第六章 章末综合测试

课时跟踪检测（九）  圆周运动的两种模型和临界问题

组—重基础·体现综合

1．如图1甲所示是杂技演员表演的“水流星”节目，在长为1.8 m的细绳的两端，各系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的中点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图1乙所示，若“水流星”通过最高点时的速率为3 m/s(g取10 m/s2)，则下列说法正确的是(　　)

图1

A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出

B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零

C．“水流星”通过最高点时，不受力的作用

D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N

解析：选B　水流星在最高点的临界速度v＝＝3 m/s，由此知绳的拉力恰为0，且水恰不流出，故B正确。

2．冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度为(　　)

A．v＝k　　　　　　　 B．v≤

C．v≤   D．v≤

解析：选B　水平冰面对运动员的摩擦力提供他做圆周运动的向心力，运动员的安全速度v满足kmg≥m，解得v ≤，故B正确。

3．如图2所示，物块(质量为m)随转筒一起以角速度ω做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)

 A．物块受到重力、弹力、摩擦力和向心力的作用

 B．若角速度增大而且物块仍然随转筒一起做匀速圆周运动，那么物块所受摩

擦力增大                     图2

 C．若角速度增大而且物块仍然随转筒一起做匀速圆周运动，物块所受摩擦力减小

 D．若角速度增大而且物块仍然随转筒一起做匀速圆周运动，物块所受摩擦力不变

解析：选D　因为物块始终随转筒做匀速圆周运动，所以物块受重力、摩擦力和筒壁的支持力。向心力为效果力，物块不受向心力，故A错误。因为物块在竖直方向上处于平衡状态，所以Ff＝G，FN＝mrω2，当ω增大时，FN增大，Ff不变，故B、C错误，D正确。

4．如图3所示，可视为质点的木块A、B叠放在一起，放在水平转台上随转台一起绕固定转轴OO′匀速转动，木块A、B与转轴OO′的距离为1 m，A的质量为5 kg，B的质量为10 kg。已知A与B间的动摩擦因数为0.2，B与转台间的动摩擦因数为0.3，若木块A、B与转台始终保持相     图3

 对静止，则转台角速度ω的最大值为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2)(　　)

 A．1 rad/s　　　　　　　 B． rad/s

 C． rad/s   D．3 rad/s

解析：选B　对A有μ1mAg≥mAω2r，对A、B整体有(mA＋mB)ω2r≤μ2(mA＋mB)g，代入数据解得ω≤ rad/s，故B正确。

5．(多选)球A和球B可在光滑杆上无摩擦滑动，两球用一根细绳连接，如图4所示，球A的质量是球B的两倍，当杆以角速度ω匀速转动时，两球刚好保持与杆无相对滑动，那么(　　)

 A．球A受到的向心力大于球B受到的向心力

 B．球A转动的半径是球B转动半径的一半                               图4

 C．当A球质量增大时，球A向外运动

 D．当ω增大时，球B向外运动

解析：选BC　因为杆光滑，两球的相互拉力提供向心力，所以FA＝FB，故A错误；根据F＝mω2r，mA＝2mB，rB＝2rA，故B正确；当A球质量增大时，球A向外运动，故C正确；当ω增大时，球B不动，故D错误。

6．如图5所示，在水平转台上放一个质量M＝2.0 kg的木块，它与台面间的最大静摩擦力fm＝6.0 N，绳的一端系住木块，另一端穿过转台的中心孔O(孔光滑)悬吊一质量m＝1.0 kg的小球，当转台以ω＝5.0 rad/s的角速度匀速转动时，欲使木块相对转台静止，则木块到O孔的距离可能是(重力加速度g取10 m/s2，木块、小球均视为质点)(　　)                          图5

A．16 cm   B．5 cm

C．60 cm   D．36 cm

解析：选A　木块在水平面内转动时，水平转台对木块的支持力与木块自身重力相平衡，拉力与水平转台对木块的静摩擦力的合力提供木块做圆周运动的向心力。设木块到转台中心的距离为R，木块以角速度ω转动所需向心力为Mω2R，若Mω2R＝T＝mg，则此时转台对木块的摩擦力为0。若R1>R，Mω2R1>mg，则转台对木块的摩擦力方向沿转台半径指向中心，由牛顿第二定律得f1＋mg＝Mω2R1，当f1＝fm时，R1最大。因此，木块到转台中心的最大距离为R1＝＝ m＝0.32 m；若R2<R，Mω2R2<mg，转台对木块的摩擦力方向沿转台半径背离中心，由牛顿第二定律得mg－f2＝Mω2R2，当f2＝fm时，R2最小，最小值为R2＝＝0.08 m。故木块至O孔的距离R的范围为0.08 m≤R≤0.32 m，故B、C、D错误，A正确。

7．如图6所示，环形车道竖直放置，半径为6 m，若汽车在车道上以12 m/s恒定的速率运动，特技演员与汽车的总质量为1 000 kg，重力加速度g取10 m/s2，则(　　)

图6

A．汽车通过最低点时，特技演员处于失重状态

B．汽车通过最高点时对环形车道的压力为1.4×104 N

C．汽车在环形车道上的角速度为1 rad/s

D．若要挑战成功，汽车在最高点的速率不可能低于12 m/s的恒定速率运动

解析：选B　汽车通过最低点时，加速度方向竖直向上，特技演员处于超重状态，故A错误；汽车在最高点，根据牛顿第二定律得，FN＋mg＝m，解得FN＝m－mg＝14 000 N，故B正确；汽车在环形车道上的角速度ω＝＝ rad/s＝2 rad/s，故C错误；要想通过最高点，临界情况是轨道对汽车的压力为0，根据牛顿第二定律得，mg＝m，解得v′＝＝ m/s＝2 m/s，即最小速度为2 m/s，故D错误。

8．(多选)如图7所示，竖直平面内固定一个圆环状的细管，一光滑小球(直径略小于管径)在管内做圆周运动，则(　　)

 A．小球以大小不同的速度通过最高点时，管壁对小球的作用力大小一定

不等

 B．小球以大小不同的速度通过最高点时，管壁对小球的作用力大小可能      图7

相等

 C．小球以大小不同的速度通过最低点时，管壁对小球的作用力大小一定不等

 D．小球以大小不同的速度通过最低点时，管壁对小球的作用力大小可能相等

解析：选BC　在最高点，若小球对内壁为压力，则mg－FN＝，解得FN＝mg－；若小球对外壁为压力，则mg＋FN′＝，解得FN′＝－mg，小球的速度大小不同，压力大小可能相同，故A错误，B正确；在最低点，根据牛顿第二定律可知FN－mg＝，解得FN＝＋mg，小球的速度大小不同，对管壁的作用力大小一定不同，故C正确，D错误。

9．长为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球。求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10 m/s2)：

(1)杆做匀速圆周运动的转速为2 r/s；

(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s。

解析：小球在最高点的受力情况如图所示。

(1)杆的转速为2 r/s时，

ω＝2π·n＝4π rad/s，

由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2，

故小球所受杆的作用力

F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138 N，

即杆对小球有138 N的拉力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上。

(2)杆的转速为0.5 r/s时，ω′＝2π·n′＝π rad/s，

同理可得小球所受杆的作用力

F′＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N≈－10 N，

力F′为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，即杆对小球有10 N的向上的支持力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下。

答案：(1)138 N，方向竖直向上　(2)10 N，方向竖直向下

组—重应用·体现创新

10．半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图8所示。顶部有一物体A，现给它一个水平初速度v0＝，则物体将(　　)

A．沿球面下滑至M点

B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动                  图8

C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动

D．立即离开半圆球做平抛运动

解析：选D　设在顶部物体A受到半圆球对它的作用力为F，由牛顿第二定律得mg－F＝m，把v0＝代入得F＝0。说明物体只受重力作用，又因物体有水平初速度v0，故物体做平抛运动，故D正确。

11．(多选)如图9所示，小球P(可视为质点)用两根长度相等、不可伸长的细绳系于竖直杆上，随杆转动。若转动角速度为ω，则下列说法正确的是(　　)

A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力                         图9

B．绳子BP的拉力随ω的增大而增大

C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力

D．当ω增大到一定程度时，绳子AP的张力大于绳子BP的张力

解析：选ABC　小球P的重力、绳子BP的张力及绳子AP中可能存在的张力的合力提供P做匀速圆周运动的向心力。用正交分解法求出小球P分别在水平、竖直两个方向受到的合力Fx合、Fy合，由牛顿运动定律列方程，Fx合＝mrω2，Fy合＝0，分析讨论可知A、B、C正确，D错误。

12．如图10所示，一根长0.1 m的细线，一端系着一个质量为0.18 kg的小球，拉住细线的另一端使小球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动。当小球的角速度增大到原来的3倍时，细线断裂，测得这时细线的拉力比原来大40 N(g取10 m/s2)。求：

图10

(1)细线断裂的瞬间，细线的拉力大小；

(2)细线断裂时小球运动的线速度大小；

(3)如果桌面高出地面h＝0.8 m，细线断裂后小球垂直于桌面边缘飞出去的落地点离桌面边缘的水平距离s。

解析：(1)小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动时，细线的拉力提供向心力，有F＝mω2R，

设原来的角速度为ω0，细线的拉力为F0；当角速度为ω＝3ω0时，细线的拉力为F。

则F∶F0＝ω2∶ω02＝9∶1，

又F－F0＝40 N，

解得F＝45 N。

(2)设细线断裂时小球的线速度为v，

由牛顿第二定律得F＝m，

解得v＝ ＝  m/s＝5 m/s。

(3)由平抛运动的规律得小球在空中运动的时间为

t＝ ＝  s＝0.4 s，

故小球落地点离桌面边缘的水平距离

s＝vt＝5×0.4 m＝2 m。

答案：(1)45 N　(2)5 m/s　(3)2 m