54.立体几何（二面角3） 2022届高三数学一轮复习大题练

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（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
证明：（1）连接．
点和点分别是边、上的中点，，
等边中，点是边的中点，，，
等边中，点是边的中点，，
又平面，
平面平面且平面平面，
平面，，
，平面；
（2）连接的中点，由题意得，以为坐标原点，
分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，所以，．
设平面的法向量为，
由，取，得；
因为平面的法向量为，
设平面与平面所成锐二面角为，．
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
2．在四棱锥中，平面，，，，，点，在线段上，满足，．
（1）求证：；
（2）若为线段上的一点，且平面，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
1）证明：平面，平面，，
，，，，，，
四边形为矩形．
，，，，
，，平面，平面，
平面，．
（第一问直接用向量法，也相应给分）
（2）连接交于点，连接．
，，
平面，平面，平面平面，
，，
如图建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，0，，，，，，，，2，，
由（1）知平面，则为平面的一个法向量．
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，
设平面与平面所成锐二面角为，，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
3．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的几何体称为圆台，也可称为“截头圆锥”．在如图的圆台中，上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2．
（Ⅰ）结合圆台的定义，写出截面的作图过程；
（Ⅱ）圆台截面与截面是两个全等的梯形，若，求二面角的平面角的余弦值．
解：（Ⅰ）延长圆台的轴与母线交于点，在底面圆上任取一点，连接，交圆于点，
连接，，在圆内，以点为圆心画弧，交圆于点，
连接，，交圆于点，连接，，则四边形即为截面；
（Ⅱ）取的中点，连接，在等边三角形与等边三角形中，，
在圆台中，，，
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
，，，，
则点，1，，，2，，，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
由，取，得；
设平面的法向量为，
由，取，得．
，
由图可知，二面角为钝角，
二面角的平面角的余弦值为．
4．如图，，分别是圆台上、下底面的圆心，是下底面圆的直径，，点是下底面内以为直径的圆上的一个动点（点不在上）．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值．
（Ⅰ）证明：由题意可得平面，，
为直径，，
，
平面，
又平面，平面平面；
（Ⅱ）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
，，，
可得，，，，2，，，0，，，，，
，，，．
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
由，取，得；
由，取，得．
．
由图可知二面角为钝角，
二面角的余弦值为．
5．图（1）是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将其沿，折起使得，重合，连接，如图（2）．
（Ⅰ）证明图（2）中，，，四点共面；
（Ⅱ）求图（2）中二面角的大小．
（Ⅰ）证明：由已知可得，，即有，
则，确定一个平面，从而，，，四点共面；
（Ⅱ）解：由四边形为矩形，可得，
由为直角三角形，可得，
又，可得平面，
平面，可得平面平面．
四边形为菱形，且，，
取中点，连接，则，
而平面平面，且平面平面，
平面，
以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴，以过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系．
则，0，，，1，，，1，，，0，，
，，，
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
由，取，得；
由，取，得．
，
由图可知二面角为锐角，
二面角的大小为．
6．在三棱锥中，是的重心，是面内一点，且平面．
（1）画出点的轨迹，并说明理由；
（2）平面，，，，当最短时，求二面角的余弦值．
解；（1）分别取，三等分点，，其中，，
连接，，，则为点的轨迹．
①，，，
平面，平面，平面，
是的重心，，
平面，平面，平面，
，平面平面，
当在上时，平面．
②如图，假设不在上，任取上一点，连接，
平面，平面，，
平面平面，则平面，
平面平面，平面，，
得，与矛盾，故假设不成立．
综上所述，为点的轨迹；
（2）由余弦定理得，
解得，
，即，
，，
平面，，
，平面，，平面，
平面，，当点与重合时，最短．
如图，在平面内，作，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立直角坐标系，
则，，0，，，0，，，
，，，，
设为平面的一个法向量，
则，令，得，
设为平面的一个法向量，
则，令，符，
，
二面角的余弦值为．