人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件学案及答案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

1.4　充分条件与必要条件

1.4.1　充分条件与必要条件

【课前预习】

知识点一

1.命题　真命题　假命题

2.若p,则q　如果p,那么q　命题的条件　命题的结论

知识点二

1.充分条件　必要条件

2.唯一　充分　不唯一　必要

诊断分析

1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　[解析] (1)由x2=y2不能推出x=y,所以“x2=y2”不是“x=y”的充分条件.

(2)当ab=0时,不一定有b=0,但b=0时,一定有ab=0,所以“ab=0”是“b=0”的必要条件.

(3)当x>1时,x2>1一定成立,所以“x>1”是“x2>1”的充分条件.

(4)当x2-3x+2=0时,x=1或x=2,所以“x=1或x=2”是“x2-3x+2=0”的必要条件.

2.解:有以下5种说法:

①“若p,则q”为真命题;②p是q的充分条件;③q是p的必要条件;④q的一个充分条件是p;⑤p的一个必要条件是q.

【课中探究】

探究点一

例1　解:(1)①因为Q⊆R,所以p⇒q,所以p是q的充分条件.

②由三角形中大角对大边可知,若A>B,则BC>AC,因此p⇒q,所以p是q的充分条件.

③因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0可推出a=b=0,即p⇒q,所以p是q的充分条件.

④若整数a能被4整除,则a是偶数,所以a的个位数字为偶数,所以p⇒q,所以p是q的充分条件.

(2)①若|x|=|y|,则x=y或x=-y,因此p⇒/ q,所以q不是p的必要条件.

②当x=-2时,-2≤x≤5成立,但是-1≤x≤5不成立,所以p⇒/ q,所以q不是p的必要条件.

③等边三角形一定是等腰三角形,所以p⇒q,所以q是p的必要条件.

变式　解:(1)∵四边形ABCD为菱形⇒四边形ABCD为平行四边形,即p⇒q,∴p是q的充分条件;

∵四边形ABCD为平行四边形⇒/ 四边形ABCD为菱形,∴p不是q的必要条件.

(2)当m=12时,4x2-mx+9=4x2-12x+9=(2x-3)2是完全平方式,即p⇒q,∴p是q的充分条件;

当4x2-mx+9是完全平方式时,m=±12,∴q⇒/ p,p不是q的必要条件.

(3)∵A∩B=A,∴A⊆B,即p⇒/ q,∴p不是q的充分条件;

但q⇒p,∴p是q的必要条件.

探究点二

例2　(1)A　 (2)m≤-1　[解析] (1)因为|x|≤2,所以-2≤x≤2,因为p是q的充分不必要条件,所以a≥2,故选A.

(2)∵q是p的必要条件,∴m≤-1.

变式　C　[解析] 由x2+x-6=0,得x=2或x=-3.由ax+1=0,得x=-.由题意知p⇒/ q,q⇒p,则-=2或-=-3,解得a=-或a=.综上可知,a=-或a=.故选C.

【课堂评价】

1.C　[解析] 4>3.14,则由x>4能推出x>3.14,故选C.

2.A　[解析] 若四边形是平行四边形且对角线相等,则四边形是矩形,故选A.

3.A　[解析] 当a=1时,|a|=1成立,但|a|=1时,a=±1,所以a=1不一定成立.所以“a=1”是“|a|=1”的充分条件,故选A.

4.A　[解析] 若p是q的必要条件,则q⇒p,故m≥2,观察各选项可知m=3符合题意,故选A.

5.x=-2(答案不唯一)　[解析] x=-2⇒x+≤-2,x+≤-2⇒/ x=-2,故填x=-2(答案不唯一).