新高考数学一轮复习讲义4.7《解三角形的综合应用》(2份打包，解析版+原卷版)

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§4.7　解三角形的实际应用
最新考纲
考情考向分析
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性．题型主要为选择题和填空题，中档难度.



实际测量中的常见问题
求AB
图形
需要测量的元素
解法
求竖直高度
底部可达

∠ACB＝α，
BC＝a
解直角三角形AB＝atan α
底部
不可达

∠ACB＝α，
∠ADB＝β，
CD＝a
解两个直角三角形AB＝
求水平距离
山两侧

∠ACB＝α，
AC＝b，
BC＝a
用余弦定理AB＝
河两岸

∠ACB＝α，
∠ABC＝β，
CB＝a
用正弦定理AB＝
河对岸

∠ADC＝α，
∠BDC＝β，
∠BCD＝δ，
∠ACD＝γ，
CD＝a
在△ADC中，AC＝；在△BDC中，BC＝；
在△ABC中，应用余弦定理求AB

概念方法微思考
在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？
提示　实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解决问题．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　×　)
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　×　)
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　√　)
(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.(　√　)
题组二　教材改编
2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.

答案　50
解析　由正弦定理得＝，
又B＝30°，
∴AB＝＝＝50(m)．
3.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝______米．

答案　a
解析　由题图可得∠PAQ＝α＝30°，
∠BAQ＝β＝15°，在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，
又∠PBC＝γ＝60°，
∴∠BPA＝－＝γ－α＝30°，
∴在△PAB中，＝，∴PB＝a，
∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β
＝a×sin 60°＋asin 15°＝a.
题组三　易错自纠
4．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为(　　)

A．10 m B．20 m
C．20 m D．40 m
答案　D
解析　设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40 m.
5．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.
答案　130°
解析　60°＋70°＝130°.
6．海上有A，B，C三个小岛，A，B相距5 海里，从A岛望C和B成45°视角，从B岛望C和A成75°视角，则B，C两岛间的距离是________海里．
答案　5
解析　由题意可知∠ACB＝60°，由正弦定理得＝，即＝，得BC＝5.



题型一　测量距离问题
1．(2018·营口检测)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m.
答案　10
解析　如图，

OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30
＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得
MN＝
＝＝10 (m)．
2.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，
∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.

答案　
解析　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，
∴AC＝DC＝ km.
在△BCD中，∠DBC＝45°，
由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝(km)．
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝＋－2×××＝.
∴AB＝ km.∴A，B两点间的距离为 km.
3．如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.

答案　900
解析　由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，
∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.
又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，
∴PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，
∴P，Q两点间的距离为900 m.
思维升华 求距离问题的两个策略
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
题型二　测量高度问题
例1 (2018·赤峰测试)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°，若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为________ m/s.(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236)

答案　22.6
解析　因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v，在Rt△ADB中，AB＝＝＝200.在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos 135°，所以v＝≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.
思维升华 (1)高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
跟踪训练1 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD＝____________.

答案　
解析　由已知得∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝，
∴AC＝＝.
在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝.
故山高CD为.
题型三　角度问题
例2 如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°(∠BAC＝15°)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B处，测得山顶P位于北偏东60°的方向，此时测得山顶P的仰角为60°，已知山高为2 千米．

(1)船的航行速度是每小时多少千米？
(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处南偏东多少度的方向？
解　(1)在△BCP中，由tan∠PBC＝，
得BC＝＝2，
在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，
所以AB＝2(＋1)，
故船的航行速度是每小时6(＋1)千米．
(2)在△BCD中，BD＝＋1，BC＝2，∠CBD＝60°，
则由余弦定理得CD＝，
在△BCD中，由正弦定理得＝，
即＝，
所以sin∠CDB＝，
所以，山顶位于D处南偏东45°的方向．
思维升华 解决测量角度问题的注意事项
(1)首先应明确方位角和方向角的含义．
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．
跟踪训练2 (2018·襄阳模拟)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)

A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
答案　D
解析　由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，
所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.


1．(2018·沈阳调研)已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　)
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
答案　D
解析　如图所示，由余弦定理可得AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝10.

2.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于(　　)

A. B. C.－1 D.－1
答案　C
解析　在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴AC＝100.
在△ADC中，＝，
∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝－1.
3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)
A．10 海里 B．10 海里
C．20 海里 D．20 海里
答案　A
解析　如图所示，易知，

在△ABC中，AB＝20，
∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根据正弦定理得
＝，
解得BC＝10.
4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)

A．30° B．45° C．60° D．75°
答案　B
解析　依题意可得AD＝20，AC＝30，
又CD＝50，所以在△ACD中，
由余弦定理得cos∠CAD＝
＝＝＝，
又0°