【高考二轮题型复习】2023年高考数学题型精讲精练学案（全国通用）——专题01 函数值的大小比较（原卷版+解析版）

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函数值的大小比较在近年的高考中经常出现，并且呈现出试题越来越难的趋势，基本在选择题最后3道中出现。前些年通常考查利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性或图象比较大小，近两三年考查趋势转移到构造复杂函数，利用导函数研究所构造的函数的单调性，再利用赋值比较大小。特别是去年高考题中该类题型越来越刁钻，常规解法已无法满足解题所需。
函数值的大小比较所需知识主要考查学生函数部分知识的掌握情况，解题同时需要的技巧多，试题灵活，突出对函数单调性的运用，考查学生的数形结合与方程思想，及构造、放缩等相关知识。
一、热点题型归纳
题型1、利用单调性（或图象）比较大小
题型2、利用0，1比较大小
题型3、取介质比较大小
题型4、利用换底公式比较大小
题型5、分离常数再比较大小
题型6、作差法与作商法比较大小
题型7、利用均值不等式比较大小
题型8、构造函数法比较大小（型函数）
题型9、构造函数比较大小（综合型）
题型10、放缩法比较大小
题型11、函数奇偶性和单调性等综合
题型12、三角函数值比较大小
二、最新模考题组练
三、十年高考真题练
【题型1】利用单调性（或图象）比较大小
【解题技巧】
当底数相同，或指数（真数）相同时，一般函数单调性（图象）进行大小比较即可。
若底数、指数（真数）可转化相同，也可以采用上述方法。一般在转化时还会用到指数或对数的运算性质。
【典例分析】
例1.（2022·河南·开封高三阶段练习），，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由幂的运算法则把幂的幂指数化为相同，然后由幂函数的单调性比较大小．
【详解】，，是增函数，，∴ 故选：C．
例2．（2022·绵阳市·高三模拟）已知a＝lg23.6，b＝lg43.2，c＝lg43.6，则( )．
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b
【答案】B
【详解】试题分析：利用换底公式可得a=lg23.6=lg43.62，然后根据对数函数y=lg4x在（0，+∞）的单调性可进行比较即可．
解：∵a=lg23.6=lg43.62 ∵y=lg4x在（0，+∞）单调递增，
又∵3.62＞3.6＞3.2∴lg43.62＞lg43.6＞lg43.2即a＞c＞b故选B
点评：本题考查利用对数函数的单调性比较对数值大小，考查了换底公式的应用，是基础题．
【变式演练】
1.（2023·重庆·高三专题练习）已知，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．c＜b＜a
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答.
【详解】函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即，
又函数 在上单调递增，且，于是得，即，
所以a、b、c的大小关系为．故选：C
2．（2022·河南·高三模拟）若a＞b＞0，0＜c＜1，则
A．lgac＜lgbcB．lgca＜lgcbC．ac＜bc D．ca＞cb
【答案】B
【详解】试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.
所以本题选B.
【点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
【题型2】利用0，1比较大小
【解题技巧】
当底数和指数（真数）都不同时，一般采用特殊介质0，1进行大小比较，同时注意结合图像及特殊值。
因为幂指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1比较大小；
特别注意几个特殊值：，，。
【典例分析】
例1．（2022·广西柳州·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用对数的运算及对数函数的性质进行比较大小.
【详解】因为，所以；因为，所以，
，，而，所以，即.故选：A.
例2．（2022·青海·高三模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；
【详解】解：因为，，即，
又，所以.故选：B
【变式演练】
1．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】，，，，
，，.故选：D.
2．（2019·全国·高考真题（文））已知，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】则．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
【题型3】取介质比较大小
【解题技巧】
除了题型2中的介质（0，1），一般寻找其他的介质会稍微困难一些，可以适当的积累总结规律。
1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
2）可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值。
【典例分析】
1.（2021新高考全国2卷） 已知,,,则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用即介质，即可比较a与c，b与c的大小关系.
【详解】,所以; ，即;
综上，,故选：C.
【点睛】本题考查对数比较大小问题，难度不较大，关键难点是找到合适的介质.
2．（2022·安徽·肥东县模拟预测（文））若，，，，则，，这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取，可得出，，这三个数的大小，即可得出答案.
【详解】因为， 所以取，则，
，，所以.故选：C.
【变式演练】
1．（2022·天津·高三模拟）已知，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用等中间值区分各个数值的大小．
【详解】，，，故，
所以．故选A．
【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．
2．（2022·山东·高三期中）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指数函数和对数函数的性质，与中间量1，2比较大小即可得到结果．
【详解】因为，，，
所以．故选：C．
【题型4】利用换底公式比较大小
【解题技巧】
利用换底公式大多时候是将对数式转化为同底数，再利用其他性质解决大小比较即可。
【典例分析】
例1．（2020·全国·高考真题（理））已知55