2023届湛江市高三毕业班调研测试数学试题含答案

这是一份2023届湛江市高三毕业班调研测试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湛江市2023届高中毕业班调研测试数学一、选择题1.已知集合，，则（   ）A.B.C.D.答案：D解析：因为，，所以.2.（   ）A.B.C.D.答案：C解析：.3.函数的部分图象大致为（   ）A.B.C.D.答案：A解析：因为，所以为奇函数，排除C，D；因为当时，，所以排除B.4.已知双曲线的渐近线方程为，则（   ）A.B.C.D.答案：B解析：因为，，所以，故.5.已知，，，则（   ）A.B.C.D.答案：D解析：因为，，所以.因为，，所以，所以.6.如图，长方体中，是棱的中点，则（   ）A.平面B.平面C.平面D.平面答案：D解析：因为，与平面相交，所以与平面不平行，故A错误；因为，与平面相交，所以与平面不平行，故B错误；取的中点，连接（图略），则，因为与平面相交，所以与平面不平行，故C错误；取的中点，连接，（图略），易知平面平面，故D正确.7.如图，在中，为的中点，若为上一点，且，则（   ）A.B.C.D.答案：A解析：因为，且，，三点共线，所以.8.已知球的半径为，圆锥内接于球，则圆锥体积的最大值为（   ）A.B.C.D.答案：C解析：设圆锥底面的半径为，则圆锥的高为，所以圆锥的体积.令，则，所以.因为，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为，故圆锥体积的最大值为.二、多选题9.某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用（单位：万元）与销售利润（单位：万元）的相关数据，如表所示，根据表中数据，得到经验回归方程：，则下列结论正确的是（   ）A.B.C.直线必过点D.直线必过点答案：A、B、D解析：通过散点图（图略）可以看出A，B正确，且回归直线必经过，故D也正确.10.已知函数，则下列结论中错误的是（   ）A.的最小正周期为B.的图象关于点中心对称C.的图象关于直线对称D.在上单调递增答案：A、B、C解析：因为，所以的最小正周期为，故A错误；令，得，所以图象的对称中心为，故B错误；令，得，所以图象的对称轴为直线，故C错误；令，得，所以的单调递增区间为，故D正确.11.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两动点，且的最小值为，是线段的中点，是平面内一定点，则（   ）A.B.若，则到轴距离为C.若，则D.的最小值为答案：A、B、D解析：设点，.因为，所以的最小值为，所以，故A正确；若，则，所以到轴的距离为，故B正确；当过时，设的方程为，与联立可得，则.由，得，所以或，所以，故C错误；过点作抛物线的准线：的垂线，垂足为点.由抛物线的定义可得，所以，当且仅当，，三点共线时，即当时，取得最小值，故D正确.12.已知定义域为的奇函数满足：当时，；当时，.下列说法正确的有（   ）A.的周期为B.当时，C.若，，则D.若方程在上恰有三个根，则实数的取值范围是答案：B、D解析：因为当时，，当时，，所以当时，.因为是定义在上的奇函数，所以当时，，故A错误，B正确.因为，所以.因为在上单调递减，所以，所以，故C错误.方程在上恰有三个根，即的图象与直线在上有三个交点.如图所示，直线过定点，所以，其中为点，连线的斜率，，为直线与曲线相切时的斜率.设切点为，则.因为，所以，切线方程为，将点的坐标代入，得，即，则，所以，故D正确.三、填空题13.一个正棱锥有条棱，高为，底面边长为，其体积为________.答案：解析：因为该正棱锥有条棱，所以该正棱锥为正三棱锥.因为高为，底面边长为，所以该正棱锥的体积为.14.的展开式中的系数为________.答案：解析：展开式的通项公式为，所以展开式中的系数为.15.写出与直线垂直且和圆相切的一条直线的方程：________.答案：或（写出一条即可）解析：因为直线的斜率是，所以可设直线方程是.因为的圆心为，半径为，所以，即，解得或，故所求直线的方程为或.16.已知函数存在唯一的极值点，则实数的取值范围是________.答案：解析：因为存在唯一的极值点，所以存在唯一的变号正实根.因为，所以只有唯一变号正实根.当时，，方程只有唯一变号正实根，符合题意；当时，方程没有除之外的正实根.令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.综上所述.四、解答题17.设数列的前项和为，已知，是公差为的等差数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.答案：见解析解析：（1）因为，是公差为的等差数列，所以，所以.当时，；当时，，所以.因为，，所以的通项公式为.（2）因为，所以.18.如图，在直三棱柱中，，为的中点，.（1）证明：.（2）求二面角的余弦值.答案：见解析解析：（1）证明：因为平面，平面，所以，又，，，平面，所以平面.因为平面，所以.（2）如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设平面的法向量为，则，令，得.取平面的一个法向量为，所以.因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.19.已知在中，角，，所对的边分别为，，且.（1）求角的大小；（2）若平分并交于，且，，求的面积.答案：见解析解析：（1）因为，所以，整理得.由余弦定理可得，又，所以.（2）因为平分，所以.因为，所以.因为，所以.因为，，所以，所以，所以.20.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于年月日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定.某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”，从该校学生中随机选取了名学生，调查得到如下表所示的统计数据.（1）从该校任选名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于的概率；（2）估计该校所有学生每日使用手机的时间的中位数；（3）以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选人，记这人每日使用手机的时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望.答案：见解析解析：（1）由题表知，该校学生每日使用手机的时间小于的有人，所以从该校任选名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于的概率.（2）设中位数为，因为该校所有学生每日使用手机的时间小于的频率为，每日使用手机的时间小于的频率为，所以，由，解得，故估计该校所有学生每日使用手机的时间的中位数为.（3）的所有可能取值为，，，.由表中数据可知，任意挑选一人，每日使用手机的时间在的概率为，则.因为，，，，所以的分布列为故的数学期望（或）.21.已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点，连接交椭圆于点，若，求直线的方程.答案：见解析解析：（1）由题意得，所以.因为椭圆的离心率，所以.因为，所以，，故椭圆的方程为.（2）由题意知，直线不垂直于轴，设直线的方程为，，，联立方程组，消去并整理得，所以，，所以.因为点到直线的距离，且是线段的中点，所以点到直线的距离为，所以.由，解得或（舍去），所以，故直线的方程为，即或.22.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若不等式恒成立，求的取值范围.（参考数据：，）答案：见解析解析：（1）因为，所以.当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.（2），即，即.令，则.令，则恒成立，所以在上单调递增.因为，，所以，，即.所以当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以.因为，所以，.令，则，所以在上单调递增.因为，，所以，，所以，即的取值范围是.