高中数学高考 2021届高考二轮精品专题七 解析几何（理） 教师版(1)

这是一份高中数学高考 2021届高考二轮精品专题七 解析几何（理） 教师版(1)，共34页。试卷主要包含了圆锥曲线的综合问题，已知圆C，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。

专题 7
××

解析几何





命题趋势

1．直线与圆的考查也是高考的热点内容，多以选择题和填空题的形式出现，有时还会作为条件结合圆锥曲线进行考查；
2．圆锥曲线的定义、方程、与性质是每年的必考热点，多以选择题和填空题的形式出现，主要考查圆锥曲线的几何性质与标准方程的求法；
3．解析几何还会考一道解答题，通常难度较大，主要考直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围，定点、定值问题等，综合性比较强．


考点清单

1．直线方程与圆的方程
（1）直线方程的五种形式
名称
方程形式
适用条件
点斜式
y-y0=k(x-x0)
不能表示斜率不存在的直线
斜截式
y=kx+b
两点式

不能表示平行于坐标轴的直线
截距式

不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0(A，B不同时为零)
可以表示所有类型的直线
（2）两条直线平行与垂直的判定
①两条直线平行：
对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1//l2⇔k1=k2；
当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1//l2．
②两条直线垂直：
如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2=-1；
当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．
（3）两条直线的交点的求法
直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，
则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
（4）三种距离公式
①P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离：|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2．
②点P0(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离：．
③平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间距离：．
（5）圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0，
(D2+E2-4F>0)
圆心：，
半径：
（6）点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系：
①若M(x0，y0)在圆外，则(x0-a)2+(y0-b)2>r2．
②若M(x0，y0)在圆上，则(x0-a)2+(y0-b)2=r2．
③若M(x0，y0)在圆内，则(x0-a)2+(y0-b)2r
d=r
dr)，则
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
公共点个数
0
1
2
1
0
d，R，r的关系
d>R+r
d=R+r
R-r0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0，0)
对称轴
y=0(x轴)
x=0(y轴)
焦点




离心率
e=1
准线方程




范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半径(其中P(x0，y0)




4．圆锥曲线的综合问题
（1）直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+C=0 (A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)=0，消去y (也可以消去x)得到一个关于变量x (或变量y)的一元方程．
即联立，消去y，得ax2+bx+c=0．
①当a≠0时，设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ，
则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ=0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ0，
整理得t2-n2+9>0，
设Px1，y1、Qx2，y2，则，，，．
因为，所以，
整理得4ty1y2+5(n-3)y1-(n+3)y2=0，
4ty1y2+5(n-3)y1+y2=(6n-12)y2，
将，，代入整理得t(n-2)(n-3)=(2-n)t2+9y2，
要使上式恒成立，只需n=2，此时满足t2-n2+9>0，
因此，直线l恒过定点2，0．
【点评】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；
（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；
（3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式，过定点；
②直线方程整理为点斜式，过定点．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为23，点P在椭圆上，PF1⊥x轴，且．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）将椭圆C按照坐标变换得到曲线C1，若直线l与曲线C1相切且与椭圆C相交于M，N两点，
求MN的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知可得，2b=23⇒b=3，，
则椭圆C的标准方程为．
（2）由，
则曲线C1：x2+y2=1，
当直线l斜率存在且为k时，设l：y=kx+m，由直线l与圆C1相切，
则，
由，
设Mx1，y1，Nx2，y2，则，且Δ>0恒成立，
由
，
由m2=k2+1，则，
令t=3+4k2，则4k2=t-3，
，
令，则y=-s2+2s+3，，则，；
当直线l斜率不存在时，l：x=±1，，
综上：．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程、弦长公式、坐标变换，解题的关键是根据直线与曲线C1相切求出切线方程中参数的关系，化简后借助二次函数性质求出弦长范围．
14．椭圆的左焦点为-2，0，且椭圆C经过点P0，1，直线y=kx+2k-1 (k≠0)与C交于A，B两点（异于点P）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值，并求出这个定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为1．
【解析】（1）由题意得：c=2，b=1，则a2=b2+c2=3，
∴椭圆方程为．
（2）解法一（常规方法)：设，，
联立，化简可得3k2+1x2+6k2k-1x+12kk-1=0，
∵直线y=kx+2k-1(k≠0)与椭圆C交于A、B两点，
∴Δ>0，即123k2+1-2k-12=-48kk-1>0，解得00)的焦点为，所以①，
由，可得，解得，
所以②，
由①②可得：a2=4，p=23，
所以椭圆Γ的方程为，抛物线C的方程为．
（2）设P(m，n)，则，圆P的方程为(x-m)2+(y-n)2=m2+n2，
圆F的方程为：x2+(y-3)2=5，
所以直线MN的方程为：mx+(n-3)y-1=0，
设点F到直线MN的距离为d，
则，
|MN|=25-d2=2，所以MN为定值．

【点评】圆的弦长的求法：
（1）几何法，设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则；
（2）代数法，设直线与圆相交于Ax1，y1，Bx2，y2，联立直线与圆的方程，消去y得到一个关于x的一元二次方程，从而可求出x1+x2，x1x2，根据弦长公式AB=1+k2x1+x22-4x1x2，即可得出结果．
16．已知椭圆过点(0，2)，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l与x轴的正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆Γ相交于两点M、N，各点互不重合，且满足，．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）若直线l的方程为y=-x+1，求的值；
（3）若，试证明直线l恒过定点，并求此定点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，(2，0)．
【解析】（1）由题意，因为椭圆过点(0，2)，可得b=2，
设焦距为，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，
可得(2a)2+(2b)2=2(2c)2，即a2+b2=2c2，
又因为a2=b2+c2，解得a2=12，
所以椭圆Γ的标准方程为．
（2）由直线l的方程为y=-x+1，可得而P(0，1)，Q(1，0)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为，，
可得(x1，y1-1)=λ1(1-x1，-y1)，(x2，y2-1)=λ2(1-x2，-y2)，
从而x1=λ1(1-x1)，x2=λ2(1-x2)，
于是，，所以，
由，整理得4x2-6x-9=0，可得，，
所以．
（3）显然直线l的斜率k存在且不为零，
设直线l的方程为y=kx-mm>0，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
可得P(0，-km)，Q(m，0)，
由，可得(x1，y1+km)=λ1(m-x1，-y1)，
所以x1=λ1m-x1，从而，同理，
又，∴x1x2-2m(x1+x2)+3m2=0⋯①，
联立，得(1+3k2)x2-6k2mx+3k2m2-12=0，
则Δ=36k4m2-4(1+3k2)(3k2m2-12)=1212k2+4-k2m2>0⋯②，
且，
③代入①得，∴m=2，(满足②)
故直线l的方程为y=kx-2，所以直线l恒过定点(2，0)．
【点评】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k）；②利用条件找到k过定点的曲线F(x，y)=0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，
再证明该定点与变量无关．

高频易错题

一、选择题．
1．已知P是曲线C：x+2y-y2=0上的点，Q是直线x-y-1=0上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由x+2y-y2=0，得x2+y-12=1(x≤0)，
∴曲线C是圆心为，半径r=1的左半圆，
曲线C上的点到直线x-y-1=0的最小距离为原点到直线的距离，，
所以的最小值为，故选D．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．

二、解答题．
2．已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且过点(2，2)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P是圆心在原点O，半径为a2+b2的圆O上的一个动点，过点P作椭圆的两条切线，且分别交其圆O于点E､F，求动弦EF长的取值范围．
【答案】（1）；（2）{43}．
【解析】（1）由2a=2×2c，得a=2c，把点(2，2)代入椭圆方程得，
又a2=b2+c2，所以a2=8，b2=4，椭圆的标准方程为．
（2）设过点P作椭圆的两条切线分别为l1，l2．
①当l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设l1斜率不存在，
因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=22或x=-22，
当l1方程为x=22时，此时l1与圆O交于点(22，2)和(22，-2)，
此时经过点(22，2)，(22，-2)且与椭圆只有一个公共点的直线是y=2或y=-2，
即l2为y=2或y=-2，l1⊥l2，
由题目知，圆O的方程为x2+y2=12，
∴线段EF应为圆O的直径，∴|EF|=43；
②当l1，l2斜率都存在时，设点Px0，y0，其中x02+y02=12，且x02≠8，y02≠4，
设经过点Px0，y0与椭圆只有一个公共点的直线为y=tx-x0+y0，
则，消去y得到1+2t2x2+4ty0-tx0x+2y0-tx02-8=0，
∴Δ=64-8x02t2+16x0y0t+32-8y02=0，，
所以t1t2=-1，满足条件的两直线l1，l2垂直．
∴线段EF应为圆O的直径，∴|EF|=43，
综合①②知：因为l1，l2经过点Px0，y0，
又分别交圆于点E，F，且l1，l2垂直，
所以线段EF为圆x02+y02=12的直径，∴|EF|=43为定值．
故EF的取值范围{43}．
【点评】在解决直线与圆锥曲线的位置关系时，常常需要设直线的方程，此时容易遗漏考虑直线的斜率不存在的情况．

精准预测题

一、选择题．
1．已知直线l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2-6x+2y+9=0的对称轴，过点P1，k作圆C的
两条切线，切点分别为A，B，则三角形PAB的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为直线kx+y+4=0是圆C:x2+y2-6x+2y+9=0的对称轴，
所以直线kx+y+4=0过圆心，即3k-1+4=0，k=-1，
所以点P1，-1，PC=2，
因为圆C的半径r=1，所以切线长PA=PB=PC2-r2=3，
且在直角三角形中，
所以∠APC=∠BPC=30°，∠APB=60°，
所以三角形PAB的面积，故选D．
【点评】本题主要考了直线与圆的位置关系，以及切线长的求法，属于基础题．
2．已知x，y都是实数，则“x+y≤2”是“x2+y2≤1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】x+y≤2表示的区域是以±2，0，0，±2为顶点的正方形及其内部，
x2+y2≤1表示的区域是0，0为圆心，1为半径的圆及其内部，
所以x2+y2≤1能够得到x+y≤2成立，反之不成立，故选B．

【点评】本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是q的必要不充分条件，则q对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是q的充分不必要条件，则对应集合是q对应集合的真子集；
（3）若是q的充分必要条件，则对应集合与q对应集合相等；
（4）若是q的既不充分又不必要条件，则对的集合与q对应集合互不包含．
3．已知圆O:x2+y2=r2r>0与x轴的交点为A、B，以A、B为左、右焦点的双曲线的右支与圆O交于P、Q两点，若直线PQ与x轴的交点恰为线段AB的一个四等分点，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知PQ为OB的中垂线，

因为点A、B的坐标分别为-r，0、r，0，所以PQ方程为，
联立，解得，可取，，
所以双曲线的焦距为2c=2r，即c=r，
因为，，
由双曲线定义可得2a=PA-PB=3-1r，，
所以双曲线的离心率，故选A．
【点评】求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率．
4．过点P(x，y)作圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-2)2+(y-2)2=1的切线，切点分别为A､B，若PA=PB，则x2+y2的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．22 D．8
【答案】B
【解析】如图所示，由圆的切线的性质得C1A⊥PA，C2B⊥PB，
在Rt△PAC1，Rt△PBC2中有PA2=PC12-1，PB2=PC22-1，
由题知PA=PB，
∴PC1=PC2，所以点P在线段C1C2的垂直平分线上；
由题知C1(0，0)，C2(2，2)，所以C1与C2的中点Q的坐标为(1，1)，
C1与C2所在直线的斜率为，
∴P，Q所在直线l1的斜率为，
∴直线l1的方程为y=-1×(x-1)+1，即y=-x+2，
点P(x，y)在y=-x+2，所以点P的坐标满足y=-x+2，
所以x2+y2=x2+(-x+2)2=2x2-4x+4=2(x-1)2+2≥2，故选B．

【点评】本题主要考查直线与圆相切的性质及函数的最值；解题方法是根据已知条件，将x2+y2表示为只含有一个未知数x的函数，然后根据二次函数的特征求出其最小值；解题的关键点是找出点P所在的一条直线，进而用一个未知数x表示出其坐标，进而求得x2+y2的最小值．
5．已知抛物线，过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于两点Ax1，y1，Bx2，y2，
且抛物线的准线与x轴的交点为M，则以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设过抛物线C：的焦点F的直线为，
代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0．
由直线上两点Ax1，y1，Bx2，y2，则有y1y2=-p2，
，A正确；
，B正确；
∵M点坐标为，故，，
，
当m≠0时，MA⋅MB≠0，即∠AMB≠90°，故C错误；
由，D正确，
综上所述，本题选C，故选C．
【点评】（1）坐标法是解析几何的基本方法；
（2）抛物线的焦点弦的常用性质：①弦长|AB|=x1+x2+p；②，；③以AB为直径的圆与准线L相切．
6．已知双曲线的左焦点为F，左顶点为A，直线交双曲线于P､Q两点(P在第一象限)，直线PA与线段FQ交于点B，若FB=2BQ，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】依题意可得A-a，0，F-c，0，
因为P在第一象限，所以k>0，
设Px1，y1，Qx2，y2，联立直线与双曲线方程，
消去y得b2-a2k2x2-a2b2=0，解得，
所以，，
设Bm，n，由FB=2BQ，所以FB=2BQ，
即，
即，解得，
即，
因为B、A、P在一条直线上，所以kAP=kAB，
即，
即，
即2ab+2ab2-a2k2=2ab+c-3ab2-a2k2，
所以2ab2-a2k2=c-3ab2-a2k2，解得c=5a，
所以，故选D．
【点评】本题考查双曲线的离心率的计算，关键是方程思想的应用．

二、填空题．
7．已知双曲线与抛物线C2：的焦点F重合，过点F作直线l与抛物线C2交于A、B两点（A点在x轴上方）且满足AF=3BF，若直线l只与双曲线右支相交于两点，则双曲线C1的离心率e的取值范围是______．
【答案】1，2
【解析】设直线l的倾斜角θ，直线l与抛物线C2交于A、B两点（A点在x轴上方），
则为锐角，焦点，准线，准线与x轴交点记为P，
过A、B分别向准线作垂线，垂足分别为C、D，过B向AC作垂线，垂足为E，
设直线与x轴交点记为Q，过A向x轴作垂线，垂足为G，

由抛物线的定义AF=AC=GP=GF+FP，
因为GF=AFcosθ， FP=p，所以AF=AFcosθ+p，
∴，BF=BD=PQ=FP-FQ，
因为FQ=BFcosθ， FP=p，所以，，
由，则，
由直线l只与双曲线右支相交于两点，则，
则，
由e∈1，+∞，则1