广东省湛江市2024届高三上学期10月调研数学试题

这是一份广东省湛江市2024届高三上学期10月调研数学试题，共26页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知函数的定义域为，且，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题1-1.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选作题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，则（ ）
A. B. C.2 D.1
2.已知集合，则的真子集的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知向量，若，则（ ）
A.-1 B.-2 C.1 D.2
4.已知函数的最小值为0，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.
5.已知双曲线的一条渐近线方程是分别为双曲线的左､右焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，则（ ）
A. B. C. D.
6.某企业面试环节准备编号为的四道试题，编号为的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有（ ）
A.9种 B.10种 C.11种 D.12种
7.已知函数的定义域为，且，则（ ）
A. B. C.是偶函数 D.没有极值点
8.已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点是上的动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.某商店的某款商品近5个月的月销售量（单位：千瓶）如下表：
若变量和之间具有线性相关关系，用最小二乘法建立的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A.点一定在经验回归直线上
B.
C.相关系数
D.预计该款商品第6个月的销售量为7800瓶
10.已知大气压强随高度的变化满足关系式是海平面大气压强，.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：
若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一､二､三级阶梯某处的压强分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数，下列结论正确的是（ ）
A.有且只有一个零点
B.
C.，直线与的图象相切
D.
12.如图，有一个正四面体形状的木块，其棱长为.现准备将该木块锯开，则下列关于截面的说法中正确的是（ ）
A.过棱的截面中，截面面积的最小值为
B.若过棱的截面与棱（不含端点）交于点，则
C.若该木块的截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为
D.与该木块各个顶点的距离都相等的截面有7个
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.若是增函数，则的取值范围为__________.
14.如图，一个圆柱内接于圆锥.且圆柱的底面圆半径是圆锥底面圆半径的一半，则该圆柱与圆锥的体积的比值为__________.
15.已知直线关于的对称直线与圆存在公共点.则的取值范围为__________.
16.已知正项数列满足，则__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
如图，在中，点在边上，且.已知.
（1）求；
（2）若的面积为，求.
18.（12分）
函数在上的零点从小到大排列后构成数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19.（12分）
如图，在直三棱柱中，，点在棱上，点在棱上，.
（1）若，求；
（2）若，求二面角的余弦值.
20.（12分）
甲､乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球.
（1）求前4个回合甲发球两次的概率；
（2）求第4个回合甲发球的概率；
（3）设前4个回合中，甲发球的次数为，求的分布列及期望.
21.（12分）
已知点和直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交于两点，若点的坐标为，直线与轴的交点分别是，证明：线段的中点为定点.
22.（12分）
（1）证明：函数在上单调递减.
（2）已知函数，若是的极小值点，求实数的取值范围.
2024届湛江市普通高中毕业班调研测试
数学参考答案
1.A .
2.C 因为，所以，共有4个子集，3个真子集.
3.B ，因为，所以，解得.
4.D （其中），，且，解得.
5.D 因为该双曲线的一条渐近线方程是，则，结合，可得.又，所以.
6.A 每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有9种.
7.D 令函数，则，所以为常函数.令，则没有极值点，D正确.
8.C 作准线（图略），则.
当取最大值时，取得最小值，当且仅当与抛物线相切于点时，等号成立.当与抛物线相切时，设直线的方程为，代入，可得.由，解得.不妨设点在第一象限，则，所以的最大值为.故的取值范围为.
9.AB ，样本点中心一定在经验回归直线上，即，则正确.变量与成正相关，
相关系数，C错误.当时，，预计该款商品第6个月的销售量为6280瓶，错误.
10.ACD 设在第一级阶梯某处的海拔为，则，即.
因为，所以，解得正确.
由，得.当时，，即，所以，B错误.
设在第二级阶梯某处的海拔为，在第三级阶梯某处的海拔为，
则两式相减可得.
因为，所以，则，即，故均正确.
11.AD 因为，所以在上单调递减，正确.
当时，，当时，，B错误.
不可能存在斜率为-1的切线，错误.
因为，所以，D正确.
12.ACD 设截面与棱的交点为，如图1，过棱的截面为，当为棱的中点时，的面积取得最小值，最小值为，正确.
设.在中，，所以，B错误.
如图2，当截面为平行四边形时，.由，知，从而平行四边形为长方形.设，则，所以长方形的面积，当且仅当时，等号成立，正确.
与该木块各个顶点的距离都相等的截面分为两类.第一类：平行于正四面体的一个面，且到顶点和到底面距离相等，这样的截面有4个.第二类：平行于正四面体的两条对棱，且到两条棱距离相等，这样的截面有3个.故与该木块各个顶点的距离都相等的截面共有7个，D正确.
13. 函数是增函数，若要是增函数，则函数是增函数，.
14. 设该圆柱的底面圆半径为，高为，则该圆柱的体积为.
圆锥的底面圆半径为，高为，则该圆锥的体积为.
故该圆柱与圆锥的体积的比值为.
15. 直线关于的对称直线为，所以，解得.
16. 因为，所以，即，故，当且仅当时，等号成立.设，可得，解得，故是常数列，每一项都是.
17.解：（1），
所以.
因为，所以.
（2）作，垂足为.
在中，，所以为等腰直角三角形.
因为，所以.
由的面积为，解得.
故.
18.解：（1）函数的最小正周期为.
函数在上的零点分别为.
数列是以为首项，为公差的等差数列，
即当为奇数时，.
数列是以为首项，为公差的等差数列，
即当为偶数时，.
综上，
（2）.
.
19.解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则.
设，则.
因为，所以，则，解得.
故.
（2）由，得.
设平面的法向量是，
则即
取，得.
设平面的法向量是，
则即
取，得.
因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
20.解：（1）前4个回合甲发球两次的情况分以下三种：
第一种情况，甲第1，2回合发球，乙第3，4回合发球，其概率为.
第二种情况，甲第1，3回合发球，乙第2，4回合发球，其概率为.
第三种情况，甲第1，4回合发球，乙第2，3回合发球，其概率为.
故前4个回合甲发球两次的概率为.
（2）第2回合甲发球的概率为，乙发球的概率为.
第3回合甲发球的概率为，乙发球的概率为.
第4个回合甲发球的概率为.
（3）可以取.
当时，；
当时，；
由（1）得，当时，；
当时，.
的分布列为
.
21.（1）解：设，由题意得，
整理得，即，
故动点的轨迹的方程为.
（2）证明：设直线的方程为.
联立得.
由，得，整理得.
设，则.
直线的方程为，令，得.同理.
，
所以，所以线段的中点坐标为，
故线段的中点为定点.
22.（1）证明：.
令函数.
当时，，所以在上单调递增.
因为，所以当时，恒成立，故在上单调递减.
（2）解：.
令函数.
当，即或时，
存在，使得当时，，即在上单调递减.
因为，所以当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，不符合题意.
当，即时，
存在，使得当时，，即在上单调递增.
因为，所以当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，是的极小值点，符合题意.
当，即时，.
结合（1）可得在上单调递减，
所以当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减.
因为，
所以在上单调递减，不符合题意.
综上，实数的取值范围为.第个月
1
2
3
4
5
月销售量
2.5
3.2
4
4.8
5.5
平均海拔
第一级阶梯
第二级阶梯
第三级阶梯
1
2
3
4