【中考二轮专题复习】2023年中考数学全国通用专题备考试卷——专题19 函数解析式问题（原卷版+解析版）

2023年中考数学二轮冲刺精准练新策略（全国通用）

第二篇 必考的重点专题 

专题19 函数解析式问题

1. （2022内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．

将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为

【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．

2.将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（  ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解．

将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为：．

【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

3. （2022四川泸州） 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】过点E作EG⊥AB于点G，利用三角函数求得EG=8，BG6，AG=4，再求得点E的坐标为(4，12)，根据题意，直线l经过矩形OABC的对角线的交点H和菱形ABEF的对角线的交点D，根据中点坐标公式以及待定系数法即可求解．

【详解】过点E作EG⊥AB于点G，

∵矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，

∴AB=BE=10，点D的坐标为(0，4)，点C的坐标为(10，0)，

在Rt△BEG中，tan∠ABE=，BE=10，

∴sin∠ABE=，即，

∴EG=8，BG=6，

∴AG=4，

∴点E的坐标为(4，12)，

根据题意，直线l经过矩形OABC的对角线的交点H和菱形ABEF的对角线的交点D，

点H的坐标为(，)，点D的坐标为(，)，

∴点H的坐标为(5，2)，点D的坐标为(2，8)，

设直线l的解析式为y=kx+b，

把(5，2)，(2，8)代入得，

解得：，

∴直线l的解析式为y=-2x+12，

故选：D．

【点睛】本题考查了解直角三角形，待定系数法求函数的解析式，矩形和菱形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

4. （2022陕西）已知点A(−2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______．

【答案】y=

【解析】根据点A与点A′关于y轴对称，得到A′(2，m)，由点A′在正比例函数的图象上，求得m的值，再利用待定系数法求解即可．

∵点A与点A′关于y轴对称，且A(−2，m)，

∴A′(2，m)，

∵点A′在正比例函数的图象上，

∴m=×2，

解得：m=1，

∴A(−2，1)，

设这个反比例函数的表达式为y=，

∵A(−2，1) 在这个反比例函数的图象上，

∴k=-2×1=-2，

∴这个反比例函数的表达式为y=，

故答案为：y=．

【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．

5. （2022江苏宿迁）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图像经过点(0，2)”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是____．

【答案】（答案不唯一）

【解析】根据题意的要求，结合常见的函数，写出函数解析式即可，最好找有代表性的、特殊的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等．

【详解】根据题意，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；

可设函数为：

又满足乙：“函数图像经过点(0，2)”，

则函数关系式为，

故答案为：（答案不唯一）

【点睛】本题考查学生对函数图象的掌握程度与灵活运用的能力，属于开放性题．

6. （2022广西河池）如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 _____．

【答案】

【解析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．

根据题意得：，

∴，

∵图象位于第二象限内，

∴，

∴该反比例函数解析式为．

【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．

7. （2022浙江湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是______．

【答案】

【解析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设，，结合正方形的性质，全等三角形的判定和性质，得到≌≌，然后表示出点C和点D的坐标，求出，即可求出答案．

过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：

∵，

设，，

∴点A为（，0），点B为（0，）；

∵四边形ABCD是正方形，

∴，，

∴，

∴，

同理可证：，

∵，

∴≌≌，

∴，，

∴，

∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），

∵点C在函数函数图像上，

∴，即；

∴，

∴经过点D的反比例函数解析式为；

故答案为：．

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的性质，三角函数，余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的表示出点C和点D的坐标，从而进行解题．

8. （2022山东滨州）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．

（1）求y关于x的一次函数解析式；

（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．

【答案】（1）   

（2）价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元

【解析】【分析】（1）设，把，和，代入求出k、b的值，从而得出答案；

（2）根据总利润=每件利润×每月销售量列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得答案．

【小问1详解】

解：设，把，和，代入可得

，

解得，

则；

【小问2详解】

解：每月获得利润

．

∵，

∴当时，P有最大值，最大值为3630．

答：当价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元．

【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求法和二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质，然后再利用二次函数求最值．

9. （2022吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图像如图所示．

（1）求密度关于体积的函数解析式；

（2）当时，求该气体的密度．

【答案】（1）    （2）1

【解析】【分析】（1）用待定系数法即可完成；

（2）把V=10值代入（1）所求得的解析式中，即可求得该气体的密度．

【小问1详解】

设密度关于体积的函数解析式为，

把点A的坐标代入上式中得：，

解得：k=10，

∴．

【小问2详解】

当时，（）．

即此时该气体的密度为1．

【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，由图像求得反比例函数解析式是关键．

10.把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为_____．

【答案】y＝2x+3

【解析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．

把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，得到y＝2（x+1）﹣1＝2x+1，

再向上平移2个单位长度，得到y＝2x+3．

11．将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图（3）．则所得图象的解析式为（    ）

A.   B.     C．    D.

【答案】C．

【解析】二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”对所有函数的图象平移均适合．

∵将的图象向右平移1个单位长度后所得函数关系式为，

∴将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象的解析式为．

12．（2021甘肃威武定西平凉）将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（　　）

A．y＝5x﹣2 B．y＝5x+2 C．y＝5（x+2） D．y＝5（x﹣2）

【答案】A

【解析】根据“上加下减”的原则求解即可．

将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得的函数解析式为y＝5x﹣2．

13．（2021呼和浩特）在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（　　）

A．y＝﹣x+4 B．y＝﹣x+4 C．y＝﹣x+4 D．y＝4

【答案】A

【解析】过D点作DH⊥x轴于H，如图，证明△ABO≌△DAH得到AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，则D（7，3），然后利用待定系数法求直线BD的解析式．

解：过D点作DH⊥x轴于H，如图，

∵点A（3，0），B（0，4）．

∴OA＝3，OB＝4，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠ABO+∠DAH＝90°，

∴∠ABO＝∠DAH，

在△ABO和△DAH中，

，

∴△ABO≌△DAH（AAS），

∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，

∴D（7，3），

设直线BD的解析式为y＝kx+b，

把D（7，3），B（0，4）代入得，解得，

∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4．

14．（2021四川眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（　　）

A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5

【答案】A

【解析】由抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标与点C的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线顶点坐标，易得抛物线解析式．

由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）²+1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．

由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．

∴抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标是（﹣2，9）．

∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）²+9＝﹣x²﹣4x+5．

15．(2021贵州贵阳)如图，一次函数y＝kx﹣2k（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m﹣1≠0）的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为B，若S△ABC＝3．

（1）求点A的坐标及m的值；

（2）若AB＝2，求一次函数的表达式．

【答案】见解析。

【解析】（1）令y＝0，则kx﹣2k＝0，所以x＝2，得到A（2，0），设C（a，b），因为BC⊥y轴，所以B（0，b），BC＝﹣a，因为△ABC的面积为3，列出方程得到ab＝﹣6，所以m﹣1＝﹣6，所以m＝﹣5；

（2）因为AB＝2，在直角三角形AOB中，利用勾股定理列出方程，得到b2+4＝8，得到b＝2，从而C（﹣3，2），将C坐标代入到一次函数中即可求解．

解：（1）令y＝0，则kx﹣2k＝0，

∴x＝2，∴A（2，0），

设C（a，b），

∵CB⊥y轴，∴B（0，b），∴BC＝﹣a，

∵S△ABC＝3，

∴，∴ab＝﹣6，∴m﹣1＝ab＝﹣6，∴m＝﹣5，

即A（2，0），m＝﹣5；

（2）在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2，

∵，

∴b2+4＝8，∴b2＝4，∴b＝±2，

∵b＞0，∴b＝2，∴a＝﹣3，∴C（﹣3，2），

将C代入到直线解析式中得k＝，

∴一次函数的表达式为．