(新高考)高考数学一轮基础复习讲义2.8函数与方程(2份打包，教师版+原卷版)

1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)

(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　)

(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)

2、函数f(x)＝－()x的零点个数为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

3、函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是(　　)

A．(，1)      B．(1,2)     C．(2，e)   D．(e,3)

4．函数f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零点个数为________．

5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．

无

题型一　函数零点的确定

命题点1　确定函数零点所在区间

例1　(1)已知函数f(x)＝ln x－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是(　　)

A．(0,1)       B．(1,2)       C．(2,3)      D．(3,4)

(2)设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________．

命题点2　函数零点个数的判断

例2　(1)函数f(x)＝的零点个数是________．

(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是(　　)

A．多于4   B．4

C．3   D．2

【同步练习】

(1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)

A．(0,1)      B．(1,2)     C．(2,4)     D．(4，＋∞)

(2)函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为(　　)

A．4      B．5      C．6   D．7

题型二　函数零点的应用

例3　(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是(　　)

A．(1,3)   B．(1,2)

C．(0,3)   D．(0,2)

(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________________．

引申探究

本例(2)中，若f(x)＝a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是________________．

【同步练习】

(1)已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为________．

(2)已知函数f(x)是定义在区间[－2,2]上的偶函数，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－2x＋1，若在区间[－2,2]内，函数g(x)＝f(x)－kx－2k有三个零点，则实数k的取值范围是(　　)

A．(0，)       B．(0，)      C．(，)   D．(，＋∞)

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

(2)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系

【知识拓展】

1．有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

2．三个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

题型三　二次函数的零点问题

例4　已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．

【同步练习】若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是__________．

题型五 利用转化思想求解函数零点问题

典例　(1)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．

(2)                                                                                                            若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为________．

一、零点问题

(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．

(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．

二、已知函数零点情况求参数的步骤及方法

(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．

(2)方法：常利用数形结合法．

1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)

A．(0,1)   B．(1,2)

C．(2,3)   D．(3,4)

2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)

A.   B．－2

C．0或   D．0

3．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则(　　)

A．a<b<c   B．a<c<b

C．b<a<c   D．c<a<b

4．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

5．已知函数f(x)＝则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是(　　)

A．(1,2) 

B．(－∞，－2]

C．(－∞，1)∪(2，＋∞) 

D．(－∞，1]∪[2，＋∞)

6．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝－a(x≠0)有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是________________．

7．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________．

8．已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．

9．已知函数f(x)＝ (a>0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程

|f(x)|＝2－恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是____________．

 *10.若a>1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则＋的最小值为________．

11．设函数f(x)＝(x>0)．

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)当0<a<b且f(a)＝f(b)时，求＋的值；

(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．

12．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．

 *13.已知二次函数f(x)的最小值为－4，关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数．