【高考二轮题型复习】2023年高考数学题型精讲精练学案（全国通用）——专题03 函数图象、函数零点与方程（原卷版+解析版）

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函数图象、函数零点与方程是高考中函数板块的又一个热点，常以基本初等函数为载体，主要考查函数图象的辨别、图象的变换、两函数交点的个数，及利用零点存在性定理判断零点是否存在以及零点所在区间、判断函数零点、方程根的个数，根据零点（方程根）的情况求参数的取值范围等。整体来说函数板块的主要功能都以“选拔性”为主，是高考最具区分度的能力考点，考查了学生的转化、化归、数形结合与方程思想等方面均有体现和渗透。所以广大学生要想在高考中获得较为理想的成绩，就得掌握好该专题内容。
一、热点题型归纳
题型1.函数图象辨析
题型2.解析式含参数的图象问题
题型3.函数图象的实际应用问题
题型4.求函数的零点或零点所在区间（零点存在定理）
题型5.判断函数零点（方程的根）的个数
题型6.已知函数零点（方程的根）的个数求参数
题型7.嵌套（复合）函数的零点问题
题型8.似周期函数的零点（交点）问题
题型9.高斯函数型
题型10.函数的周期性、对称性与函数的零点
题型11.函数的不动点问题
题型12.切线法解决零点问题
二、最新模考题组练
三、十年高考真题练
【题型1】 函数图象辨析
【解题技巧】图象识别的常用方法：
（1）抓住函数的性质，定性分析： = 1 \* GB3 ①从函数的定义域、值域； = 2 \* GB3 ②从函数的奇偶性，判断图象的对称性； = 3 \* GB3 ③从函数的单调性，判断图象的变化趋势； = 4 \* GB3 ④从周期性，判断图象的循环往复。 = 5 \* GB3 ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
（2）抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
注意：根据图象找解析式，一般先找差异，再对具体图象的特征值验证。
【典例分析】
1．（2022·山东济南·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·河南·模拟预测（理））如图是函数的图象，则函数的解析式可以为（ ）．
A． B． C． D．
【变式演练】
1．（2022·四川绵阳·一模（理））函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【题型2】 解析式含参数的图象问题
【解题技巧】和题型1类似，只是注意讨论参数的取值（或范围）。
【典例分析】
1．（2022·浙江·模拟预测）已知，则函数的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式演练】
1．（2022·福建省福州三模）已知函数.则当时，的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·浙江金华·三模）若函数，则下列图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【题型3】函数图象的实际应用问题
【解题技巧】
根据实际背景、图象判断函数图象的方法： = 1 \* GB3 ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； = 2 \* GB3 ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
【典例分析】
1．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【变式演练】
1．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【题型4】求函数的零点或零点所在区间（零点存在定理）
【解题技巧】1）求函数零点的方法：
（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；
（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
2）确定函数零点所在区间的方法：
（1）解方程，直接求出零点；（2）利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.（3）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
注意：①在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断．②二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验．
【典例分析】
1．（2022·天津红桥·一模）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·广东广州·二模）函数的所有零点之和为__________．
【变式演练】
1．（2022·北京房山·一模）函数的图象在区间（0,2）上连续不断，能说明“若在区间（0,2）上存在零点，则”为假命题的一个函数的解析式可以为=___________.
2．（2022·江西·模拟预测）已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
3.（2022·福建高三二模）已知函数则函数的所有零点之和为___________.
【题型5】判断函数零点（方程的根）的个数
【解题技巧】函数零点个数的判断方法：
（1）直接法：直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
（2）定理法：零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
（3）图象法：利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.
（4）性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.
【典例分析】
1．（2022·新疆·三模（理））函数的零点个数为___________.
2．（2022·上海市市高三阶段练习）已知函数是偶函数，且，当时，，则方程在区间上的解的个数是________
【变式演练】
1.（2022·长岭县高三三模）已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2.（2022·山东高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【题型6】已知函数零点（方程的根）的个数求参数
【解题技巧】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【典例分析】
1.（2022·广东·高三二模）已知函数若函数有且只有两个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）
A．-1B．0C．1D．2
2.（2022·黑龙江高三模拟（理））设是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知函数，若在存在零点，则实数值可以是（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·河南·高三三模）已知函数.若关于的方程恰有两个不同的实根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型7】嵌套（复合）函数的零点问题
【解题技巧】
1.涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．
2.二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．
【典例分析】
1.（2022·河北高三模拟）已知函数若函数有且只有1个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·成都市·高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为
A．B．或C．或D．或或
【变式演练】
1．（2022·河南·高三专题练习）已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·云南·高三期末）定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则所有实数，，，，之和为（ ）
A．12B．16C．20D．24
【题型8】 似周期函数的零点（交点）问题
【解题技巧】“似周期函数”或“类周期函数”，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
4.“似周期函数”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。
【典例分析】
1．（2022·湖南高三一模）定义函数，则函数在区间内的所有的零点之和为_______.
2．（2022·成都·模拟预测（文））已知是定义在上的奇函数，当时，有下列结论：①函数在上单调递增；②函数的图象与直线有且仅有个不同的交点；
③若关于的方程恰有个不相等的实数根，则这个实数根之和为；
④记函数在上的最大值为，则数列的前项和为.
其中所有正确结论的编号是___________.
【变式演练】
1.（2022.重庆高三模拟）已知函数为偶函数，且当时，，则当时，方程的根有（ ）个
A．B．C．D．
2.（2022.河南高三模拟）对于函数，下列个结论正确的是__________（把你认为正确的答案全部写上）．（1）任取，都有；
（2）函数在上单调递增；
（3），对一切恒成立；
（4）函数有个零点；
（5）若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则.
【题型9】高斯函数型
【解题技巧】取整函数（高斯函数）：
1）具有“周期性”；2）一端是“空心头”，一端是“实心头”；3）还可以引入“四舍五入”函数作对比。
【典例分析】
1.（2022.江西高三模拟）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则函数的所有零点之和为（ ）
A．B．0C．1D．2
2.（2022·江苏高三期中）设表示不超过实数的最大整数(如，)，则函数的零点个数为_______.
【变式演练】
1.（2022.山东）设表示不超过的最大整数，如，已知函数，若方程有且仅有个实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【题型10】函数的周期性、对称性与函数的零点
【解题技巧】利用函数性质，推导出中心对称，轴对称等、周期等函数图像特征性质。
【典例分析】
1.已知函数，若关于x的方程有且仅有四个互不相等的实根，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-∞，7]B．（6， +∞）C．（2 +∞）D．[8， +∞）
2．（2022·湖南·高三月考）若直角坐标平面内，两点满足：①点，都在函数的图象上；②点，关于原点对称，则称点是函数的一个“姊妹点对”点对与可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数恰有两个“姊妹点对”，则实数的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
【变式演练】
1.已知函数，若关于的方程有且只有3个实数根，则实数的取值范围是___________.
2.已知定义域为的奇函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．
【题型11】 函数的不动点问题
【典例分析】
1．（2022•芒市校级期中）对于函数，若存在，使得成立，则称为函数的不动点．已知函数恒有两个互异的不动点，则实数的取值范围为： ．
2．（2022·安徽怀宁高三阶段练习（理））设D是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间D上存在“次不动点”，若函数在区间[1，4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是（ ）
A．[,+∞)B．C．(-∞,0)D．(0, )
【变式演练】
1．（2022·云南大理·模拟预测（理））在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山西·高三专题练习）对于函数，若存在实数，使成立，则称为关于参数的不动点.若在上存在两个关于参数的不动点，则参数的取值范围是（ ）.
A． B．或 C． D．
【题型12】 切线法解决零点问题
【解题技巧】当分离参数较困难时，可以“分离函数”，一般情况下，一侧多为直线，一侧是可以研究出图像的函数。
1）交点（零点）的个数和位置，多借助切线来寻找确定。2）切线虽然大多数可以通过导数来解得，但对于如一元二次等常见函数的切线，可以通过方程联立解决，这样可以简化一些计算。3）对于圆和圆锥曲线部分图像所获得的函数，导数求切线难度大，圆和圆锥曲线求切线的方法要注意总结掌握。
【典例分析】
1.已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式演练】
1.已知函数,则函数的零点个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知函数，若方程恰有三个根，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1．（2022·河南·高三月考（文））已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
2．（2022·河南·一模（理））已知函数，，，，这四个函数的部分图象如图所示，则函数，，，对应的图象依次是（ ）．
A．①③②④B．③②①④C．①④③②D．③④①②
3．（2022·河南·模拟预测（理））已知是方程的解，是方程的解，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·成都七中三模（理））已知函数，下列对于函数性质的描述，错误的是（ ）
A．是的极小值点 B．的图象关于点对称
C．有且仅有三个零点 D．若区间上递增，则的最大值为
5．（2022·四川凉山·二模）集合，是到的函数，方程恰好有两个不同的根，且，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．1或2D．4
6．（2022·湖北武汉·高二月考）已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（ ）A．1B．C．D．7.（2021·江西高三二模）已知函数，若恰有3个正整数解，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8.（2021·湖南高三三模）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓朴学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，简单来讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，给出下列函数：①；②③；④（）；⑤；其中为“不动点”函数的是_________.（写出所有满足条件的函数的序号）
9．（2022·湖南高三月考）设函数，若函数有三个零点，则（ ）
A．12B．11C．6D．3
10．（2022·天津高三一模）已知函数，它们的零点的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
11.（2022·奉新县高三三模）已知函数若方程的实根之和为6，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·吉林高三模拟）已知，若方程有三个不同的解，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·广东·揭东高三阶段练习）（多选）函数的定义域为I，若存在，使得，则称是函数的二阶不动点，也叫稳定点.下列函数中存在唯一稳定点的函数是（ ）
A． B． C． D．
14.函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（ ）
A．B．
C．D．
15.（2022.成都市高三期中）已知函数，函数有2个零点，则实数a的取值范围是____________．
16．（2022·安徽省滁州中学高三月考）已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上,则实数的取值范围是
A．B．C．D．
1．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高考真题（理））函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
4.（2018·全国高考真题（理））已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
5．（2020·天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.
8.（2021·北京高考真题15题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，则有两个零点； ②，使得有一个零点；
③，使得有三个零点；④，使得有三个零点。
以上正确结论的序号是 。
9．（2019·江苏高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
10．（2017·江苏高考真题）设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是____________.