(新高考)高考数学一轮基础复习讲义6.2等差数列(2份打包，教师版+原卷版)

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第1课时

进门测



1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　×　)
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　√　)
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　×　)
(4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.(　√　)
2、在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．6
答案　B
解析　由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，故选B.
3、已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于(　　)
A．100 B．99 C．98 D．97
答案　C
解析　由等差数列性质，知S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝＝1，
∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.
4、已知数列{an}中，a3＝3，an＋1＝an＋2，则a2＋a4＝________，an＝________.
答案　6　2n－3
解析　由已知得an＋1－an＝2，所以{an}为公差为2的等差数列，由a1＋2d＝3，得a1＝－1，
所以an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3，a2＋a4＝2a3＝6.
5、若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
答案　8
解析　因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故当n＝8时，其前n项和最大.

作业检查


无第2课时


阶段训练


题型一　等差数列基本量的运算
例1　(1)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为(　　)
A．2 B．10 C. D.
(2)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.
答案　(1)C　(2)6
解析　(1)由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an＝，
所以数列{an}是首项为－2，公差为的等差数列，
所以S10＝10×(－2)＋×＝.
(2)∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.
又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.
∴S6＝6×6＋×(－2)＝6.
【同步练习】
(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　)
A．13 B．35
C．49 D．63
(2)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．
答案　(1)C　(2)20
解析　(1)∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，
∴S7＝＝49.

(2)设等差数列{an}的公差为d，由题意可得
解得
则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.
题型二　等差数列的判定与证明
例2　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
(1)证明　因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，
bn＝(n∈N*)，
所以bn＋1－bn＝－
＝－＝－＝1.
又b1＝＝－.
所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．
(2)解　由(1)知bn＝n－，
则an＝1＋＝1＋.
设f(x)＝1＋，
则f(x)在区间(－∞，)和(，＋∞)上为减函数．
所以当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.
引申探究
例2中，若条件变为a1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式．
解　由已知可得＝＋1，
即－＝1，又a1＝，
∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，
∴＝＋(n－1)·1＝n－，
∴an＝n2－n.
【同步练习】
(1)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项为(　　)
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
答案　A
解析　由已知式＝＋可得
－＝－，知{}是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.
(2)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.
①设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；
②求{an}的通项公式．
①证明　由an＋2＝2an＋1－an＋2，
得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，
即bn＋1＝bn＋2.
又b1＝a2－a1＝1，
所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
②解　由①得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，
即an＋1－an＝2n－1.
于是 (ak＋1－ak)＝ (2k－1)，
所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.
又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.


第3课时


阶段重难点梳理




1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
5．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．

【知识拓展】
等差数列的四种判断方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列．
(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．
(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．
重点题型训练



题型三　等差数列性质的应用
命题点1　等差数列项的性质
例3　(1)已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝8π，则{an}前9项的和S9＝______，cos(a3＋a7)的值为________．
(2)已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________.
答案　(1)24π　－　(2)21
解析　(1)由a1＋a5＋a9＝3a5＝8π，解得a5＝，所以{an}前9项的和S9＝＝9a5＝9×＝24π.
cos(a3＋a7)＝cos 2a5＝cos ＝cos ＝－.
(2)因为{an}，{bn}都是等差数列，所以2a3＝a1＋a5，2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21.
命题点2　等差数列前n项和的性质
例4　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝________.
(2)在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 018的值等于(　　)
A．－2 018 B．－2 016
C．－2 019 D．－2 017
答案　(1)114　(2)A
解析　(1)因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3.
又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，
即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114.
(2)由题意知，数列{}为等差数列，其公差为1，
∴＝＋(2 018－1)×1
＝－2 018＋2 017＝－1.
∴S2 018＝－2 018.
【同步练习】
(1)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于(　　)
A．58 B．88 C．143 D．176
(2)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)S11＝＝
＝＝88.
(2)＝＝＝＝
＝＝.
题型四 等差数列的前n项和及其最值
例5 (1)在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10等于(　　)
A．45 B．60
C．75 D．90
(2)在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝________.
解析　(1)由题意得a3＋a8＝9，
所以S10＝＝＝＝45.
(2)方法一　设数列{an}的首项为a1，公差为d，
则解得
所以S110＝110a1＋d＝－110.
方法二　因为S100－S10＝＝－90，
所以a11＋a100＝－2，
所以S110＝＝＝－110.
答案　(1)A　(2)－110
例6 在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
规范解答
解　∵a1＝20，S10＝S15，
∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.
方法一　由an＝20＋(n－1)×＝－n＋，
得a13＝0.
即当n≤12时，an＞0，当n≥14时，an＜0.
∴当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值，
且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.
方法二　Sn＝20n＋·＝－n2＋n＝－2＋.
∵n∈N*，∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
方法三　由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.
∴5a13＝0，即a13＝0.
∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
思导总结


一、等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
二、等差数列的四个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．
(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
三、等差数列的性质
(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．
(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S2n－1＝(2n－1)an.作业布置



1．在数列{an}中，an＋1－an＝2，a2＝5，则{an}的前4项和为(　　)
A．9 B．22
C．24 D．32
答案　C
解析　由an＋1－an＝2，知{an}为等差数列且公差d＝2，∴由a2＝5，得a1＝3，a3＝7，a4＝9，∴前4项和为3＋5＋7＋9＝24，故选C.
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于(　　)
A．40 B．42
C．43 D．45
答案　B
解析　a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，
又a1＝2，∴d＝3，a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)
＝3×14＝42.
3．已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则n的值为(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
答案　C
解析　由Sn－Sn－3＝51，得an－2＋an－1＋an＝51，
所以an－1＝17，又a2＝3，
Sn＝＝100，解得n＝10.
4．各项均不为零的等差数列{an}中，若an＋1＝a－an－1(n∈N*，n≥2)，则S2 016等于(　　)
A．0 B．2 C．2 015 D．4 032
答案　D
解析　由已知可得a＝2an(n≥2)，
∵{an}各项均不为零，
∴an＝2(n≥2)，
又{an}为等差数列，∴an＝2，∴S2 016＝4 032.
5．已知数列{an}满足an＋1＝an－，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为(　　)
A．7 B．8
C．7或8 D．8或9
答案　C
解析　由题意可知数列{an}是首项为5，公差为－的等差数列，所以an＝5－(n－1)＝，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以Sn取得最大值时，n＝7或n＝8，故选C.
*6.设数列{an}的前n项和为Sn，若为常数，则称数列{an}为“吉祥数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“吉祥数列”，则数列{bn}的通项公式为(　　)
A．bn＝n－1 B．bn＝2n－1
C．bn＝n＋1 D．bn＝2n＋1
答案　B
解析　设等差数列{bn}的公差为d(d≠0)，
＝k，因为b1＝1，
则n＋n(n－1)d＝k[2n＋×2n(2n－1)d]，
即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，
整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.
因为对任意的正整数n上式均成立，
所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，
又公差d≠0，解得d＝2，k＝.
所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
7．已知数列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，则a10＝________.
答案　
解析　由已知得＝＋(10－1)×＝1＋3＝4，
故a10＝.
8．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
答案　130
解析　由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5，∴当n≤5时，an≤0，当n＞5时，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
9．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．
答案　
解析　∵{an}，{bn}为等差数列，
∴＋＝＋＝＝.
∵＝＝＝＝，
∴＋＝.
10．设数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是________．
答案　
解析　由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，得
nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan，
又因为1×a1＝1,2×a2－1×a1＝5，
所以数列{nan}是首项为1，公差为5的等差数列，
则20a20＝1＋19×5，解得a20＝.
11．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
则an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.
从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n，
所以Sn＝＝2n－n2.
由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，
即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.
又k∈N*，故k＝7.
12．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明　当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，
又＝＝2，
故是首项为2，公差为2的等差数列．
(2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.
当n＝1时，a1＝不适合上式．
故an＝
*13.已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4(n∈N*)．
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明　当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，
即a－2a1－3＝0，
解得a1＝3(a1＝－1舍去)．
当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，
又2Sn＝a＋n－4，
两式相减得2an＝a－a＋1，
即a－2an＋1＝a，也即(an－1)2＝a，
因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.
若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1.
而a1＝3，
所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾，
所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，
因此数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列．
(2)解　由(1)知a1＝3，d＝1，
所以数列{an}的通项公式an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，
即an＝n＋2.