×2.5＝150（km），
∴点C的坐标为（2.5，150），
故点C的实际意义是甲车出发2.5小时后被乙车追上，此时两车行驶了150km．
30．（2022•成都）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km/h，乙骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间的关系如图所示．
（1）直接写出当0≤t≤0.2和t＞0.2时，s与t之间的函数表达式；
（2）何时乙骑行在甲的前面？

【解答】解：（1）当0≤t≤0.2时，设s＝at，
把（0.2，3）代入解析式得，0.2a＝3，
解得：a＝15，
∴s＝15t；
当t＞0.2时，设s＝kt+b，
把（0.2，3）和（0.5，9）代入解析式，
得，
解得，
∴s＝20t﹣1，
∴s与t之间的函数表达式为s＝；
（2）由（1）可知0≤t≤0.2时，乙骑行的速度为15km/h，而甲的速度为18km/h，则甲在乙前面；
当t＞0.2时，乙骑行的速度为20km/h，甲的速度为18km/h，
设t小时后，乙骑行在甲的前面，
则18t＜20t﹣1，
解得：t＞0.5，
答：0.5小时后乙骑行在甲的前面
31．（2022•丽水）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h．两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图．
（1）求出a的值；
（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？

【解答】解：（1）∵货车的速度是60km/h，
∴a＝＝1.5（h）；
（2）由图象可得点（1.5，0），（3，150），
设直线的表达式为s＝kt+b，把（1.5，0），（3，150）代入得：
，
解得，
∴s＝100t﹣150；
（3）由图象可得货车走完全程需要+0.5＝6（h），
∴货车到达乙地需6h，
∵s＝100t﹣150，s＝330，
解得t＝4.8，
∴两车相差时间为6﹣4.8＝1.2（h），
∴货车还需要1.2h才能到达，
即轿车比货车早1.2h到达乙地．
32．（2022•黑龙江）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 　　小时；
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？

【解答】解：（1）1.9；
（2）设直线EF的解析式为y乙＝kx+b，
∵点E（1.25，0）、点F（7.25，480）均在直线EF上，
∴，
解得∴直线EF的解析式是y乙＝80x﹣100；
∵点C在直线EF上，且点C的横坐标为6，
∴点C的纵坐标为80×6﹣100＝380；
∴点C的坐标是（6，380）；
设直线BD的解析式为y甲＝mx+n；
∵点C（6，380）、点D（7，480）在直线BD上，
∴；
解得；∴BD的解析式是y甲＝100x﹣220；
∵B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，代入y甲得B（4.9，270），
∴甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米．
（3）符合约定；
由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远．
在点B处有y乙﹣y甲＝80×4.9﹣100﹣（100×4.9﹣220）＝22千米＜25千米，
在点D有y甲﹣y乙＝100×7﹣220﹣（80×7﹣100）＝20千米＜25千米，
∴按图象所表示的走法符合约定．

类型二 方案问题
考向1 方案设计问题
33．（2022•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．

【解答】解：（1）当0≤x≤2000时，设y＝k′x，根据题意可得，2000k′＝30000，
解得k′＝15，
∴y＝15x；
当x＞2000时，设y＝kx+b，
根据题意可得，，
解得，
∴y＝13x+4000．
∴y＝．
（2）根据题意可知，购进甲种产品（6000﹣x）千克，
∵1600≤x≤4000，
当1600≤x≤2000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+（18﹣15）•x＝﹣x+24000，
∵﹣1＜0，
∴当x＝1600时，w的最大值为﹣1×1600+24000＝22400（元）；
当2000＜x≤4000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+18x﹣（13x+4000）＝x+20000，
∵1＞0，
∴当x＝4000时，w的最大值为4000+20000＝24000（元），
综上，w＝；
当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．
（3）根据题意可知，降价后，w＝（12﹣8﹣a）×（6000﹣x）+（18﹣2a）x﹣（13x+4000）＝（1﹣a）x+20000﹣6000a，
当x＝4000时，w取得最大值，
∴（1﹣a）×4000+20000﹣6000a≥15000，解得a≤0.9．
∴a的最大值为0.9．


34．（2022•黑龙江）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋
价格
甲
乙
进价（元/双）
m
m﹣20
售价（元/双）
240
160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【解答】解：（1）依题意得，＝，
整理得，3000（m﹣20）＝2400m，
解得m＝100，
经检验，m＝100是原分式方程的解，
所以，m＝100；

（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，
根据题意得，，
解不等式①得，x≥95，
解不等式②得，x≤105，
所以，不等式组的解集是95≤x≤105，
∵x是正整数，105﹣95+1＝11，
∴共有11种方案；
（3）设总利润为W，则W＝（240﹣100﹣a）x+80（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），
①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，
所以，当x＝105时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
②当a＝60时，60﹣a＝0，W＝16000，（2）中所有方案获利都一样；
③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，
所以，当x＝95时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元．

考向2 方案选取问题
35．（2022•内蒙古）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
【解答】解：（1）设该商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，
由题意，得，
解得，
∴该商店购进A种纪念品每件需50元，购进B种纪念品每件需100元；
（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，
根据题意，得50x+100y＝10000，
由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，
把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，
∵y≥20，
∴20≤y≤25且为正整数，
∴y可取得的正整数值是20，21，22，23，24，25，
与y相对应的x可取得的正整数值是160，158，156，154，152，150，
∴共有6种进货方案；
（3）设总利润为W元，
则W＝20x+30y＝﹣10y+4000，
∵﹣10＜0，
∴W随y的增大而减小，
∴当y＝20时，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
36．（2022•通辽）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲元，去乙商店购买实付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）分别求y甲，y乙关于x的函数关系式；
（2）两图象交于点A，求点A坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．

【解答】解：（1）由题意可得，
y甲＝0.85x，
当0≤x≤300时，y乙＝x，
当x＞300时，y乙＝300+（x﹣300）×0.7＝0.7x+90，
则y乙＝；
（2）令0.85x＝0.7x+90，
解得x＝600，
将x＝600代入0.85x得，0.85×600＝510，
即点A的坐标为（600，510）；
（3）由图象可得，
当x＜600时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；当x＝600时，两家体育专卖店购买体育用品一样合算；当x＞600时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算．
37．（2022•恩施州）某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生．
（1）租用甲、乙两种客车每辆各多少元？
（2）若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？
【解答】解：（1）设租用甲种客车每辆x元，租用乙种客车每辆y元，
根据题意可得，，
解得．
∴租用甲种客车每辆200元，租用乙种客车每辆300元．
（2）设租用甲型客车m辆，则租用乙型客车（8﹣m）辆，租车总费用为w元，
根据题意可知，w＝200m+300（8﹣m）＝﹣100m+2400，
∵15m+25（8﹣m）≥180，
∴0＜m≤2，
∵﹣100＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝2时，w的最小值为﹣100×2+2400＝2200．
∴当租用甲型客车2辆，租用乙型客车6辆，租车总费用最少为2200元．
类型三 费用或利润最值问题
38．（2022•衡阳）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？
（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？

【解答】解：（1）设冰墩墩的进价为x元/个，雪容融的进价为y元/个，
由题意可得：，
解得，
答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进价为64元/个；
（2）设冰墩墩购进a个，则雪容融购进（40﹣a）个，利润为w元，
由题意可得：w＝28a+20（40﹣a）＝8a+800，
∴w随a的增大而增大，
∵网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，
∴a≤1.5（40﹣a），
解得a≤24，
∴当a＝24时，w取得最大值，此时w＝992，40﹣a＝16，
39．（2022•黔西南州）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元．
（1）每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？
（2）若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．
【解答】解：（1）设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题意，
得：，
解得：，
答：每盆A种花卉种植费用为30元，每盆B种花卉种植费用为60元；
（2）设种植A种花卉的数量为m盆，则种植B种花卉的数量为（400﹣m）盆，种植两种花卉的总费用为w元，
根据题意，得：（1﹣70%）m+（1﹣90%）（400﹣m）≤80，
解得：m≤200，
w＝30m+60（400﹣m）＝﹣30m+24000，
∵﹣30＜0，
∴w随m的增大而减小，
当m＝200时，w的最小值＝﹣30×200+24000＝18000，
答：种植A、B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元．



其他类型
40．（2022•吉林）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：
（1）加热前水温是 　　℃．
（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．
（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是 　　℃．

【解答】解：（1）由图象得x＝0时y＝20，
∴加热前水温是20℃，
故答案为：20．
（2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y＝kx+b，
将（0，20），（160，80）代入y＝kx+b得，
解得，
∴y＝x+20．
（3）甲水壶的加热速度为（60﹣20）÷80＝℃/s，
∴甲水壶中温度为80℃时，加热时间为（80﹣20）÷＝120s，
将x＝120代入y＝x+20得y＝65，
故答案为：65．
41．（2022•天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．

已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km，超市离学生公寓2km．小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到阅览室；在阅览室停留70min后，匀速步行了10min到超市；在超市停留20min后，匀速骑行了8min返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离ykm与离开学生公寓的时间xmin之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
离开学生公寓的时间/min
5
8
50
87
112
离学生公寓的距离/km
0.5
　0　
　　
1.6
　　
（Ⅱ）填空：
①阅览室到超市的距离为 　　km；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为 　　km/min；
③当小琪离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为 　　min．
（Ⅲ）当0≤x≤92时，请直接写出y关于x的函数解析式．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意得：小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到达离学生公寓1.2km的阅览室，
∴离开学生公寓的时间为8min，离学生公寓的距离是×8＝0.8（km），
由图象可知：离开学生公寓的时间为50min，离学生公寓的距离是1.2km，
离开学生公寓的时间为112min，离学生公寓的距离是2km，
故答案为：0.8，1.2，2；
（Ⅱ）①阅览室到超市的距离为2﹣1.2＝0.8（km），
故答案为：0.8；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为＝0.25（km/min），
故答案为：0.25；
③当小琪从学生公寓出发，离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为＝10（min）；
当小琪从超市出发，离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为112+＝116（min），
故答案为：10或116；
（Ⅲ）当0≤x≤12时，y＝0.1x；
当12＜x≤82时，y＝1.2；
当82＜x≤92时，y＝1.2+（x﹣82）＝0.08x﹣5.36，
∴y＝．