新高考数学一轮复习讲义5.1《平面向量的概念及线性运算》(2份打包，解析版+原卷版)

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1．向量的有关概念
2.向量的线性运算
3.平行向量基本定理
如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在 实数λ，使a＝λb.
概念方法微思考
1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？
2．如何理解数乘向量？
3．如何理解平行向量基本定理？
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( )
(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( )
(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
(4)若向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( )
(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( )
(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )
题组二 教材改编
2．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则eq \(DC,\s\up6(→))＝________，eq \(BC,\s\up6(→))＝________.(用a，b表示)
3．在平行四边形ABCD中，若|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|，则四边形ABCD的形状为________．
题组三 易错自纠
4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.
6．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq \f(1,2)AB，BE＝eq \f(2,3)BC.若eq \(DE,\s\up6(→))＝λ1eq \(AB,\s\up6(→))＋λ2eq \(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
题型一 平面向量的概念
1．给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；
③若A，B，C，D是不共线的四点，且eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，则ABCD为平行四边形；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中真命题的序号是________．
2．给出下列四个命题：
①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|，其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二 平面向量的线性运算
命题点1 向量加、减法的几何意义
例1 (2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
命题点2 向量的线性运算
例2 (1)(2019·包头模拟)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(BF,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b B．－eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b
C．－eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b D.eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b
(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
命题点3 根据向量线性运算求参数
例3 在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq \r(3)，BC＝2，点E在线段CD上，若eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋μeq \(AB,\s\up6(→))，则μ的取值范围是________．
跟踪训练1 (1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))＝3eq \(EA,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(DE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(5,12)b B.eq \f(1,3)a－eq \f(13,12)b
C．－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b D．－eq \f(1,3)a＋eq \f(13,12)b
(2)(2018·营口模拟)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝xeq \(AE,\s\up6(→))＋yeq \(AF,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x－y＝________.
题型三 平行向量基本定理的应用
例4 设两个非零向量a与b不共线．
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，
求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
引申探究
1．若将本例(1)中“eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b”改为“eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？
2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？
跟踪训练2 已知O，A，B是不共线的三点，且eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.

1．对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq \(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq \(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，则( )
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
3.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上的一个靠近点B的三等分点，那么eq \(EF,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))
B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))
D.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
4．(2018·锦州模拟)在△ABC中，点G满足eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0.若存在点O，使得eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))，且eq \(OA,\s\up6(→))＝meq \(OB,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))，则m－n等于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
5.如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A．a－eq \f(1,2)b B.eq \f(1,2)a－b
C．a＋eq \f(1,2)b D.eq \f(1,2)a＋b
6.如图，在△ABC中，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,11)eq \(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为( )
A.eq \f(9,11) B.eq \f(5,11)
C.eq \f(3,11) D.eq \f(2,11)
7．若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝________.
8．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的形状为________．
9．若M是△ABC的边BC上的一点，且eq \(CM,\s\up6(→))＝3eq \(MB,\s\up6(→))，设eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ的值为________．
10．(2019·包头质检)已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，eq \(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq \(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________.
11．如图所示，设O是△ABC内部一点，且eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝－2eq \(OB,\s\up6(→))，求△ABC与△AOC的面积之比．
12.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示向量eq \(AO,\s\up6(→)).
13．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq \(DE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )
A.eq \f(5,8) B.eq \f(1,4) C．1 D.eq \f(5,16)
14．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(1，eq \r(2)] D．(－1,0)
15．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(OB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(OC,\s\up6(→))))，则点P一定为△ABC的( )
A．BC边中线的中点
B．BC边中线的三等分点(非重心)
C．重心
D．BC边的中点
16．设W是由一平面内的n(n≥3)个向量组成的集合．若a∈W，且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模．则称a是W的极大向量．有下列命题：
①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；
②给定平面内两个不共线向量a，b，在该平面内总存在唯一的平面向量c＝－a－b，使得W＝{a，b，c}中的每个元素都是极大向量；
③若W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．
其中真命题的序号是________．
最新考纲
考情考向分析
1.了解向量的实际背景．
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．
3.理解向量的几何表示．
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现.
名称
定义
备注
向量
具有 和 的量；向量的大小叫做向量的 (或称 )
平面向量是自由向量
零向量
长度为 的向量；其方向
记作0
单位向量
长度等于 的向量
非零向量a的单位向量为±eq \f(a,|a|)
平行向量(共线向量)
共线向量的方向 或
0与任一向量 或共线
相等向量
且 的有向线段
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度 且方向 的向量
0的相反向量为0
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
向量的加法
求两个向量和的运算
法则
法则
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
向量的减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
法则
a－b＝a＋(－b)
数乘向量
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝0
(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(2)λ(μa)＝(λμ)a；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb