2022-2023学年北京市东城区高一上学期期末统一检测数学试题含解析

2022-2023学年北京市东城区高一上学期期末统一检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据交集的定义，即可求解.

【详解】因为，

所以.

故选：A

2．不等式的解集是（    ）

A．或 B．或 C． D．

【答案】B

【分析】直接解出不等式即可.

【详解】，解得或，故解集为或，

故选：B.

3．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性即可得到答案.

【详解】根据幂函数图像与性质可知，对A选项在单调递增，故A错误，

对D选项在单调性递增，故D错误，

根据指数函数图像与性质可知在单调递减，故C正确，

根据对数函数图像与性质可知在单调性递增.

故选：C.

4．命题“”的否定是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据存在命题的否定即可得到答案.

【详解】根据存在命题的否定可知，存在变任意，范围不变，结论相反，

故其否定为.

故选：A.

5．已知，则的最小值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】利用基本不等式的性质求解即可.

【详解】因为，所以.

当且仅当，即时等号成立.

所以的最小值为.

故选：D

6．函数的图象关于（    ）

A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线对称

【答案】C

【分析】求出，可知，可得函数为奇函数，进而得到答案.

【详解】函数的定义域为R，，

所以有，所以为奇函数，图象关于原点对称.

故选：C.

7．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据正弦函数的性质及充分条件、必要条件即可求解.

【详解】推不出（举例，），

而,

“”是“”的必要不充分条件，

故选：B

8．已知函数，对a，b满足且，则下面结论一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由对数函数的运算性质可知移项化简即可得.

【详解】因为函数，对a，b满足且，

所以，

则

所以，

即，

解得

故选：D

9．记地球与太阳的平均距离为R，地球公转周期为T，万有引力常量为G，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量.已知，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用对数运算性质计算即可.

【详解】因为，

所以由得：

，

即，

又，

所以.

故选：A.

10．已知实数互不相同，对满足，则对（    ）

A．2022 B． C．2023 D．

【答案】D

【分析】根据代数基本定理进行求解即可..

【详解】国为满足，

所以可以看成方程的个不等实根，根据代数基本定理可知：对于任意实数都有以下恒等式，

，

令，于是有

，，

，

，

，

，

所以，

故选：D

【点睛】关键点睛：根据代数基本定理是解题的关键.

二、填空题

11．函数的定义域是__________.

【答案】

【分析】根据对数真数大于零可构造不等式求得结果.

【详解】由得：，的定义域为.

故答案为：.

12．__________.

【答案】6

【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算计算作答.

【详解】.

故答案为：6

13．若，，则______．

【答案】

【分析】由，可知，再结合，及，可求出答案.

【详解】因为，所以，

所以，．

故答案为：.

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

三、双空题

14．如图，单位圆被点分为12等份，其中.角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则__________；若，则角的终边与单位圆交于点__________.（从中选择，写出所有满足要求的点）

【答案】         

【分析】求出终边经过则对应的角和的关系.

【详解】，所以终边经过则

角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则，

所以

，即或

即或

经过点

故答案为：；

15．已知函数,

①当时，在上的最小值为__________；

②若有2个零点，则实数a的取值范围是__________.

【答案】     ；     或．

【分析】①根据函数式分段确定函数的单调性后可得最小值；

②结合函数和的图象，根据分段函数的定义可得参数范围．

【详解】①，时，是增函数，，

时，是增函数，因此，

所以时，的最小值是；

②作出函数和的图象，它们与轴共有三个交点，，，

由图象知有2个零点，则或．

故答案为：；或．

四、解答题

16．已知函数.

(1)求的值；

(2)当时，求的值域.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据诱导公式和特殊角三角函数值求解；(2)利用余弦函数性质及不等式性质求的值域.

【详解】（1）因为，

所以，

（2）由(1) ，又，所以，

所以，故当时，的值域为.

17．已知关于x的不等式的解集为A.

(1)当时，求集合A；

(2)若集合，求a的值；

(3)若，直接写出a的取值范围.

【答案】(1)；

(2)；

(3)．

【分析】（1）直接解不等式可得；

（2）由题意得是方程的根，代入后可得值；

（3）代入后不等式不成立可得．

【详解】（1）时，不等式为，即，，

∴；

（2）原不等式化为，

由题意，解得，

时原不等式化为，或，满足题意．

所以；

（3），则，解得．

18．函数的定义域为，若对任意的，均有.

(1)若，证明：；

(2)若对，证明：在上为增函数；

(3)若，直接写出一个满足已知条件的的解析式.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)证明过程见解析

(3)，（答案不唯一）

【分析】（1）赋值法得到；

（2）赋值法，令，且，从而得到，证明出函数的单调性；

（3）从任意的，均有，可得到函数增长速度越来越快，故下凸函数符合要求，构造出符合要求的函数，并进行证明

【详解】（1）令，则，

因为，所以；

（2）令，且，则，

所以，

故，

因为对，

所以，

故，即，

在上为增函数；

（3）构造，，满足，

且满足对任意的，，理由如下：

，

因为，故，，

故对任意的，.

19．已知函数.

(1)若为偶函数，求a的值；

(2)从以下三个条件中选择两个作为已知条件，记所有满足条件a的值构成集合A，若，求A.

条件①：是增函数；

条件②：对于恒成立；

条件③：，使得.

【答案】(1)；

(2)选①②，不存在；选①③，；选②③，．

【分析】（1）由偶函数的定义求解；

（2）选①②，时，由复合函数单调性得是增函数，时，由单调性的定义得函数的单调性，然后在时，由有解，说明不满足②不存在；选①③，同选①②，由单调性得，然后则函数的最大值不大于4得的范围，综合后得结论；选②③，先确定恒成立时的范围，再换元确定新函数的单调性得最大值的可能值，从而可得参数范围．

【详解】（1）是偶函数，则，

恒成立，∴，即；

（2）若选①②，（），

若，则是增函数，由得，因此不恒成立，不合题意，

若，设，则，

恒成立，设，则，

，

当时，，，，是减函数，

时，，，，是增函数，

又是增函数，因此在定义域内不是增函数，不合题意．

故不存在满足题意；

若选①③，

若，则是增函数，

若，设，则，

恒成立，设，则，

，

当时，，，，是减函数，

时，，，，是增函数，

又是增函数，因此在定义域内不是增函数，不合题意．

故不存在满足题意；

要满足①，则，

所以时，，由得，

综上，；

所以．

若选②③，

若，则由，不恒成立，

只有时，恒成立，设，则，

又时，，，

恒成立，设，则，

，

当时，，，，是减函数，

时，，，，是增函数，

取任意正数时，的最大值是或，

要满足③，则或，或，

所以，

所以．

20．对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则.

(1)若，求；

(2)若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组；

(3)若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值.

【答案】(1)

(2)的最大值为，

(3)n的最大值为11

【分析】（1）根据新定义即可求出；

（2）由，且要使得取到最大，则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值.

（3）要n的值最大，则集合的幅值最小，且是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，故对集合中元素分析列出方程解出即可.

【详解】（1）由集合知，，

所以.

（2）因为，，

由此可知集合中各有3个元素，且完全不相同，

根据定义要让取到最大值，

则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，

4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中

这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为，

所以有一组满足题意，

（3）要n的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为，

因为是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，

不妨设是集合中只有一个元素的非空真子集，此时，例如,

则是集合中有两个元素的非空真子集，且，例如，

同理是集合中有三个元素的非空真子集，且，例如，

是集合中有个元素的非空真子集，且，例如，

所以，

解得或（舍去），

所以n的最大值为11.

【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.