高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数随堂练习题

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

3.3　幂函数

1.B　[解析] 设f(x)=xa,由题意知a==3,所以a=3,所以f(x)=x3.故选B.

2.A　[解析] ∵幂函数f(x)=xa的图像经过点P(-2,4),∴(-2)a=4,解得a=2,则f(x)=x2.f(-1)<f(2),A正确;f(-3)=f(3),B错误;f(4)<f(-5),C错误;f(6)=f(-6),D错误.故选A.

3.B　[解析] 因为幂函数y=(m2-2m-2)在(0,+∞)上单调递增,所以m2-2m-2=1且m2+m-1>0,解得m=3,则实数m的值为3.

4.A　[解析] ∵幂函数f(x)=(m-1)xα的图像经过点m,,∴m-1=1且mα=,解得m=2,α=-1,则f(x)=x-1,故f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数.故选A.

5.D　[解析] 设f(x)=xα,由幂函数f(x)的图像过点(4,2),得2=4α,解得α=,所以f(x)=,所以f(x)的定义域为[0,+∞),且f(x)单调递增.由f(x)<f(x2),得解得x>1,所以f(x)<f(x2)的解集为(1,+∞),故选D.

6.BD　[解析] 由幂函数的定义知,幂函数满足三个条件:①系数为1;②底数为自变量;③指数为常数.故选BD.

7.AD　[解析] 对于A,设幂函数的解析式为y=xα,因为该幂函数的图像经过点,2,所以2=α,解得α=-,则该幂函数的解析式为y= ,故A正确;对于B,幂函数y=的图像不过点(0,0),故B错误;对于C,y=不具有奇偶性,故C错误;对于D,易知任何幂函数的图像都不经过第四象限,故D正确.故选AD.

8.ABD　[解析] f(x)==.当m,n是奇数时,幂函数f(x)是奇函数,故A中的结论正确;当m是偶数,n是奇数时,幂函数f(x)是偶函数,故B中的结论正确;当0<<1时,幂函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,故C中的结论错误;当m,n是奇数时,幂函数f(x)=的定义域为R,故D中的结论正确.故选ABD.

9.　[解析] 设f(x)=xα,因为y=f(x)的图像经过点(16,2),所以2=16α,解得α=,故f(x)=.

10.3　[解析] ∵f(x)为幂函数,∴m2-5m+7=1,解得m=2或m=3.当m=2时,f(x)=x为奇函数,不满足题意;当m=3时,f(x)=x2为偶函数,满足题意.综上所述,m=3.

11.x3　(-∞,3)　[解析] 设f(x)=xα,则f(-2)=-8,即(-2)α=-8,解得α=3,故f(x)=x3.因为f(x)=x3在R上为增函数,且f(3)=27,所以f(x)<27的解集为(-∞,3).

12.①③④　[解析] 对于①,函数f(x)=x-2=,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,因为f(-x)===f(x),所以函数f(x)是偶函数,故①正确;对于②,函数f(x)=x-在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增,故②不正确;对于③,不妨设x1<x2,因为>0,所以f(x1)<f(x2),根据函数单调性的定义得函数f(x)在区间D上单调递增,故③正确;对于④,因为对于任意x∈I,总有f(x)≥M (M为常数)中,未指明存在x0∈I,有f(x0)=M,所以不能推出函数f(x)在区间I上的最小值为M,而若函数f(x)在区间I上的最小值为M,则总有f(x)≥M (M为常数),所以“对于任意x∈I,总有f(x)≥M (M为常数)”是“函数f(x)在区间I上的最小值为M”的必要不充分条件,故④正确.故填①③④.

13.解:(1)设f(x)=xα.

∵f(x)的图像过点P8,,∴8α=,

即23α=2-1,解得α=-,故函数f(x)的解析式为f(x)=(x≠0).

(2)作出函数f(x)的图像如图所示.

由图可知,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞),无单调递增区间.

14.解:(1)设f(x)=xα,

将点(2,)的坐标代入,得=2α,解得α=,

所以f(x)=.

幂函数f(x)==在[0,+∞)上单调递增.

证明:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-==,

因为x1-x2<0,+>0,所以f(x1)<f(x2),

故幂函数f(x)=在[0,+∞)上单调递增.

(2)当x≥0时,g(x)=f(x),而幂函数f(x)=在[0,+∞)上单调递增,

所以当x≥0时,g(x)单调递增.

因为函数g(x)是R上的偶函数,

所以g(x)在(-∞,0)上单调递减.

由g(5)=,g(1-m)≤可得|1-m|≤5,解得-4≤m≤6,

所以满足g(1-m)≤的实数m的取值范围为[-4,6].

15.B　[解析] 作直线y=x.由图可知,y=xm在[0,+∞)上单调递增,y=xn在(0,+∞)上单调递减,则m>0,n<0.当x>1时,y=xm的图像在直线y=x的下方,y=xn的图像在y=x-1的图像下方,则m<1,n<-1.综上可知,n<-1,0<m<1.故选B.

16.B　[解析] 设f(x)=xα (α为常数),∵幂函数f(x)的图像经过点,2,∴α=2,解得α=-1,故f(x)=x-1=,则幂函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减.∵0<a<b<1,∴0<a<b<1<<,又幂函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,∴f(a)>f(b)>f>f.故选B.

17.解:(1)∵f(x)是幂函数,∴p2-3p+3=1,解得p=1或p=2.

当p=1时,f(x)=x-1,不满足f(2)<f(4);

当p=2时,f(x)=,满足f(2)<f(4).

故p=2,f(x)=.

(2)令t=f(x)=,x∈[1,9],则t∈[1,3].

记φ(t)=t2+mt,t∈[1,3].

①当-≤1,即m≥-2时,φ(t)min=φ(1)=m+1=0,解得m=-1;

②当1<-<3,即-6<m<-2时,φ(t)min=φ-=-=0,解得m=0(舍去);

③当-≥3,即m≤-6时,φ(t)min=φ(3)=3m+9=0,解得m=-3(舍去).

综上所述,存在m=-1使得g(x)的最小值为0.