重难专题03 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题-高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版必修第二册）

专题03 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题 【题型归纳目录】题型一：定值问题题型二：范围与最值问题题型三：求参问题以及其它问题【知识点梳理】（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：证明：不妨设 ，则， ① ②①②两式相加得：（2）极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式①平行四边形模式：几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.②三角形模式：（M为BD的中点）ABCM【典型例题】题型一：定值问题例1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，是的中点，、是上的两个三等分点，，，则的值是（    ）A．4 B．8 C． D．【答案】C【解析】因为是的中点，，是上的两个三等分点，所以，，，，所以，，可得，，又因为，所以，故选：C．例2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（    ）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】依题意，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，则，，因此，故选：B.例3．（2023·全国·高一假期作业）如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则A． B． C． D．【答案】A【解析】取HF中点O，则 , ，因此，选A.题型二：范围与最值问题例4．（2022·山东师范大学附中模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________.【答案】【解析】如下图所示：设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，，当为正方形的某边的中点时，，当与正方形的顶点重合时，，即，因此，.故答案为：.例5．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ .   【答案】【解析】在上取一点，使得，取的中点，连接，，如图所示：则，，，，即.，当时，取得最小值，此时，所以.当与重合时，，，则，当与重合时，，，则，所以，即的取值范围为.故答案为：例6．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与圆相切于点，设直线与轴的交点为，点为圆上的动点，则的最大值为______．【答案】【解析】圆的圆心的为，因为直线与圆相切于点则 所以得，所以，，所以直线方程为，圆的方程为，所以，，的中点， 则因为，所以故，所以的最大值为故答案为：例7．（2022·全国·高三专题练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于直线MN的两侧，则的最小值为______．【答案】【解析】如图，连接BN，设BN，MN中点分别为E，F，连接PE，PF，EF．设，，，在中，由勾股定理得，则，BN，MN中点分别为E，F，则EF为的中位线，∴且，∴，在中，由勾股定理得，∴，在等边中，F为MN中点，则，，，在中，由余弦定理得，当N与C重合时，，，不存在，但可验证上述等式依然成立，当且仅当时等号成立．∵关于b的函数在上单调递增，∴，当且仅当时等号成立．∴，当且仅当，时等号成立.故答案为：．题型三：求参问题以及其它问题例8．（2023春·江苏扬州·高一期末）在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________．【答案】【解析】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，，依题意，，因的最小值为3，则的最小值为2，因此，在中，，，在中，，，所以.故答案为：例9．（2023·全国·高三专题练习）在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则__________．【答案】【解析】取的中点，取，，，因为的最小值，所以．作，垂足为，如图，则，又，所以，因为，所以由正弦定理得：，，所以．故答案为：.例10．（2022·全国·高一）设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________.【答案】C为顶角的等腰三角形【解析】取BC的中点D，连接PD，P0D，如图所示：，同理，，，设O为AB的中点，即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形.故答案为：C为顶角的等腰三角形．【同步练习】一、单选题1．（2023·高一课时练习）如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】=所以当时，上式取最小值 ，选A.2．（2023·浙江·高一校联考期中）在平面四边形中，，，.若点为线段上的动点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，连接，取中点为，作图如下：，在三角形中，由余弦定理可得：，即，则，故，显然当且仅当时，取得最小值，故，的最小值为.即的最小值为.故选：3．（2023·全国·高三专题练习）已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】取OC中点D，由极化恒等式得又，∴的最小值为．故选:C.4．（2023·全国·高三专题练习）已知是边长为的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若，则的最小值是A． B． C． D．【答案】A【解析】作出图像如下图所示，取的中点为D，则，因为，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，则.又为圆O上的点P到D的距离，则，∴的最小值为.故选：A.5．（2023春·广东惠州·高一校考阶段练习）如图正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为3，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为3，所以正六边形的内切圆的半径为，外接圆的半径为，又由 ，因为，即，可得，所以的取值范围是.故选：A.6．（2023·全国·高一专题练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，取AF的中点Q，根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得，又.根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时有最小值为，此时，当点P位于正六边形的顶点时有最大值为2，此时，所以，.故选：B.7．（2023春·河南安阳·高一安阳一中校考阶段练习）已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（    ）A．[0，1] B．C．[1，2] D．【答案】A【解析】如下图所示：考虑是线段上的任意一点，，，圆的半径长为，由于是线段上的任意一点，则，所以，.故选：A.8．（2023秋·广东汕头·高二汕头市聿怀中学校考期末）已知是边长为2的等边三角形，为圆的直径，若点为圆上一动点，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示由图像可知，与夹角的范围为，所以,所以.故选：B.9．（2023秋·北京·高三校考阶段练习）如图，正方形的边长为6，点、分别在边、上，且，，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有6个不同的点使得成立，那么的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】如图所示，设的中点为，则，两式平方相减得，所以，即,所以，①当点P在DC上时，当P在DC的中点处时，，此时，当P在DC的中点两侧(非端点A、D)时，，此时，②当点P在AB上时，当P在AB的中点处时，，此时，当P在AB的中点两侧(非端点A、B)时，，此时，③当点P在AD上时，当P在点E处时，，此时，当，此时，点P有2个满足的点；当，此时，点P有1个满足的点；④当点P在BC上时，当P在点F处时，，此时，当，此时，点P有2个满足的点；当，此时，点P有1个满足的点；⑤当P在点A处时，，此时，当P在点B处时，，此时，当P在点C处时，，此时，当P在点D处时，，此时，综上得：当时，有1个满足条件的点P；当时，有2个满足条件的点P；当时，有4个满足条件的点P；当时，有6个满足条件的点P；当时，有4个满足条件的点P；当时，有2个满足条件的点P；当时，有3个满足条件的点P；当时，有4个满足条件的点P；当时，有2个满足条件的点P；故选:C.二、多选题10．（2023秋·福建福州·高二校考开学考试）直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（    ）A．的取值范围是B．点经过的外心C．点所在轨迹的长度为2D．的取值范围是【答案】ABD【解析】由，又斜边，则，则，A正确；若为中点，则，故，又，所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误；由上，则，又，则，当且仅当等号成立，所以，D正确.故选：ABD11．（2023·全国·高三专题练习）如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的值可能为（    ）A． B． C．3 D．【答案】BC【解析】由题意：因为正六边形的边长为2，所以圆心到各边的距离为：，所以，所以，故选：BC．12．（2023春·山东菏泽·高一统考期末）如图，在中，，D，E是BC的三等分点，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】对于A，，故选项A不正确；对于B，由题意得D为BE的中点，所以，故选项B正确；对于C，取DE的中点G，由，D，E是BC的三等分点得G是BC的中点，且，所以，所以，，故选项C正确；对于D，由G是BC的中点得，两边平方得，所以，故选项D正确.故选：BCD.三、双空题13．（2023秋·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）在中，，在所在平面内的一点满足，当时，的值为______取得最小值时，的值为______.【答案】     5     【解析】以C为原点，分别以CA、CB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系,则，令，，，则，，,由，可得，解之得,当时， 则，，,则，则,，则当取得最小值时，故答案为：5；14．（2023秋·北京密云·高三统考期中）如图，在中，，，.为内部（包含边界）的动点，且.则___________；的取值范围___________.【答案】     4     【解析】方法1：①在中，由正弦定理得： 即：解得：.又∵，∴，∴∴，取BC的中点E，连接AE，如图所示，则：， ，∴在中， ，∴，②设 ，则 ， ，∵，∴，∴，故的范围是：；方法2：①在中，由余弦定理 ，即： ，解得：或（舍），，∴，②以A为原点，AB所在的直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，设 ，则P点的坐标为，B点的坐标为 ，C点的坐标为 ，∴ ，，∴，∵，∴，∴，∴，即：，故的范围是：，故答案为：4；.15．（2023秋·天津河西·高三天津市第四中学校考期末）如图，在菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点. ，点M在线段EF上，且满，则 ___________；若点N为线段BD上一动点，则 的取值范围为___________.【答案】     【解析】由题意得，，所以，分别是以，的一个三等分点，，，设，则，又，所以，解得，所以；设，，，，所以，，所以，因为，，所以，，故答案为：；，．16．（2023·全国·高三专题练习）如图，在菱形中，，，分别为上的点，，若线段上存在一点，使得，则_______，若点为线段上一个动点，则的取值范围为_______.【答案】          【解析】由题意，设，根据向量的线性运算，可得，则，解得，所以，若点为线段上一个动点，如图，设，，，，，，因为，所以．故答案为： ；.17．（2023秋·天津南开·高三校考阶段练习）如图在中，，，，为中点，为上一点.若，则______；若，则的最小值为______.【答案】          【解析】因为，，，则，当时，，此时；，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：；.