高中数学高考 2021届高考二轮精品专题四 函数与导数（文） 学生版(1)

这是一份高中数学高考 2021届高考二轮精品专题四 函数与导数（文） 学生版(1)，共23页。试卷主要包含了函数的周期性，函数的对称性，函数的零点问题等内容，欢迎下载使用。

专题 4
××

函数与导数






命题趋势

1．函数的考查，主要考查函数的性质以及函数零点问题，通常和函数图象结合起来考查，一种是图象的识别，另一种利用图象来分析函数，通过数形结合的思想解决与函数有关的问题．函数零点问题主要考查的形式为函数所在的区间，零点的个数问题，或者是求参数的取值范围问题．
2．导数的考查主要分为两种，一种为导数的运算以及导数的几何意义的考查，另一种是利用函数解决函数的单调性，以及极（最）值问题．


考点清单

一、函数
1．函数的单调性
单调性是函数在定义域上的局部性质，函数单调性常考的等价形式有：
若x1≠x2，且x1，x2∈a，b，
fx在a，b上单调递增x1-x2fx1-fx2>0；
fx在a，b上单调递减x1-x2fx1-fx20)恒成立，
则y=f(x)是周期为2a的周期函数；
②若y=f(x)是偶函数，其图象又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数；
③若y=f(x)是奇函数，其图象又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数；
④若f(x+a)=-f(x)或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数．
4．函数的对称性
①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，即f(x)=f(2a-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称；
②若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x)，即f(x)=-f(2a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a，0)对称；
③若函数y=f(x)满足fa+x=fb-x，则函数fx的图象关于直线对称；
④若函数y=f(x)满足fa+x=-fb-x，则函数fx的图象关于直线对称．
5．函数的零点问题
（1）函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根，即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标．
（2）确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解．

二、导数
1．导数的几何意义
函数y=fx在x=x0处的导数f'x0就是曲线y=fx在点x0，fx0处的切线的斜率，即k=f'x0．
（1）曲线y=fx在点x0，y0的切线的方程为y-y0=f'x0x-x0．
（2）过点x0，y0作曲线y=fx的切线，点x0，y0不一定是切点，于是对应切线的斜率也不一定是f'x0．
切点不确定时，一般先设切点坐标，由导数得到切线斜率，写出切线方程后，再利用条件来确定切点坐标，
从而得到切线的方程．
2．单调性与导数的关系
设函数y=fx在区间a，b内可导．
（1）如果在a，b内，恒有f'x>0，则y=fx在此区间是增函数；
（2）如果在a，b内，恒有f'x0，fx单调递增；
当x∈e，+∞时，f'x0且时，存在，，，
使得fx1=fx2=fx3=0．
由fx的单调性知，当且仅当时，函数fx=x3+4x2+4x+c有三个不同零点．
（3）当Δ=4a2-12b0，fx在区间x0，+∞上单调递增，
所以fx不可能有三个不同零点；
综上所述，若函数fx有三个不同零点，则必有Δ=4a2-12b>0，
故a2-3b>0是fx有三个不同零点的必要条件．
当a=b=4，c=0时，a2-3b>0，fx=x3+4x2+4x=xx+22只有两个不同零点，
所以a2-3b>0不是fx有三个不同零点的充分条件．
因此a2-3b>0是fx有三个不同零点的必要而不充分条件．
【点评】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明．
2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值．
3．方程根的问题可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．
4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，
从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．

高频易错题

一、解答题．
1．【答案】（1）fx在-∞，3-23，3+23，+∞单调递增，在3-23，3+23单调递减；
（2）证明见解析．
【解析】（1）当a=3时，，f'x=x2-6x-3．
令f'x=0，解得x=3-23或x=3+23．
当x∈-∞，3-23∪3+23，+∞时，f'x>0；
当x∈3-23，3+23时，f'x0，所以fx=0，等价于．
设，则，仅当x=0时，，
所以gx在-∞，+∞单调递增．
故gx至多有一个零点，从而fx至多有一个零点．
又，，
故fx有一个零点，
综上，fx只有一个零点．
【点评】（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数f(x)的定义域；②求导数；
③由f'(x)>0（或f'(x)0，所以当a>0时，fx在区间1，2是增函数；
若a0，函数为增函数；当x∈(e，+∞)时，y'0时，方程fx=ax，即-x2+2ax-2a=ax，
整理可得：x2=ax-2，
很明显x=2不是方程的实数解，则，
令，
其中，，
原问题等价于函数gx与函数y=a有两个不同的交点，求a的取值范围．
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数gx的图象，
同时绘制函数y=a的图象如图所示，考查临界条件，
结合a>0观察可得，实数a的取值范围是4，8．
【点评】本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：
（1）直接求零点：令fx=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且fa⋅fb0，∴g(x)在(0，1)上单调递增，
又∵0