数学第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.2 菱形课时练习

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专题18.4菱形的判定专项提升训练
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春•宝山区校级月考）对角线（　　）的平行四边形是菱形．
A．互相垂直 B．互相平分 C．相等 D．相交
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判断即可．
【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项正确；
B、对角线互相平分的平行四边形不一定是菱形，故本选项错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，故本选项错误；
D、对角线相交的平行四边形不一定是菱形，故本选项错误．
故选：A．
2．（2022春•江源区期中）下列条件中，能判断四边形是菱形的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形
B．对角线互相垂直且相等的四边形
C．对角线互相平分且垂直的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
【分析】利用菱形的判定进行判断即可．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A错误；
B、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，故选项B错误；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故选项C正确；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故选项D错误；
故选：C．
3．（2022春•衡山县期末）从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是（　　）
A．AC⊥BD B．AD＝CD C．AB＝BC D．AC＝BD
【分析】根据菱形的判断方法即可一一判断．
【解答】解：∵一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴根据A、B、C可以判定四边形是菱形，
故选：D．
4．（2022春•通榆县期末）▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添如一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　　）

A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可解答．
【解答】解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形．
故选：C．
5．（2022春•青龙县期末）如图，以O为圆心，OA长为半径画弧别交OM、ON于A、B两点，再分别以为A、B为圆心，以OA长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接AC、BC，则四边形OACB一定是（　　）

A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【分析】利用菱形的判定方法可以判定四边形ABCD是菱形．
【解答】解：由题意可得：OA＝OB＝AC＝BC，
则四边形ABCD是菱形．
故选：B．
6．（2022•南京模拟）如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（　　）

A．仅甲正确 B．仅乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【分析】首先证明△AOE≌△COF（ASA），可得AE＝CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定判定四边形AECF是平行四边形，再由AC⊥EF，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出AECF是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB＝AF，所以四边形ABEF是菱形．
【解答】解：甲的作法正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；

乙的作法正确；
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠2，∠6＝∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2＝∠3，∠5＝∠6，
∴∠1＝∠3，∠5＝∠7，
∴AB＝AF，AB＝BE，
∴AF＝BE
∵AF∥BE，且AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
故选：C．

7．（2021春•路北区期末）如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
【分析】根据菱形的判定方法：四条边都相等的四边形是菱形进行判定即可．
【解答】解：根据作图方法可得AC＝AD＝BD＝BC，
因此四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
8．（2022•五华区校级模拟）如图，AP是△ABC的角平分线，MN垂直平分AP，且交AP于点D，判断以下结论错误的是（　　）

A．MP∥AC B．AM＝AN
C．PA是∠MPN的平分线 D．四边形AMPN是矩形
【分析】由线段垂直平分线的性质得AM＝PM，AN＝PN，则∠MAP＝∠MPA，∠NAP＝∠NPA，再证∠MAP＝∠MPA＝∠NAP＝∠NPA，则AM∥PN，MP∥AC，得四边形AMPN是平行四边形，然后证平行四边形AMPN是菱形，即可得出结论．
【解答】解：∵MN垂直平分AP，
∴AM＝PM，AN＝PN，
∴∠MAP＝∠MPA，∠NAP＝∠NPA，
∵AP是△ABC的角平分线，
∴∠MAP＝∠NAP，
∴∠MAP＝∠MPA＝∠NAP＝∠NPA，
∴AM∥PN，MP∥AC，
∴四边形AMPN是平行四边形，
又∵AM＝PM，
∴平行四边形AMPN是菱形，
∴AM＝AN，PA是∠MPN的平分线，
故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
9．（2022•大名县三模）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，点G、H在AC上，且AH＝CG，若添加一个条件使四边形EGFH是菱形，则下列可以添加的条件是（　　）

A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AB＝AC D．AB⊥AC
【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，推出四边形ABFE是平行四边形，得到AB∥EF，根据全等三角形的性质得到EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，推出四边形EGFH是平行四边形，连接EF交AC于O，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：可以添加的条件是AB⊥AC，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E、F分别为边AD、BC的中点，
∴AE＝AD，BF＝CF＝BC，
∴AE＝BF＝CF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF，
∵AD∥BC，
∴∠EAG＝∠FCH，
∵AH＝CG，
∴AH﹣HG＝CG﹣HG，
即AG＝CH，
∴△AEG≌△CFH（SAS），
∴EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，
∴∠EGH＝FHG，
∴EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
连接EF交AC于O，
∵AB∥EF，AB⊥AC，
∴EF⊥AC，
∴四边形EGFH是菱形，
故选：D．

10．（2022•上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，平行四边形BCDE的顶点E在边AB上，联结CE、AD．添加一个条件，可以使四边形ADCE成为菱形的是（　　）

A．CE⊥AB B．CD⊥AD C．CD＝CE D．AC＝DE
【分析】设AC于ED交于点O，证明△AOE≌△COD，可得OA＝OC，可以判断四边形ADCE是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题．
【解答】解：添加CD＝CE，可以使四边形ADCE成为菱形，理由如下：
如图，设AC于ED交于点O，

∵四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，BE∥CD，
∴∠AOE＝∠ACB＝90°，
∴AC⊥DE，
∵CD＝CE，
∴OD＝OE，
∵AB∥CD，
∴∠EAO＝∠DCO，
在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴OA＝OC，
∵OD＝OE，
四边形ADCE是平行四边形，
∵CE＝CD，
∴四边形ADCE是菱形．
因为添加其他条件，都不可以使四边形ADCE成为菱形．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022•富拉尔基区三模）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是　AF＝AE　（添加一个条件即可）．

【分析】根据三角形中位线定理可得DF∥AC，DE∥AB，进而可得四边形AFDE为平行四边形，再AF＝AE，可得四边形AFDE为菱形．
【解答】解：添加AF＝AE，
∵点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，
∴DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE为平行四边形，
∵AF＝AE，
∴四边形AFDE为菱形，
故答案为：AF＝AE．
12．（2021秋•陈仓区期中）如图，AD∥BC，AB∥DC，AB＝4，∠ADE＝150°，那么∠A＝　120°　时，四边形ABCD是菱形，且BD＝　4　．

【分析】首先根据菱形的性质及外角的性质求得∠ADB＝∠ABD，从而求得∠A，然后根据特殊角及AB的长即可求得对角线BD的长．
【解答】解：∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ADE＝150°，
∴∠ADB＝30°，
当四边形ABCD是菱形时，AB＝AD，
则∠ADB＝∠ABD＝30°，
此时∠A＝120°，
∵AB＝4，
∴BD＝4，
故答案为：120°，4．
13．（2019春•陵城区期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件判定▱ABCD是菱形，所添条件为　AB＝AD　（写出一个即可）

【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得解．
【解答】解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AB＝AD（AD＝CD，BC＝CD，AB＝BC）
也可添加∠1＝∠2，根据平行四边形的性质，可求AD＝CD．
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AC⊥BD．
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）
14．（2015春•阳谷县期中）如图所示，正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF，则添加一个条件　BE＝BF　，可以判定四边形BEDF是菱形．

【分析】根据正方形的性质可得AD＝AB，∠DAE＝∠BAE＝45°，再证明△ADE≌△ABE可得ED＝EB，同理可得DF＝BF，再加上条件EB＝FB，可得四边形BEDF是菱形．
【解答】解：添加条件BE＝BF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAE＝∠BAE＝45°，
在△ABE和△ADE中，
∴△ADE≌△ABE（SAS），
∴ED＝EB，
同理：DF＝BF，
∵EB＝FB，
∴四边形BEDF是菱形．
故答案为：BE＝BF．
15．（2022春•同安区期中）如图，在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，∠B＝30°，将Rt△ABF沿着BE方向平移到Rt△DEC的位置，此时点E恰为边BF的中点，若AE＝2，则四边形AEFD的面积为 　2　．

【分析】根据平移的性质，AD∥BE，AD＝BE，再利用线段中点可得BE＝EF，从而可得AD＝EF，进而可得四边形AEFD是平行四边形，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得AE＝EF，从而可得四边形AEFD是菱形，进而可得四边形AEFD的面积＝2△AEF的面积，最后利用含30度角的直角三角形的性质可得AF＝BF＝2，AB＝AF＝2，从而求出△ABF的面积，即可解答．
【解答】解：由平移得：
AD∥BE，AD＝BE，
∵点E为边BF的中点，
∴BE＝EF，
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵∠BAF＝90°，
∴AE＝EF＝BF，
∴四边形AEFD是菱形，
∴四边形AEFD的面积＝2△AEF的面积，
∵AE＝2，
∴BF＝2AE＝4，
∵∠B＝30°，
∴AF＝BF＝2，AB＝AF＝2，
∴△ABF的面积＝AB•AF＝×2×2＝2，
∵△ABF的面积＝2△AEF的面积，
∴四边形AEFD的面积＝△ABF的面积＝2；
故答案为：2．
16．（2022•夏津县二模）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是 　①②④　．

【分析】①利用三角形的面积公式计算即可；
②依题意画出图形，利用等边三角形和平行线的性质求出FH即可；
③将△CBD绕点B逆时针旋转60°，得到△ABN，由“SAS”可证△DBE≌△NBE，可得DE＝NE，在Rt△PNE中，利用勾股定理可得AE，CD，DE的关系，可判断③；
④先证△AGE，△DCH都是等边三角形，可得AG＝AE＝CH＝CD，利用菱形的判定定理判定即可．
【解答】解：①过点A作AP⊥BC于点P，如图1：

∵△ABC是边长为1的等边三角形，AP⊥BC，
∴BP＝BC＝，
∴AP＝，
∴．故①正确；
②当点D与点C重合时，H，D，C三点重合，如图2：

∵∠DBE＝30°，∠ABC＝60°，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵AB＝BC，
∴AE＝EC＝AC＝，
∵CF∥AB，
∴∠FCA＝∠A＝60°，
∵GF∥BC，
∴∠FEC＝∠ACB＝60°，
∴∠FCE＝∠FEC＝60°，
∴∠FCE＝∠FEC＝∠F＝60°，
∴△EFC为等边三角形，
∴FC＝EC＝，
即FH＝．故②正确；
③如图3，将△CBD绕点B逆时针旋转60°，得到△ABN，连接NE，过点N作NP⊥AC，交CA的延长线于P，

∴BD＝BN，CD＝AN，∠BAN＝∠C＝60°，∠CBD＝∠ABN，
∵∠DBE＝30°，
∴∠CBD+∠ABE＝30°＝∠ABE+∠ABN＝∠EBN，
∴∠EBN＝∠DBE＝30°，
又∵BD＝BN，BE＝BE，
∴△DBE≌△NBE（SAS），
∴DE＝NE，
∵∠NAP＝180°﹣∠BAC﹣∠NAB＝60°，
∴AP＝AN，NP＝AP＝AN＝CD，
∵NP2+PE2＝NE2，
∴CD2+（AE+CD）2＝DE2，
∴AE2+CD2+AE•CD＝DE2，故③错误；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，
∵GF∥BH，BG∥HF，
∴四边形BHFG是平行四边形，
∵GF∥BH，BG∥HF，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，∠DHC＝∠ABC＝60°，
∴△AGE，△DCH都是等边三角形，
∴AG＝AE，CH＝CD，
∵AE＝CD，
∴AG＝CH，
∴BH＝BG，
∴▱BHFG是菱形，故④正确，
故答案为：①②④．
17．（2022春•夏邑县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝　　时，平行四边形CDEB为菱形．

【分析】根据勾股定理求得AB＝5，再由菱形的性质得OD＝OB，CD＝CB，然后由勾股定理求出OB的长，即可得出答案．
【解答】解：如图，连接CE交AB于点O．

∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5．
若平行四边形CDEB为菱形，
则CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB．
∵S△ACB＝AB•OC＝AC•BC，
∴OC＝．
在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB＝，
∴AD＝AB﹣2OB＝．
故答案为：．
18．（2022•金水区校级模拟）如图，在▱ABCD中，∠D＝30°，对角线AC＝AD＝3，点E，F分别为CD，AB边上的动点，且DE＝BF．现将△ADE关于直线AE对称，点D的对应点记为D′，将△CBF关于直线CF对称，点B的对应点记为B′，当以点A，B'，C，D'为顶点的四边形是菱形时，DE的长度为 　　．

【分析】连接CD'，AB'，先证△ACD'是等边三角形，再证∠ED'C＝90°，再在Rt△CD'E中利用三角函数求出D'E，进而解答即可．
【解答】解：连接CD'，AB'，

∵四边形AB'CD'是菱形，
∴AB'＝CD'＝AD'＝B'C，
根据对称的性质有AD＝AD'，∠D＝∠AD'E＝30°，
∵AC＝AD＝3，
∴AD'＝AC＝CD'，
∴△ACD'是等边三角形，
∴∠ACD'＝∠AD'C＝60°，
∴∠ED'C＝90°，
∵AC＝AD，
∴∠D＝∠ACD＝30°，
∴∠DCD'＝∠ACD'﹣∠ACD＝60°﹣30°＝30°，
在Rt△CD'E中，tan∠DCD'＝，
∴D'E＝D'C×tan∠DCD'＝3×tan30°＝3×，
根据对称的性质有DE＝D'E＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022•南京模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）求证：∠BAC＝∠DAC．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．

【分析】（1）根据SSS证明△ABC≌△ADC，即可解决问题；
（2）先证明AD＝CD，根据已知可得AB＝AD＝CB＝CD，利用四边相等即可解决问题；
【解答】证明：（1）∵在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
（2）∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
20．（2018秋•宁德期末）利用所给的图形证明：一个顶点到它所对的两边距离相等的平行四边形是菱形．（写出已知、求证并加以证明）
已知：
求证：
证明：

【分析】由平行四边形的性质可得∠A＝∠C，由“AAS”可证△DAE≌△DCF，可得AD＝DC，即可得结论．
【解答】解：已知：在▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝DF，
求证：▱ABCD是菱形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEA＝∠DFC＝90°，
又∵DE＝DF，
∴△DAE≌△DCF（AAS）
∴DA＝DC，
∴▱ABCD是菱形
21．（2022•武威模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是对角线AC上一点，∠ADC＝∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）分别过点E，B作EF∥AB，BF∥AC，当∠FCE和∠DCE满足怎么样的数量关系时，四边形EFCD是菱形？请说明理由．

【分析】（1）由平行线的在得∠ABC+∠BCD＝180°．再证∠ADC+∠BCD＝180°，则AD∥BC，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）先证四边形ABFE是平行四边形，得AB∥EF，AB＝EF，再证CD∥EF，CD＝EF，则四边形EFCD是平行四边形，然后证EF＝FC，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°．
∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∠FCE＝∠DCE时，四边形EFCD是菱形，理由如下：
∵EF∥AB，BF∥AE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF，AB＝EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴CD∥EF，CD＝EF，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∵CD∥EF，
∴∠FEC＝∠DCE，
又∵∠FCE＝∠DCE，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴EF＝FC，
∴平行四边形EFCD是菱形．
22．（2022春•郯城县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M是BD上任意一点，连接AM并延长至点N，使AM＝MN，交BC于H，连接CN、BN．
（1）求证：OM∥CN．
（2）连接CM，若AD⊥AN，且AC＝AB，求证：四边形BNCM是菱形．

【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，再证OM是△ACN的中位线，即可得出结论；
（2）证△MBH≌△NCH（ASA），得MH＝NH，再证四边形BNCM是平行四边形，然后由菱形的判定定理即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AM＝MN，
∴OM是△ACN的中位线，
∴OM∥CN；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AD⊥AN，
∴BC⊥AN，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH，
由（1）可知，OM∥CN，
∴∠MBH＝∠NCH，
在△MBH和△NCH中，
，
∴△MBH≌△NCH（ASA），
∴MH＝NH，
∴四边形BNCM是平行四边形，
又∵BC⊥MN，
∴平行四边形BNCM是菱形．
23．（2022春•巴东县期末）已知点E是平行四边形ABCD边CD上的一点（不与点C，D重合）．
（1）如图1，当点E运动到CD的中点时，连接AE、BE，若AE平分∠BAD，证明：CE＝CB．
（2）如图2，过点E作EF⊥DC交直线CB于点F，连接AF．若∠ABC＝120°，BC＝2．封AB＝4．在线段CF上是否存在一点H．使得四边形AFHD为菱形？若存在，请求出ED，CH的长；若不存在，请简单地说明理由．

【分析】（1）先根据平行四边形的性质证得∠DEA＝∠BAE，再根据角平分线的性质证得∠DAE＝∠DEA，得出AD＝DE，根据E是CD的中点得出AE＝CE，进而得出CE＝CB，结论得证．
（2）当DH⊥CF且CE＝1+时，四边形AFHD为菱形，先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFHD是平行四边形，再证明AD＝DH证得平行四边形AFHD是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC，
∴∠DEA＝∠BAE，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE，
又∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∴CE＝CB；
（2）解：存在，当DH⊥CF且CE＝1+时，四边形AFHD为菱形，

理由如下：过点D作DH⊥CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝2，∠ABC＝∠ADC＝120°，
∴∠BAD＝∠BCD＝60°，
∵CE＝1+，
∴DE＝CD﹣CE＝4﹣（1﹣）＝3﹣，
在Rt△CHD中，∠CHD＝90°，∠DCH＝60°，
∴∠CDH＝30°，
∴CH＝CD＝2，
∴DH＝，
∴AD＝DH，
在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，∠ECF＝60°，
∴∠CFE＝30°，
∴CF＝2CE＝2（1+）＝2+2，
∴FH＝CF﹣CH＝2+2﹣2＝2
∴AD＝FH，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，点F在CB的延长线上，
∴AD∥FH，
∴四边形AFHD是平行四边形，
又∵AD＝DH，
∴平行四边形AFHD是菱形．
24．（2022秋•鄄城县期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B出发以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O出发以2cm/s的速度向点D运动．
（1）若点E，F同时运动，设运动时间为ts，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形？
（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，平行四边形AECF是菱形？

【分析】（1）若是平行四边形，所以BD＝12cm，则B0＝DO＝6cm，故有6﹣1t＝2t，即可求得t值；
（2）由菱形的性质得AC⊥EF，再由勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：（1）若四边形AECF为平行四边形，
则OA＝OC，OE＝OF，
∵四边形ABCD为平行四边形，BD＝12cm，AC＝6cm，
∴BO＝OD＝6cm，OA＝OC＝3cm，
∴OE＝（6﹣t）cm，OF＝2tcm，
∴6﹣t＝2t，
∴t＝2，
∴当t为2时，四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，
则AC⊥EF，
∴AO2+BO2＝AB2，
∴AB＝＝3（cm），
∴当AB为3cm时，▱AECF是菱形．