专题23二面角、面面角大题专练C卷 高三二轮数学重难点复习

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专题23二面角、面面角大题专练C卷  如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，与平面所成角为，为上一点且．
证明：；
设平面与平面的交线为，在上取点使，为线段上一动点，求平面与平面所成二面角的余弦值的最大值． 
                 2.  在如图所示的几何体中，，分别为，的中点，为棱上一点，几何体与几何体都是棱长均为的三棱柱，．求证：平面平面求平面与平面夹角的正弦值．                     3. 如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点，将沿折起到的位置，如图．

Ⅰ证明：平面；
Ⅱ若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．                    4.  如图，在四棱锥中，平面，，，．
求证：平面平面；
若为棱上一点不与，重合，二面角的余弦值为，求的值．
                 5.   如图所示，在三棱锥中，已知平面平面，且，．证明：平面；若点为棱的中点，，且，求平面与平面夹角的余弦值．                   6.  如图，在三棱柱中，平面，，是等边三角形，，，分别是棱，，的中点．证明：平面．求平面与平面夹角的余弦值．                    7. 已知三棱锥如图一的平面展开图如图二中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：证明：平面平面；若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值．                  8.  如图，圆锥的高为，是底面圆的直径，，为圆锥的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点在母线上，且
 (Ⅰ)证明：平面平面(Ⅱ)求平面与平面的夹角的余弦值．
答案和解析 1.【答案】解：证明：四边形为矩形，，
平面，，
，，平面，
平面，
平面，，
，，，平面，
平面，
平面，．
平面，为与平面所成角，
与平面所成角为，，
，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
令，则，，，，
，，
设是平面的一个法向量，
则，取，得，
平面的一个法向量为，
，
，当时，的最大值，
平面与平面所成二面角的余弦值的最大值为． 
 2.【答案】解：证明：连接，，由题意知，，故D，，，共面，因为三棱柱与三棱柱的所有棱长均为，所以四边形是菱形，所以，因为，所以，因为点，分别为，的中点，所以，所以．由题意得与都是边长为的正三角形，因为为的中点，所以，，且，因为，所以，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以．又，且，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．由知直线，，两两垂直，以为坐标原点，以直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，由知平面，故平面的一个法向量为设平面的法向量为，则得令，得，，所以．设平面与平面的夹角为，则，所以，所以平面与平面夹角的正弦值为
 
 3.【答案】解：Ⅰ证明：在图中，，，
是的中点，，，即在图中，，，
，，则四边形是平行四边形，则，
又，、平面，则平面；
，
平面；
Ⅱ若平面平面，
由Ⅰ知，，
为二面角的平面角，，
以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，

，，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，得，令，则，，即，
由，得，令，则，故，
则，
平面与平面夹角的余弦值为． 
 4.【答案】证明：取的中点，连结，
因为，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，则，所以，
因为平面，平面，
所以，
又，平面，，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
解：由可知，，，两两互相垂直，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
设，，
因为，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，
故，
设平面的一个法向量为，
则，即
令，则，
故，
令，则，
因为二面角的余弦值为，
所以，
化简可得，解得或舍，
所以，解得，
故的值为． 

 5.【答案】解：由条件可得，所以．因为平面平面，平面平面，所以平面，所以．又，，所以平面．因为平面，所以所以．以为坐标原点，直线，分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则设平面的法向量为，则取，则，，设平面的一个法向量为，则，取，设平面与平而的夹角为，．则故平面与平而的夹角的余弦为． 
 6.【答案】解：证明：连接．因为，分别是棱，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为，分别是棱，的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，则F.因为平面，平面，所以平面．因为，平面，且，所以平面平面．因为平面，所以平面．解：取的中点，连接，，易证，，两两垂直，则以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，从而，，，．设平面的法向量为，则令，得．设平面的法向量为，则令，得．设平面与平面的夹角为，则． 
 7.【答案】解：如下图所示：设的中点为，连接，，由题意得，，；在中，，的中点为，
．又在中，，，，，；又平面，平面；平面，又平面，平面平面．由可知，，，，平面，平面，即为直线与平面所成的角，且，所以，当最短时，即为的中点时，最大；由图可知，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，；设平面的法向量为，则令，得，即；易知，平面的法向量为，设二面角的平面角为，则所以，二面角的余弦值为． 
 8.【答案】Ⅰ证明：连接，
由题意知，且，所以四边形为菱形，故BD，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，故BD平面，
又平面，故平面平面；
解：以为原点，的中垂线为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
因为，所以，令，则，
因为轴垂直于平面，所以为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．