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北师大版初中数学八年级下册期末测试卷（困难）（含答案解析）
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这是一份北师大版初中数学八年级下册期末测试卷（困难）（含答案解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北师大版初中数学八年级下册期末测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：全册； 考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM//BC交∠ABC的外角平分线于M，交AB、AC于F、E，下列结论正确的是( )
A. EF=ED
B. FD=BC
C. EC=MF
D. EC=AG
2. 若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是( )
A. 75°或30° B. 75° C. 15° D. 75°或15°
3. 如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，∠C=30∘，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论：①AE平分∠BAC；②▵ABD是等边三角形；③DE垂直平分线段AC；④▵BCD是等腰三角形，其中正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 已知点P(3a−3,1−2a)关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 如果关于x的不等式组5x−2a>07x−3b⩽0的整数解仅有7，8，9，设整数a与整数b的和为M，则M的值的个数为．( )
A. 3个 B. 9个 C. 7个 D. 5个
6. 如图，已知∠AOB=120°，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
7. 如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30得到AB′C′D′，如果AB=1，点C与C′的距离为( )
A. 22 B. 3−2 C. 1 D. 3−1
8. 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个长方形的两边长(x>y)，观察图案及以下关系式：①x−y=n；②xy=m2−n24；③x 2−y 2=mn；④x 2+y 2=m2−n22.其中正确的关系式的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 已知x2+x+1=0，则x2019+x2018+x2017+⋯+x+1的值是( )
A. 0 B. 1 C. −1 D. 2
10. 若关于x的方程x+ax−3+3a3−x=3的解为正数，关于x的不等式组x−3≥0x−2≤a+2x3有解，则a的取值范围是( )
A. −3≤a<92 B. −3≤a<92且a≠32
C. −3
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=8 cm，AD=12 cm，点P在AD边上以1 cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以4 cm/s的速度从点C出发，在CB上运动到点B后返回点C，其中一点到达终点时，两点同时停止运动.在运动过程中，当以P，D，Q，B四点为顶点的四边形为平行四边形时，点P运动的时间为( )
A. 2 s B. 3 s C. 4 s D. 245 s
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，AB=BE，∠DBC=12∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是： .(填序号)
①BC平分∠DCE；
②∠ABE+∠ECD=180°；
③AC=2BE+CE；
④AC=2CD−CE．
14. 若代数式14−2x的值不大于代数式8−x2的值，则x的最小整数解是 ．
15. 已知a2−6a+1=0且a4−ma2+12a3+ma2+2a=2，则m= ．
16. 如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B=200°，作∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1称为第1次操作，作∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2称为第2次操作，作∠O2DC、∠O2CD的平分线交于点O3称为第3次操作，…，则第5次操作后∠CO5D的度数是_____．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．(答案：35°)
例2：等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．
(1)请你解答以上的变式题．
(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
18. (本小题8.0分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=43x+8分别与x轴、y轴相交于点A、B，OC是∠AOB的角平分线，交直线AB于点C．
(1)求点C的坐标;
(2)如图2，AH是∠BAO的角平分线，过点B作AH的垂线交AH于点D，交x轴于点E求直线BD的解析式;
(3)在x轴上寻找点F使得△ABF为等腰三角形，请直接写出点F的坐标．
19. (本小题8.0分)
为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学计划购买一批足球．已知购买3个A品牌足球和2个B品牌足球共需360元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共220元．
(1)求A，B两种品牌足球的单价．
(2)该学校计划购买A，B两种品牌的足球共75个，且A品牌足球的数量不少于B品牌足球数量的2倍．实际购买时，商家对A品牌足球售价下调m(0
某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人，如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有几人？
21. (本小题8.0分)
【问题发现】
(1)如图 ①，△ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AB边上一点，且BD=2，BE=1，点P在线段AE上运动，以PD为边向右作等边△PDF．
①求证：DE⊥AB
②过点F作FG⊥BC于点G，连接DE.请判断FG的长度是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
【类比探究】
(2)如图 ②，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45∘到EG的位置，当点F从点B运动到点A时，请求出点G运动的路程．
22. (本小题8.0分)
已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+2b2+c2−2b(a+c)=0，你能判断△ABC的形状吗？请说明理由．
23. (本小题8.0分)
将多项式x2−3x+2分解因式x2−3x+2=(x−2)(x−1)，说明多项式x2−3x+2有一个因式x−1，还可知：当x−1=0时x2−3x+2=0.利用上述阅读材料解答以下两个问题：
(1)若多项式x2+kx−8有一个因式为x−2，求k的值；
(2)若x+2，x−1是多项式2x3+ax2+7x+b的两个因式，求a、b的值．
24. (本小题8.0分)
某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲，乙两个工程队共同完成。已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且甲队独立完成面积为400m2区域的绿化比乙队独立完成面积为400m2区域的绿化少用4天．
(1)求甲，乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2?
(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次绿化总费用不超过8万元，至少应该安排甲队工作多少天?
25. (本小题8.0分)
已知，如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，点E是边AD上一点．
(1)若∠CAD=∠EBC，AC=BE，AB=6，求CE的长．
(2)若AE+AB=BC，求证：∠BEC=∠ABE+12∠BAD．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵DM//BC，
∴∠AFE=∠ABC，∠AEF=∠C，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，
∴BF=EC，
∵∠D=∠DBC=∠FBD，
∴DF=BF，同法可证：BF=FM，
∴EC=FM，
故选：C．
想办法证明BF=EC，BF=FM即可解决问题；
该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质，以及解直角三角形的应用，分当等腰三角形是锐角三角形时、当等腰三角形是钝角三角形时进行讨论即可．
【解答】
解：当等腰三角形是锐角三角形时，如图1所示
∵CD⊥AB，
∴ΔADC为直角三角形，
又∵CD=12AC，
∴∠A=30°，
∴∠B=∠ACB=75°；
当等腰三角形是钝角三角形时，如图2示，
∵CD⊥AB，即在直角三角形ACD中，CD=12AC，
∴∠CAD=30°，
∴∠CAB=150°，
∴∠B=∠ACB=15°．
故选D．
3.【答案】D
【解析】解：由作图可得AE平分∠BAC，AB=AD，故①正确；
∵AB=AD，∠BAE=∠DAE=30°，AE=AE，
∴△BAE≌△DAE(SAS)，
∴BE=DE，∠ABE=∠ADE=90°，
∴∠CDE=90°，
∵∠C=30°，
∴CE=2DE=2BE，∠DEC=∠BAC=60°，
∴∠AEB=∠APD=60°，
∴AB=AD，
∴▵ABD是等边三角形；
故②正确；
∵∠ABC=90°，∠C=30°，
∴AC=2AB，∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠DAE=30°=∠C，
∴△AEC是等腰三角形，
∴AE=CE，
∵AB=AD，AC=2AB，
∴AD=CD，
∴点D为AC的中点，
∴DE垂直平分线段AC，故③正确；
∵∠ABC=∠ADE=90°，▵ABD是等边三角形；
∴∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠BDE=30°，
∴∠DBE=∠C=30°，
∴DB=DC，
∴▵BCD是等腰三角形，故④正确．
故选：D．
先由作图可得AE平分∠BAC，AB=AD，证明△BAE≌△DAE可得BE=DE，∠CDE=90°，再利用含30°角的直角三角形的性质可判定①和②；
证明△AEC是等腰三角形，可得AE=CE，结合AD=CD可判定③；
根据等边三角形的性质，等式性质，和等腰三角形的判定可判定④．
本题主要考查角平分线的作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等知识的综合运用，找到作图过程中的隐含条件是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，轴对称中的坐标变化，一元一次不等式组的解法，平面直角坐标系的概念，根据P点关于x轴的对称点在第三象限，可知P点在第二象限，即可得到不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．
【解答】
解：∵点P(3a−3,1−2a)关于x轴的对称点在第三象限，
∴P点在第二象限，即3a−3<01−2a>0，
解得：a<1a<0.5，
∴a的取值范围在数轴上表示为：．
故选B．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能求出a、b的值．先求出不等式组的解集，再得出关于a、b的不等式组，求出a、b的值，即可得出选项．
【解答】
解：5x−2a>0① 7x−3b≤0②
∵解不等式①得：x>2a5，
解不等式②得：x≤3b7，
∴不等式组的解集为2a5
∴6≤2a5<7，9≤3b7<10，
解得：15≤a<17.5，21≤b<2313，
∴a=15或16或17，b=21或22或23，
即(15,21)，(15,22)，(15,23)(16,21)，(16,22)(16,23)，(17,21)，(17,22)，(17,23)共9对，
整数a与整数b的和为M共有：36，37，38，39，40共5个．
故选D．
6.【答案】B
【解析】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
在△POE和△POF中，
∠POE=∠POF∠PEO=∠PFOPO=PO，
∴△POE≌△POF(AAS)，
∴OE=OF，PE=PF，
在△PEM和△PFN中，
∠MPE=∠NPFPE=PF∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN(ASA)，
∴EM=NF，PM=PN，故①正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，
∵OM+ON=OE+ME+(OF−NF)=2OE，是定值，故②正确，
∵∠MPN=180°−∠AOB=60°，PM=PN
∴△PMN是等边三角形，
∴MN=PM
∵PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故③错误，
故选：B．
如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断
本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，正确做出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
连接AC′，AC，CC′，过C作CF⊥AC′于F，根据旋转的性质推出∠CAC′=60°−15°−15°=30°，再根据正方形的性质以及勾股定理即可得出答案．
【解答】
解：如图，连接AC′，AC，CC′，过C作CF⊥AC′于F，
由旋转可得，∠DAD′=30°，∠DAB′=60°，
∴∠DAC′=45°−30°=15°，
同理可得，∠B′AC=15°，
∴∠CAC′=60°−15°−15°=30°，
∵AB=BC=1，∴AC=2=AC′，
∴CF=22，∴AF=62，
∴C′F=2−62，
∴Rt△CC′F中，
CC′=C′F2+CF2=2−622+222=4−23=(3−1)2=3−1，
故选D．
8.【答案】C
【解析】解：①x−y等于小正方形的边长，即x−y=n，正确；
②∵xy为小长方形的面积，
∴xy=m2−n24，
故本项正确；
③x2−y2=(x+y)(x−y)=mn，故本项正确；
④x2+y2=(x+y)2−2xy=m2−2×m2−n24=m2+n22，
故本项错误．
则正确的有3个．
故选C．
根据长方形的长和宽，结合图形进行判断，即可得出选项．
本题考查了整式的混合运算以及因式分解的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了因式分解的应用，利用提取公因式法因式分解，渗透整体代入的思想．
多项式共有2020项，从第一项起每3项一组，每组都含有x2+x+1，最后剩下一项1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：∵x2+x+1=0，
∴原式=x2017(x2+x+1)+x2014(x2+x+1)+⋯⋯+x(x2+x+1)+1=1.
故选B.
10.【答案】B
【解析】解：x+ax−3+3a3−x=3，
方程两边都乘(x−3)得，
x+a−3a=3(x−3)，
去括号得，x−2a=3x−9，
移项、合并同类项得，2x=9−2a，
系数化为1得x=9−2a2，
∵关于x的方程x+ax−3+3a3−x=3的解为正数，
∴9−2a2>0且9−2a2≠3，
解得a<92且a≠32．
解不等式x−3≥0x−2≤a+2x3得x≥3x≤a+6,
∵关于x的不等式组x−3≥0x−2≤a+2x3有解，
∴a+6≥3，
解得a≥−3，
故a的取值范围是−3≤a<92且a≠32，
故选：B．
先根据关于x的方程x+ax−3+3a3−x=3的解为正数，得到a的取值范围，再根据关于x的不等式组x−3≥0x−2≤a+2x3有解，得到a的取值范围，两者联立即可求解．
考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是平行四边形的性质，三角形中位线定理有关知识，由▱ABCD中，∠ADC=60°，易得△ABE是等边三角形，又由AB=12BC，证得①∠CAD=30°；继而证得AC⊥AB，得②S▱ABCD=AB⋅AC；可得OE是三角形的中位线，证得④OE垂直AC．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵AB=12BC，
∴AE=12BC=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠EAB+∠EBA+∠EAC+∠ECA=180°，
∴∠BAC=∠EAB+∠EAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S▱ABCD=AB⋅AC，故②正确，
∵∠BAC=90°，
∴OB是斜边，AB是直角边，
∴AB≠OB，故③错误；
∵∠CAD=30°，∠AEB=60°，AD//BC，
∴∠EAC=∠ACE=30°，
∴AE=CE，
∴BE=CE，
∵OA=OC，
∴OE=12AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE//AB，
∵∠BAC=90°
∴OE⊥AC，故④正确．
12.【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=12 cm，AD//BC．
∵以P，D，Q，B四点为顶点的四边形为平行四边形，
∴PD=BQ.设点P运动的时间为t s，易知两点运动6 s后，两点同时停止运动．
当点Q从点C向点B运动时，
若PD=BQ，则12−t=12−4t，解得t=0(舍去)．
当点Q从点B向点C运动时，
若PD=BQ，则12−t=4t−12，解得t=245．
故当以P，D，Q，B四点为顶点的四边形为平行四边形时，点P运动的时间为245 s．
13.【答案】①②④
【解析】
【分析】
根据已知∠DBC=12∠ABE，BD⊥AC，想到构造一个等腰三角形，所以延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF=BC，就得到∠FBC=2∠DBC，然后再证明△FAB≌△CEB就可以判断出BC平分∠DCE，再由角平分线的性质想到过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，从而证明△BDA≌R△BGE，即可判断．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，必须根据已知结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【解答】
解：延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF=BC，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，
∵FB=BC，BD⊥AC，
∴DF=DC，∠DBC=∠DBF=12∠FBC，
∵∠DBC=12∠ABE，
∴∠FBC=∠ABE，
∴∠FBA=∠CBE，
在△FAB和△CEB中
AB=BE∠FBA=∠CBEBF=BC
∴△FAB≌△CEB(SAS)，
∴∠F=∠BCE，AF=CE
∵BF=BC，
∴∠F=∠BCD，
∴∠BCD=∠BCE，
∴BC平分∠DCE，
故①正确；
∵∠FBC+∠F+∠BCD=180°，
∴∠ABE+∠BCE+∠BCD=180°，
∴∠ABE+∠DCE=180°，
故②正确；
在△BDC和△BGC中
∠BGC=∠BDC=90°∠BCG=∠BCDBC=BC
∴△BDC≌△BGC(AAS)，
∴BD=BG，CD=CG
在Rt△BDA和Rt△BGE中
AB=BEBD=BG
∴Rt△BDA≌Rt△BGE(HL)
∴AD=GE
∵AC=AD+DC，
∴AC=AD+CG
=AD+GE+CE
=2GE+CE，
∵GE≠BE，
∴AC≠2BE+CE，
故③错误；
∵AC=CF−AF，
∴AC=2CD−CE，
故④正确；
故答案为：①②④．
14.【答案】−5
【解析】
【分析】
本题考查的是一元一次不等式的解法有关知识，先解出不等式，再进行求解即可．
【解答】
解：由题意可得：
14−2x≤8−x2，
解得：x≥−316，
∴x的最小整数解为−5．
故答案为−5．
15.【答案】103
【解析】解：∵a2−6a+1=0，
∴a≠0，将方程两边除以a得：a−6+1a=0即a+1a=6，
而a4−ma2+12a3+ma2+2a=a2−m+1a22a+m+2a=(a+1a)2−2−m2(a+1a)+m，
∵a4−ma2+12a3+ma2+2a=2，
∴62−2−m2×6+m=2，即−m+34m+12=2，
解得m=103，
经检验m=103是原方程的解，
故答案为：103．
16.【答案】175°
【解析】
【分析】
本题主要考查了多边形的内角与外角以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是找出操作的变化规律，得到∠CO5D与∠ADC+∠DCB之间的关系．
先根据∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1，得出∠O1DC+∠O1CD=12(∠ADC+∠DCB)，再根据∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2，得出∠O2DC+∠O2CD=122(∠ADC+∠DCB)，根据规律可得到∠O5DC+∠O5CD=125(∠ADC+∠DCB)，最后将∠ADC+∠DCB=160°代入计算即可．
【解答】
解：∵∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1，
∴∠O1DC+∠O1CD=12(∠ADC+∠DCB)，
∵∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2，
∴∠O2DC+∠O2CD=12(∠O1DC+∠O1CD)=122(∠ADC+∠DCB)，
同理可得，∠O3DC+∠O3CD=12(∠O2DC+∠O2CD)
=123(∠ADC+∠DCB)，
由此可得，∠O5DC+∠O5CD=12(∠O4DC+∠O4CD)
=125(∠ADC+∠DCB)，
∴△CO5D中，∠CO5D=180°−(∠O5DC+∠O5CD)
=180°−125(∠ADC+∠DCB)，
又∵四边形ABCD中，∠DAB+∠ABC=200°，
∴∠ADC+∠DCB=160°，
∴∠CO5D=180°−125×160°=180°−5°=175°，
故答案为175°．
17.【答案】解：(1)若∠A为顶角，则∠B=(180°−∠A)÷2=50°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°−2×80°=20°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=80°；
故∠B=50°或20°或80°；
(2)分两种情况：
①当90≤x<180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=(180−2x)°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°．
当180−x2≠180−2x且180−2x≠x且180−x2≠x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0
(2)分两种情况：①90≤x<180；②0
18.【答案】解：(1)过点C作CM⊥OA于点M，如图所示：
根据题意，可设点C坐标为(m,43m+8)，
∴OM=−m，CM=43m+8，
∵∠AOB=90°，OC是∠AOB的角平分线，
∴∠COM=45°，
∴∠OCM=45°，
∴OM=CM，
∴−m=43m+8，
解得m=−247，
∴点C坐标为(−247,247)；
(2)∵AH是∠BAO的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
∵AH⊥BE于点D，
∴∠BDA=∠EDA=90°，
又∵AD=AD，
∴△BDA≌△EDA(ASA)，
∴AB=AE，
当x=0时，y=43x+8=8，
∴点B(0,8)，OB=8，
当y=43x+8=0时，x=−6，
∴点A(−6,0)，
∴OA=6，
根据勾股定理，得AB=10，
∴OE=4，
∴点E坐标为(4,0)，
设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0)，
代入点B(0,8)和E(4,0)，
得b=84k+b=0，解得k=−2b=8，
∴直线BD的解析式为y=−2x+8；
(3)设点F坐标为(n,0)，
∵A(−6,0)，B(0,8)，AB=10，
∴AF=(n+6)2，BF=n2+64，
△ABF为等腰三角形，分情况讨论：
①AB=AF，
∴10=(n+6)2，
解得n=−16或n=4，
∴点F坐标为(−16,0)或(4,0)；
②AB=BF，
∴10=n2+64，
解得n=6或n=−6(舍去)，
∴点F坐标为(6,0)；
③AF=BF，
∴(n+6)2=n2+64，
解得n=73，
∴点F坐标为(73,0)，
综上所述，满足条件的点F坐标为(−16,0)或(4,0)或(6,0)或(73,0)．
【解析】(1)过点C作CM⊥OA于点M，设点C坐标为(m,43m+8)，根据已知条件易证OM=CM，列方程求解即可；
(2)先证明△BDA≌△EDA(ASA)，可得AB=AE，再求出点A和点B坐标，根据勾股定理，求出AB的长度，进一步即可确定点E坐标；
(3)设点F坐标为(n,0)，△ABF为等腰三角形，分情况讨论：①AB=AF，②AB=BF，③AF=BF，分别列方程求解即可．
本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，角平分线的定义，等腰三角形的性质等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键，本题综合性较强，注意等腰三角形分情况讨论．
19.【答案】解：(1)设A，B两种品牌足球的单价分别为x元，y元，
根据题意，得3x+2y=3602x+y=220，
解得x=80y=60，
∴A品牌足球单价为80元，B品牌足球单价为60元．
(2)设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球(75−a)个，
根据题意，得a≥2(75−a)a≤60，
解得50≤a≤60，
∴总费用w=(80−m)a+60(75−a)=(20−m)a+4500，
①当00，w随着a的增大而增大，
∴当a=50时，w取得最小值，此时A品牌足球购买了50个，B品牌足球购买了25个；
②当m=20时，此时w=4500，是常数，
∴a取50≤a≤60中的任意整数；
③20
【解析】(1)根据题意，列二元一次方程组即可；
(2)根据题意，得一元一次不等式组，解不等式组，表示出总费用w，根据一次函数的增减性讨论w最小值即可．
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的综合，根据一次函数的增减性来确定总费用最小值是解决本题的关键．
20.【答案】解：设这个敬老院的老人有x人，依题意得：
4x+28−5(x−1)<44x+28−5(x−1)≥1，
解得：29
∴x可取值30，31，32，
∴x最少为30，
答：这个敬老院的老人最少有30人．
【解析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出不等式组，首先设这个敬老院的老人有x人，则有牛奶(4x+28)盒，根据关键语句“如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”可得不等式组4x+28−5(x−1)<44x+28−5(x−1)≥1，解出不等式组后再找出符合条件的整数．
21.【答案】解：(1)①如图 ①甲，作EQ//AC交BC于点Q，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60∘，
∴∠BEQ=∠A=60∘，∠BQE=∠C=60∘，
∴△EBQ是等边三角形，
∴BQ=BE=EQ，
∵BD=2，BE=1，
∴BD=2BE=2BQ=2，
∴DQ=BQ=EQ=BE=1．
∴∠QED=∠QDE，
∴∠QED+∠QDE=2∠QED=∠BQE=60∘，
∴∠QED=30∘，
∴∠BED=90°，
∴DE⊥AB．
②∵DE⊥AB，FG⊥BC，
∴∠PED=∠BED=∠DGF=90∘，
在RtΔBED中，DE=BD2−BE2=22−12=3，
∵△PDF是等边三角形，
∴PD=DF，∠PDF=60∘，
∴∠GDF=180∘−∠PDF−∠PDB=120°−∠PDB，
∵∠EPD=180∘−∠B−∠PDB=120°−∠PDB，
∴∠EPD=∠GDF，
在△PED和△DGF中∠PED=∠DGF∠EPD=∠GDFPD=DF，
∴△PED≌△DGF(AAS)，
∴FG=DE=3，
(2)在长方形ABCD中，AB=CD=4，∠B=∠C=90∘
如图，连接ED，
∵BE=1，BC=5，
∴CE=5−1=4=CD，
∴ΔECD是等腰直角三角形，
∴∠DEC=45∘，
过点G做GQ⊥DE，则∠GQD=90∘，
∴∠GEQ+∠G=90∘，
∵∠FEG=∠DEC=45∘，
∴∠BEF+∠GEQ=90∘，
∴∠G=∠FEB，
在ΔGEQ和ΔEFB中{∠GQE=∠B∠G=∠FEBEG=EF,
∴ΔGEQ≌ΔEFB，
∴GQ=BE=1．
如图，当F在点B时，点G在点G1处，当点F在点A时，点G在点G2处，
∵G到ED的距离始终为1，
∴G1G2//DE，
∴∠G1ED+∠G1=180°，
由旋转可知BE=G1E=1，AE=G2E=1+42=17，∠BEG1=∠CED=45∘，
∴∠G1ED=90°，
∴∠G1=90°，
在Rt△G1EG2中G1G2=17−1=4，
即当点F从点B运动到点A时，点G运动的路程为4．
【解析】本题考查了三角形的综合，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质．
(1)①作EQ//AC交BC于点Q，先证得△EBQ是等边三角形，进而得到DQ=BQ=EQ=BE=1，得出∠QED=30°，则结论得证；
②由勾股定理得到DE的长，通过AAS证得△PED≌△DGF，得出FG=DE即可求解；
(2)连接ED，过点G做GQ⊥DE，得到G到ED的距离始终为1，即G1G2//DE，再根据勾股定理和旋转的性质进而得到答案．
22.【答案】解：∵a2+2b2+c2−2ba+c=a2+2b2+c2−2ab−2bc=a2−2ab+b2+b2−2bc+c2=a−b2+b−c2=0，
∴a−b=0，b−c=0，
∴ a=b，b=c，
即a=b=c．
∴△ABC是等边三角形．
【解析】本题考查了因式分解的应用、偶次方的非负性及配方法.将等号左边的各项拆项分组，利用完全平方公式变形为非负数和的形式，再利用非负数的性质，得到a，b，c的关系由此判定△ABC的形状．
23.【答案】解：(1)令x−2=0，即当x=2时，4+2k−8=0，解得：k=2；
(2)令x=−2，则−16+4a−14+b=0①，
令x=1，则2+a+7+b=0②，
由①，②得a=13，b=−22．
【解析】(1)把x=2代入x2+kx−8得到4+2k−8=0，求得k的值即可；
(2)分别将x=−2和x=1代入2x3+ax2+7x+b得到有关a、b的方程组求得a、b的值即可．
本题考查了因式分解的意义，解题的关键是熟悉因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
24.【答案】解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：
400x−4002x=4，
解得：x=50，
经检验x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100(m2)，
∴甲队每天能完成绿化的面积是100m2，乙队每天能完成绿化的面积是50m2；
(2)设应安排甲队工作y天，根据题意得：
0.4y+1800−100y50×0.25≤8，
解得：y≥10，
∴至少应安排甲队工作10天．
【解析】此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验．
(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程400x−4002x=4，求解即可；
(2)设应安排甲队工作y天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式0.4y+1800−100y50×0.25≤8，求解即可．
25.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6，AD=BC，
在△ACD和△BEC中，
AD=BC∠DAC=∠EBCEB=AC，
∴△ACD≌△BEC(SAS)，
∴CE=CD=6；
(2)证明：过点E作EF//AB，交BC于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AD//BC，
∴AB//EF//CD，
∴∠BEF=∠ABE，∠CEF=∠DCE，
∵AD=AE+ED，BC=AE+AB，
∴DE=CD，
∴∠DEC=∠DCE，
∵AD//BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠DCE=12∠BCD=12∠BAD，
∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=∠ABE+12∠BAD．
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，∠CAD=∠EBC，AC=BE，易证得△ACD≌△BEC，继而求得CE的长．
(2)首先过点E作EF//AB，交BC于点F，易得∠BEC=∠ABE+∠DCE，又由BC=AB+AE，易得△DCE是等腰三角形，继而可得∠DCE=12∠BCD=12∠BAD，则可证得结论．
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
北师大版初中数学八年级下册期末测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：全册； 考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM//BC交∠ABC的外角平分线于M，交AB、AC于F、E，下列结论正确的是( )
A. EF=ED
B. FD=BC
C. EC=MF
D. EC=AG
2. 若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是( )
A. 75°或30° B. 75° C. 15° D. 75°或15°
3. 如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，∠C=30∘，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论：①AE平分∠BAC；②▵ABD是等边三角形；③DE垂直平分线段AC；④▵BCD是等腰三角形，其中正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 已知点P(3a−3,1−2a)关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 如果关于x的不等式组5x−2a>07x−3b⩽0的整数解仅有7，8，9，设整数a与整数b的和为M，则M的值的个数为．( )
A. 3个 B. 9个 C. 7个 D. 5个
6. 如图，已知∠AOB=120°，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
7. 如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30得到AB′C′D′，如果AB=1，点C与C′的距离为( )
A. 22 B. 3−2 C. 1 D. 3−1
8. 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个长方形的两边长(x>y)，观察图案及以下关系式：①x−y=n；②xy=m2−n24；③x 2−y 2=mn；④x 2+y 2=m2−n22.其中正确的关系式的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 已知x2+x+1=0，则x2019+x2018+x2017+⋯+x+1的值是( )
A. 0 B. 1 C. −1 D. 2
10. 若关于x的方程x+ax−3+3a3−x=3的解为正数，关于x的不等式组x−3≥0x−2≤a+2x3有解，则a的取值范围是( )
A. −3≤a<92 B. −3≤a<92且a≠32
C. −3
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=8 cm，AD=12 cm，点P在AD边上以1 cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以4 cm/s的速度从点C出发，在CB上运动到点B后返回点C，其中一点到达终点时，两点同时停止运动.在运动过程中，当以P，D，Q，B四点为顶点的四边形为平行四边形时，点P运动的时间为( )
A. 2 s B. 3 s C. 4 s D. 245 s
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，AB=BE，∠DBC=12∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是： .(填序号)
①BC平分∠DCE；
②∠ABE+∠ECD=180°；
③AC=2BE+CE；
④AC=2CD−CE．
14. 若代数式14−2x的值不大于代数式8−x2的值，则x的最小整数解是 ．
15. 已知a2−6a+1=0且a4−ma2+12a3+ma2+2a=2，则m= ．
16. 如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B=200°，作∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1称为第1次操作，作∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2称为第2次操作，作∠O2DC、∠O2CD的平分线交于点O3称为第3次操作，…，则第5次操作后∠CO5D的度数是_____．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．(答案：35°)
例2：等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．
(1)请你解答以上的变式题．
(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
18. (本小题8.0分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=43x+8分别与x轴、y轴相交于点A、B，OC是∠AOB的角平分线，交直线AB于点C．
(1)求点C的坐标;
(2)如图2，AH是∠BAO的角平分线，过点B作AH的垂线交AH于点D，交x轴于点E求直线BD的解析式;
(3)在x轴上寻找点F使得△ABF为等腰三角形，请直接写出点F的坐标．
19. (本小题8.0分)
为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学计划购买一批足球．已知购买3个A品牌足球和2个B品牌足球共需360元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共220元．
(1)求A，B两种品牌足球的单价．
(2)该学校计划购买A，B两种品牌的足球共75个，且A品牌足球的数量不少于B品牌足球数量的2倍．实际购买时，商家对A品牌足球售价下调m(0
某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人，如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有几人？
21. (本小题8.0分)
【问题发现】
(1)如图 ①，△ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AB边上一点，且BD=2，BE=1，点P在线段AE上运动，以PD为边向右作等边△PDF．
①求证：DE⊥AB
②过点F作FG⊥BC于点G，连接DE.请判断FG的长度是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
【类比探究】
(2)如图 ②，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45∘到EG的位置，当点F从点B运动到点A时，请求出点G运动的路程．
22. (本小题8.0分)
已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+2b2+c2−2b(a+c)=0，你能判断△ABC的形状吗？请说明理由．
23. (本小题8.0分)
将多项式x2−3x+2分解因式x2−3x+2=(x−2)(x−1)，说明多项式x2−3x+2有一个因式x−1，还可知：当x−1=0时x2−3x+2=0.利用上述阅读材料解答以下两个问题：
(1)若多项式x2+kx−8有一个因式为x−2，求k的值；
(2)若x+2，x−1是多项式2x3+ax2+7x+b的两个因式，求a、b的值．
24. (本小题8.0分)
某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲，乙两个工程队共同完成。已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且甲队独立完成面积为400m2区域的绿化比乙队独立完成面积为400m2区域的绿化少用4天．
(1)求甲，乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2?
(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次绿化总费用不超过8万元，至少应该安排甲队工作多少天?
25. (本小题8.0分)
已知，如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，点E是边AD上一点．
(1)若∠CAD=∠EBC，AC=BE，AB=6，求CE的长．
(2)若AE+AB=BC，求证：∠BEC=∠ABE+12∠BAD．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵DM//BC，
∴∠AFE=∠ABC，∠AEF=∠C，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，
∴BF=EC，
∵∠D=∠DBC=∠FBD，
∴DF=BF，同法可证：BF=FM，
∴EC=FM，
故选：C．
想办法证明BF=EC，BF=FM即可解决问题；
该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质，以及解直角三角形的应用，分当等腰三角形是锐角三角形时、当等腰三角形是钝角三角形时进行讨论即可．
【解答】
解：当等腰三角形是锐角三角形时，如图1所示
∵CD⊥AB，
∴ΔADC为直角三角形，
又∵CD=12AC，
∴∠A=30°，
∴∠B=∠ACB=75°；
当等腰三角形是钝角三角形时，如图2示，
∵CD⊥AB，即在直角三角形ACD中，CD=12AC，
∴∠CAD=30°，
∴∠CAB=150°，
∴∠B=∠ACB=15°．
故选D．
3.【答案】D
【解析】解：由作图可得AE平分∠BAC，AB=AD，故①正确；
∵AB=AD，∠BAE=∠DAE=30°，AE=AE，
∴△BAE≌△DAE(SAS)，
∴BE=DE，∠ABE=∠ADE=90°，
∴∠CDE=90°，
∵∠C=30°，
∴CE=2DE=2BE，∠DEC=∠BAC=60°，
∴∠AEB=∠APD=60°，
∴AB=AD，
∴▵ABD是等边三角形；
故②正确；
∵∠ABC=90°，∠C=30°，
∴AC=2AB，∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠DAE=30°=∠C，
∴△AEC是等腰三角形，
∴AE=CE，
∵AB=AD，AC=2AB，
∴AD=CD，
∴点D为AC的中点，
∴DE垂直平分线段AC，故③正确；
∵∠ABC=∠ADE=90°，▵ABD是等边三角形；
∴∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠BDE=30°，
∴∠DBE=∠C=30°，
∴DB=DC，
∴▵BCD是等腰三角形，故④正确．
故选：D．
先由作图可得AE平分∠BAC，AB=AD，证明△BAE≌△DAE可得BE=DE，∠CDE=90°，再利用含30°角的直角三角形的性质可判定①和②；
证明△AEC是等腰三角形，可得AE=CE，结合AD=CD可判定③；
根据等边三角形的性质，等式性质，和等腰三角形的判定可判定④．
本题主要考查角平分线的作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等知识的综合运用，找到作图过程中的隐含条件是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，轴对称中的坐标变化，一元一次不等式组的解法，平面直角坐标系的概念，根据P点关于x轴的对称点在第三象限，可知P点在第二象限，即可得到不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．
【解答】
解：∵点P(3a−3,1−2a)关于x轴的对称点在第三象限，
∴P点在第二象限，即3a−3<01−2a>0，
解得：a<1a<0.5，
∴a的取值范围在数轴上表示为：．
故选B．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能求出a、b的值．先求出不等式组的解集，再得出关于a、b的不等式组，求出a、b的值，即可得出选项．
【解答】
解：5x−2a>0① 7x−3b≤0②
∵解不等式①得：x>2a5，
解不等式②得：x≤3b7，
∴不等式组的解集为2a5
∴6≤2a5<7，9≤3b7<10，
解得：15≤a<17.5，21≤b<2313，
∴a=15或16或17，b=21或22或23，
即(15,21)，(15,22)，(15,23)(16,21)，(16,22)(16,23)，(17,21)，(17,22)，(17,23)共9对，
整数a与整数b的和为M共有：36，37，38，39，40共5个．
故选D．
6.【答案】B
【解析】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
在△POE和△POF中，
∠POE=∠POF∠PEO=∠PFOPO=PO，
∴△POE≌△POF(AAS)，
∴OE=OF，PE=PF，
在△PEM和△PFN中，
∠MPE=∠NPFPE=PF∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN(ASA)，
∴EM=NF，PM=PN，故①正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，
∵OM+ON=OE+ME+(OF−NF)=2OE，是定值，故②正确，
∵∠MPN=180°−∠AOB=60°，PM=PN
∴△PMN是等边三角形，
∴MN=PM
∵PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故③错误，
故选：B．
如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断
本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，正确做出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
连接AC′，AC，CC′，过C作CF⊥AC′于F，根据旋转的性质推出∠CAC′=60°−15°−15°=30°，再根据正方形的性质以及勾股定理即可得出答案．
【解答】
解：如图，连接AC′，AC，CC′，过C作CF⊥AC′于F，
由旋转可得，∠DAD′=30°，∠DAB′=60°，
∴∠DAC′=45°−30°=15°，
同理可得，∠B′AC=15°，
∴∠CAC′=60°−15°−15°=30°，
∵AB=BC=1，∴AC=2=AC′，
∴CF=22，∴AF=62，
∴C′F=2−62，
∴Rt△CC′F中，
CC′=C′F2+CF2=2−622+222=4−23=(3−1)2=3−1，
故选D．
8.【答案】C
【解析】解：①x−y等于小正方形的边长，即x−y=n，正确；
②∵xy为小长方形的面积，
∴xy=m2−n24，
故本项正确；
③x2−y2=(x+y)(x−y)=mn，故本项正确；
④x2+y2=(x+y)2−2xy=m2−2×m2−n24=m2+n22，
故本项错误．
则正确的有3个．
故选C．
根据长方形的长和宽，结合图形进行判断，即可得出选项．
本题考查了整式的混合运算以及因式分解的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了因式分解的应用，利用提取公因式法因式分解，渗透整体代入的思想．
多项式共有2020项，从第一项起每3项一组，每组都含有x2+x+1，最后剩下一项1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：∵x2+x+1=0，
∴原式=x2017(x2+x+1)+x2014(x2+x+1)+⋯⋯+x(x2+x+1)+1=1.
故选B.
10.【答案】B
【解析】解：x+ax−3+3a3−x=3，
方程两边都乘(x−3)得，
x+a−3a=3(x−3)，
去括号得，x−2a=3x−9，
移项、合并同类项得，2x=9−2a，
系数化为1得x=9−2a2，
∵关于x的方程x+ax−3+3a3−x=3的解为正数，
∴9−2a2>0且9−2a2≠3，
解得a<92且a≠32．
解不等式x−3≥0x−2≤a+2x3得x≥3x≤a+6,
∵关于x的不等式组x−3≥0x−2≤a+2x3有解，
∴a+6≥3，
解得a≥−3，
故a的取值范围是−3≤a<92且a≠32，
故选：B．
先根据关于x的方程x+ax−3+3a3−x=3的解为正数，得到a的取值范围，再根据关于x的不等式组x−3≥0x−2≤a+2x3有解，得到a的取值范围，两者联立即可求解．
考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是平行四边形的性质，三角形中位线定理有关知识，由▱ABCD中，∠ADC=60°，易得△ABE是等边三角形，又由AB=12BC，证得①∠CAD=30°；继而证得AC⊥AB，得②S▱ABCD=AB⋅AC；可得OE是三角形的中位线，证得④OE垂直AC．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵AB=12BC，
∴AE=12BC=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠EAB+∠EBA+∠EAC+∠ECA=180°，
∴∠BAC=∠EAB+∠EAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S▱ABCD=AB⋅AC，故②正确，
∵∠BAC=90°，
∴OB是斜边，AB是直角边，
∴AB≠OB，故③错误；
∵∠CAD=30°，∠AEB=60°，AD//BC，
∴∠EAC=∠ACE=30°，
∴AE=CE，
∴BE=CE，
∵OA=OC，
∴OE=12AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE//AB，
∵∠BAC=90°
∴OE⊥AC，故④正确．
12.【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=12 cm，AD//BC．
∵以P，D，Q，B四点为顶点的四边形为平行四边形，
∴PD=BQ.设点P运动的时间为t s，易知两点运动6 s后，两点同时停止运动．
当点Q从点C向点B运动时，
若PD=BQ，则12−t=12−4t，解得t=0(舍去)．
当点Q从点B向点C运动时，
若PD=BQ，则12−t=4t−12，解得t=245．
故当以P，D，Q，B四点为顶点的四边形为平行四边形时，点P运动的时间为245 s．
13.【答案】①②④
【解析】
【分析】
根据已知∠DBC=12∠ABE，BD⊥AC，想到构造一个等腰三角形，所以延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF=BC，就得到∠FBC=2∠DBC，然后再证明△FAB≌△CEB就可以判断出BC平分∠DCE，再由角平分线的性质想到过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，从而证明△BDA≌R△BGE，即可判断．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，必须根据已知结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【解答】
解：延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF=BC，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，
∵FB=BC，BD⊥AC，
∴DF=DC，∠DBC=∠DBF=12∠FBC，
∵∠DBC=12∠ABE，
∴∠FBC=∠ABE，
∴∠FBA=∠CBE，
在△FAB和△CEB中
AB=BE∠FBA=∠CBEBF=BC
∴△FAB≌△CEB(SAS)，
∴∠F=∠BCE，AF=CE
∵BF=BC，
∴∠F=∠BCD，
∴∠BCD=∠BCE，
∴BC平分∠DCE，
故①正确；
∵∠FBC+∠F+∠BCD=180°，
∴∠ABE+∠BCE+∠BCD=180°，
∴∠ABE+∠DCE=180°，
故②正确；
在△BDC和△BGC中
∠BGC=∠BDC=90°∠BCG=∠BCDBC=BC
∴△BDC≌△BGC(AAS)，
∴BD=BG，CD=CG
在Rt△BDA和Rt△BGE中
AB=BEBD=BG
∴Rt△BDA≌Rt△BGE(HL)
∴AD=GE
∵AC=AD+DC，
∴AC=AD+CG
=AD+GE+CE
=2GE+CE，
∵GE≠BE，
∴AC≠2BE+CE，
故③错误；
∵AC=CF−AF，
∴AC=2CD−CE，
故④正确；
故答案为：①②④．
14.【答案】−5
【解析】
【分析】
本题考查的是一元一次不等式的解法有关知识，先解出不等式，再进行求解即可．
【解答】
解：由题意可得：
14−2x≤8−x2，
解得：x≥−316，
∴x的最小整数解为−5．
故答案为−5．
15.【答案】103
【解析】解：∵a2−6a+1=0，
∴a≠0，将方程两边除以a得：a−6+1a=0即a+1a=6，
而a4−ma2+12a3+ma2+2a=a2−m+1a22a+m+2a=(a+1a)2−2−m2(a+1a)+m，
∵a4−ma2+12a3+ma2+2a=2，
∴62−2−m2×6+m=2，即−m+34m+12=2，
解得m=103，
经检验m=103是原方程的解，
故答案为：103．
16.【答案】175°
【解析】
【分析】
本题主要考查了多边形的内角与外角以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是找出操作的变化规律，得到∠CO5D与∠ADC+∠DCB之间的关系．
先根据∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1，得出∠O1DC+∠O1CD=12(∠ADC+∠DCB)，再根据∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2，得出∠O2DC+∠O2CD=122(∠ADC+∠DCB)，根据规律可得到∠O5DC+∠O5CD=125(∠ADC+∠DCB)，最后将∠ADC+∠DCB=160°代入计算即可．
【解答】
解：∵∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1，
∴∠O1DC+∠O1CD=12(∠ADC+∠DCB)，
∵∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2，
∴∠O2DC+∠O2CD=12(∠O1DC+∠O1CD)=122(∠ADC+∠DCB)，
同理可得，∠O3DC+∠O3CD=12(∠O2DC+∠O2CD)
=123(∠ADC+∠DCB)，
由此可得，∠O5DC+∠O5CD=12(∠O4DC+∠O4CD)
=125(∠ADC+∠DCB)，
∴△CO5D中，∠CO5D=180°−(∠O5DC+∠O5CD)
=180°−125(∠ADC+∠DCB)，
又∵四边形ABCD中，∠DAB+∠ABC=200°，
∴∠ADC+∠DCB=160°，
∴∠CO5D=180°−125×160°=180°−5°=175°，
故答案为175°．
17.【答案】解：(1)若∠A为顶角，则∠B=(180°−∠A)÷2=50°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°−2×80°=20°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=80°；
故∠B=50°或20°或80°；
(2)分两种情况：
①当90≤x<180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=(180−2x)°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°．
当180−x2≠180−2x且180−2x≠x且180−x2≠x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0
(2)分两种情况：①90≤x<180；②0
18.【答案】解：(1)过点C作CM⊥OA于点M，如图所示：
根据题意，可设点C坐标为(m,43m+8)，
∴OM=−m，CM=43m+8，
∵∠AOB=90°，OC是∠AOB的角平分线，
∴∠COM=45°，
∴∠OCM=45°，
∴OM=CM，
∴−m=43m+8，
解得m=−247，
∴点C坐标为(−247,247)；
(2)∵AH是∠BAO的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
∵AH⊥BE于点D，
∴∠BDA=∠EDA=90°，
又∵AD=AD，
∴△BDA≌△EDA(ASA)，
∴AB=AE，
当x=0时，y=43x+8=8，
∴点B(0,8)，OB=8，
当y=43x+8=0时，x=−6，
∴点A(−6,0)，
∴OA=6，
根据勾股定理，得AB=10，
∴OE=4，
∴点E坐标为(4,0)，
设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0)，
代入点B(0,8)和E(4,0)，
得b=84k+b=0，解得k=−2b=8，
∴直线BD的解析式为y=−2x+8；
(3)设点F坐标为(n,0)，
∵A(−6,0)，B(0,8)，AB=10，
∴AF=(n+6)2，BF=n2+64，
△ABF为等腰三角形，分情况讨论：
①AB=AF，
∴10=(n+6)2，
解得n=−16或n=4，
∴点F坐标为(−16,0)或(4,0)；
②AB=BF，
∴10=n2+64，
解得n=6或n=−6(舍去)，
∴点F坐标为(6,0)；
③AF=BF，
∴(n+6)2=n2+64，
解得n=73，
∴点F坐标为(73,0)，
综上所述，满足条件的点F坐标为(−16,0)或(4,0)或(6,0)或(73,0)．
【解析】(1)过点C作CM⊥OA于点M，设点C坐标为(m,43m+8)，根据已知条件易证OM=CM，列方程求解即可；
(2)先证明△BDA≌△EDA(ASA)，可得AB=AE，再求出点A和点B坐标，根据勾股定理，求出AB的长度，进一步即可确定点E坐标；
(3)设点F坐标为(n,0)，△ABF为等腰三角形，分情况讨论：①AB=AF，②AB=BF，③AF=BF，分别列方程求解即可．
本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，角平分线的定义，等腰三角形的性质等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键，本题综合性较强，注意等腰三角形分情况讨论．
19.【答案】解：(1)设A，B两种品牌足球的单价分别为x元，y元，
根据题意，得3x+2y=3602x+y=220，
解得x=80y=60，
∴A品牌足球单价为80元，B品牌足球单价为60元．
(2)设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球(75−a)个，
根据题意，得a≥2(75−a)a≤60，
解得50≤a≤60，
∴总费用w=(80−m)a+60(75−a)=(20−m)a+4500，
①当0
∴当a=50时，w取得最小值，此时A品牌足球购买了50个，B品牌足球购买了25个；
②当m=20时，此时w=4500，是常数，
∴a取50≤a≤60中的任意整数；
③20
【解析】(1)根据题意，列二元一次方程组即可；
(2)根据题意，得一元一次不等式组，解不等式组，表示出总费用w，根据一次函数的增减性讨论w最小值即可．
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的综合，根据一次函数的增减性来确定总费用最小值是解决本题的关键．
20.【答案】解：设这个敬老院的老人有x人，依题意得：
4x+28−5(x−1)<44x+28−5(x−1)≥1，
解得：29
∴x可取值30，31，32，
∴x最少为30，
答：这个敬老院的老人最少有30人．
【解析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出不等式组，首先设这个敬老院的老人有x人，则有牛奶(4x+28)盒，根据关键语句“如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”可得不等式组4x+28−5(x−1)<44x+28−5(x−1)≥1，解出不等式组后再找出符合条件的整数．
21.【答案】解：(1)①如图 ①甲，作EQ//AC交BC于点Q，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60∘，
∴∠BEQ=∠A=60∘，∠BQE=∠C=60∘，
∴△EBQ是等边三角形，
∴BQ=BE=EQ，
∵BD=2，BE=1，
∴BD=2BE=2BQ=2，
∴DQ=BQ=EQ=BE=1．
∴∠QED=∠QDE，
∴∠QED+∠QDE=2∠QED=∠BQE=60∘，
∴∠QED=30∘，
∴∠BED=90°，
∴DE⊥AB．
②∵DE⊥AB，FG⊥BC，
∴∠PED=∠BED=∠DGF=90∘，
在RtΔBED中，DE=BD2−BE2=22−12=3，
∵△PDF是等边三角形，
∴PD=DF，∠PDF=60∘，
∴∠GDF=180∘−∠PDF−∠PDB=120°−∠PDB，
∵∠EPD=180∘−∠B−∠PDB=120°−∠PDB，
∴∠EPD=∠GDF，
在△PED和△DGF中∠PED=∠DGF∠EPD=∠GDFPD=DF，
∴△PED≌△DGF(AAS)，
∴FG=DE=3，
(2)在长方形ABCD中，AB=CD=4，∠B=∠C=90∘
如图，连接ED，
∵BE=1，BC=5，
∴CE=5−1=4=CD，
∴ΔECD是等腰直角三角形，
∴∠DEC=45∘，
过点G做GQ⊥DE，则∠GQD=90∘，
∴∠GEQ+∠G=90∘，
∵∠FEG=∠DEC=45∘，
∴∠BEF+∠GEQ=90∘，
∴∠G=∠FEB，
在ΔGEQ和ΔEFB中{∠GQE=∠B∠G=∠FEBEG=EF,
∴ΔGEQ≌ΔEFB，
∴GQ=BE=1．
如图，当F在点B时，点G在点G1处，当点F在点A时，点G在点G2处，
∵G到ED的距离始终为1，
∴G1G2//DE，
∴∠G1ED+∠G1=180°，
由旋转可知BE=G1E=1，AE=G2E=1+42=17，∠BEG1=∠CED=45∘，
∴∠G1ED=90°，
∴∠G1=90°，
在Rt△G1EG2中G1G2=17−1=4，
即当点F从点B运动到点A时，点G运动的路程为4．
【解析】本题考查了三角形的综合，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质．
(1)①作EQ//AC交BC于点Q，先证得△EBQ是等边三角形，进而得到DQ=BQ=EQ=BE=1，得出∠QED=30°，则结论得证；
②由勾股定理得到DE的长，通过AAS证得△PED≌△DGF，得出FG=DE即可求解；
(2)连接ED，过点G做GQ⊥DE，得到G到ED的距离始终为1，即G1G2//DE，再根据勾股定理和旋转的性质进而得到答案．
22.【答案】解：∵a2+2b2+c2−2ba+c=a2+2b2+c2−2ab−2bc=a2−2ab+b2+b2−2bc+c2=a−b2+b−c2=0，
∴a−b=0，b−c=0，
∴ a=b，b=c，
即a=b=c．
∴△ABC是等边三角形．
【解析】本题考查了因式分解的应用、偶次方的非负性及配方法.将等号左边的各项拆项分组，利用完全平方公式变形为非负数和的形式，再利用非负数的性质，得到a，b，c的关系由此判定△ABC的形状．
23.【答案】解：(1)令x−2=0，即当x=2时，4+2k−8=0，解得：k=2；
(2)令x=−2，则−16+4a−14+b=0①，
令x=1，则2+a+7+b=0②，
由①，②得a=13，b=−22．
【解析】(1)把x=2代入x2+kx−8得到4+2k−8=0，求得k的值即可；
(2)分别将x=−2和x=1代入2x3+ax2+7x+b得到有关a、b的方程组求得a、b的值即可．
本题考查了因式分解的意义，解题的关键是熟悉因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
24.【答案】解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：
400x−4002x=4，
解得：x=50，
经检验x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100(m2)，
∴甲队每天能完成绿化的面积是100m2，乙队每天能完成绿化的面积是50m2；
(2)设应安排甲队工作y天，根据题意得：
0.4y+1800−100y50×0.25≤8，
解得：y≥10，
∴至少应安排甲队工作10天．
【解析】此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验．
(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程400x−4002x=4，求解即可；
(2)设应安排甲队工作y天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式0.4y+1800−100y50×0.25≤8，求解即可．
25.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6，AD=BC，
在△ACD和△BEC中，
AD=BC∠DAC=∠EBCEB=AC，
∴△ACD≌△BEC(SAS)，
∴CE=CD=6；
(2)证明：过点E作EF//AB，交BC于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AD//BC，
∴AB//EF//CD，
∴∠BEF=∠ABE，∠CEF=∠DCE，
∵AD=AE+ED，BC=AE+AB，
∴DE=CD，
∴∠DEC=∠DCE，
∵AD//BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠DCE=12∠BCD=12∠BAD，
∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=∠ABE+12∠BAD．
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，∠CAD=∠EBC，AC=BE，易证得△ACD≌△BEC，继而求得CE的长．
(2)首先过点E作EF//AB，交BC于点F，易得∠BEC=∠ABE+∠DCE，又由BC=AB+AE，易得△DCE是等腰三角形，继而可得∠DCE=12∠BCD=12∠BAD，则可证得结论．
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
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