55.立体几何（二面角4） 2022届高三数学一轮复习大题练

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一轮复习大题专练55—立体几何（二面角4）1．如图，已知斜三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是正方形，，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于．（1）证明：，且平面平面；（2）设为的中点，若平面，且，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．（1）证明：因为，，所以，平面分别与两个平行平面，相交于，，所以，又因为，，所以，因为，，所以，而，所以，又，是平面内两条相交直线，故平面，故平面平面；（2）解：连接，因为平面，故，故，又，故是二面角的平面角，设，则，，，由余弦定理可得，，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．2．如图，在圆锥中，的内接三角形为等边三角形，，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆．（1）证明：；（2）点是底面上的一个动点，，求二面角余弦值的最小值．1）证明：连接，可得平面，平面，，的内接三角形为等边三角形，，，平面，而平面，；（2）解：由（1）知，、、两两相互垂直，以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，由圆锥的侧面展开图恰好为半圆，得，，在中，由勾股定理可得，于是，0，，，，，，，，，0，，由在底面圆上，设，，，于是，，，由，得，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，由，取，得，设二面角的大小为，则．记，，则．当且仅当，即位于劣弧中点时，等号成立．因此，二面角余弦值的最小值为．3．如图（1）在直角梯形中，，，，，，沿将折起得到四棱锥，如图（2）所示．（1）证明：平面平面；（2）若二面角的大小为，，分别是，的中点．（ⅰ）求与平面所成角的正弦值；（ⅱ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：（1）证明：在直角梯形中，，且平面，平面，，平面，平面，平面平面．（2）如图，，，，，，，由（1）知，平面，平面，且，平面，平面平面，作，垂足为，作，垂足为又平面平面，平面，平面，则为在平面内的射影，为和平面所成角，在中，，在中，，， 和平面所成角的正弦值为．延长交的延长线于，连接，是的中点，，，连接并延长，交于，过点作，此时由，可知，是的中点，，，此时，由，平面，平面，平面．4．如图，在多面体中，平面，平面，且，，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．解：（1）证明：因为平面，，平面，所以，，因为，，所以，因为平面，平面，所以，因为，，所以，因为，所以，所以，因为，所以平面．（2）取的中点，连接，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，不妨以点为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立如图所示直角坐标系：，，，，，，，1，，，1，，，0，，设平面的法向量为，，，，1，，，2，，由，取，可得，1，，平面的一个法向量为，0，，，，所以平面与平面所成的二面角的大小为．5．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC，四边形BCC1B1为菱形，BC＝2，∠BCC1＝，D为B1C1的中点．（1）证明：B1C1⊥平面A1DB；（2）若AC1＝2，求二面角C1﹣A1B1﹣C的余弦值．解：（1）证明：由AB＝AC，则有A1B1＝A1C1，∵D为B1C1的中点，∴A1D⊥B1C1，由BC＝2，则有B1D＝1，BB1＝2，∵，∴BD＝＝，∴BD2+B1D2＝BB12，∴BD⊥B1C1，∵A1D∩BD＝D，∴B1C1⊥平面A1DB；（2）取BC中点为E，连接AE，C1E，由AB⊥AC，得AE＝BC＝1，由题意得C1E＝BD＝，∴，∴AE⊥C1E，又可知AE⊥BC，AE∩C1E＝E，则AE⊥平面BB1C1C，如图，以E为坐标原点，C1E，BE，AE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，﹣1，0），B1（，2，0），A1（，1，1），B（0，1，0），D（，1，0），由A1D∥AE，得A1D⊥平面BB1C1C，∴BD⊥B1C1，∵BD⊥B1C1，A1D∩B1C1＝D，∴BD⊥平面A1B1C1，∴平面A1B1C1的法向量＝（，0，0），设平面A1B1C的法向量＝（x，y，z），则，取x＝﹣3，得＝（﹣3，），设二面角C1﹣A1B1﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角C1﹣A1B1﹣C的余弦值为． 6．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①；②；③点在平面的射影在直线上．如图，平面五边形中，是边长为2的等边三角形，，，，将沿翻折成四棱锥，是棱上的动点（端点除外），、分别是、的中点，且____．（1）求证：；（2）当与平面所成角最大时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．（1）证明：取，的中点分别为，，连接，，．选择①：因为，，所以，即．（1分）又，，所以平面．（2分）因为，分别为，的中点，所以，且平面，平面，所以平面．（3分）同理可得：平面．因为，所以平面平面，（4分）所以平面．（5分）又平面，所以．（6分）选择②：连接，则，，因为，所以．（1分）又，，所以平面．（2分）因为，分别为，的中点，所以，且平面，平面，所以平面．（3分）同理可得：平面．因为，所以平面平面，（4分）所以平面．（5分）又平面，所以．（6分）选择③：因为点在平面的射影在直线上，所以平面平面．（1分）因为平面平面，平面，，所以平面，所以．（2分）又，，所以平面．（3分）因为，分别为，的中点，所以，且平面，平面，所以平面．（4分）同理可得：平面．因为，所以平面平面，（5分）所以平面．又平面，所以．（6分）（2）解：连接，，由（1）可知：平面，所以即为与平面所成的角．因为，所以当最小时，最大，所以当，即为中点，最小．（7分）以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则．所以，．（8分）设平面的法向量为，，，则，令，得．（9分）由题意可知：平面的法向量为，0，，（10分）所以，（11分）所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．（12分）