【备考2023】高考数学二轮专题总复习精讲精练（全国通用）——专题2-1+函数性质及其应用+ 学案（原卷版+解析版）

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 专题2-1 函数性质及其应用
目录
讲高考 1
题型全归纳 5
【题型一】“和定为轴”型 5
【题型二】自变量与函数值“和”为定值型 9
【题型三】”差定为期”型 11
【题型四】“类正弦函数”型 13
【题型五】“系数不为1” 17
【题型六】一个特殊的中心对称函数 20
【题型七】“类周期”函数型 23
【题型八】“取整函数”的性质 27
【题型九】“跟随函数”型 29
【题型十】“复合二次”型函数 32
【题型十一】“嵌套函数”型 36
【题型十二】“存在对称点”型 40
专题训练 43

讲高考
1．（2022·全国·高考真题（理））已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以。因为，所以.
所以.故选：D
2．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
3．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．



所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
4．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
5．（2013·全国·高考真题（理））若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.
【答案】16；
【详解】依题意，为偶函数，
展开式中的系数为，故，的系数为，故，令，得，由对称轴为-2可知，将该式分解为，可知其在和处取到最大值，带入，可知最大值为16.
【学科网考点定位】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力.
6.(2022年高考全国乙卷数学（文）真题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.


题型全归纳

【题型一】“和定为轴”型
【讲题型】
例题1.
已知函数，函数有2个零点，则实数a的取值范围是____________．
【答案】或
【分析】本题考查了导数的几何意义，函数的零点与函数图象的关系，
作出的函数图象，结合函数图象求出当直线与的图象有两个交点时的斜率范围即可．
【详解】解：函数，函数的图象关于对称，绘制函数图像如图所示，

函数有2个零点则函数与函数有2个交点，
当斜率为零，即时，由图像可得有两个交点，则成立；
当斜率不为零，即时，
如图所示，考查临界情况，当直线与函数相切时，
设切点坐标为，由题意可得：,解得则直线与函数相切时斜率为，
数形结合可知实数a的取值范围是．综上，答案为：或．
例题2.
.已知是R上的偶函数，且，，当，且时，，则当时，不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用单调性的定义判断得在上单调递减，由偶函数的性质得到关于轴对称，由得到关于对称，再由求得，从而列出与在上的正负情况，由此得到的解集.
【详解】因为当，且时，，不妨设，则，故，即，所以在上单调递减，
又因为是R上的偶函数，所以关于轴对称，故在上单调递增，
因为，所以，又因为，所以关于对称，故在上单调递增，即在上单调递增，且，
所以与在上的单调与正负情况如下：


















0





增

减

减

增

增












由上表可知，的解集为.故选：D.

【讲技巧】
函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称；
简称“和定为轴”
【练题型】
1.定义在R上的偶函数满足，当时，，若在区间内，函数有5个零点，则实数m的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函数的奇偶性和对称性可知是周期为的函数，结合奇偶性和函数解析式可得当的解析式，转化在上有5个零点，转化为函数与在上有5个交点，结合图象，求解即可.
【详解】由题，令替换，则，
又是偶函数，所以，则，所以是周期函数，，
因为当时，，则当，即时，，
因为在上有5个零点，所以与在上有5个交点，
如图所示，又，，
所以当时，在上有两个零点，此时需要，即，所以，所以；
当时，在上有一个零点，
此时需要，即，所以；所以，故选：C
2.定义在上的可导函数，其导函数记为，满足，且当时，恒有.若，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由，构造函数，易得当，为增函数，且由题设可得，所以函数的图象关于直线对称，结合与的关系，函数的对称性与单调性性质，即可求解.
【详解】令，则.∵当时，恒有，即，
∴当时，函数为增函数.而，
——①——②
把②代入①得：∴.
∴函数的图象关于直线对称，
∴函数在上为增函数，在为减函数.由，
得，即，
∴，解得.∴实数的取值范围是.故选：A
3.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（a-x），若函数y=|x2-ax-5|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），且=2m，则a=（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D∵f（x）=f（a-x），∴f（x）的图象关于直线x=对称，又y=|x2-ax-5|的图象关于直线x=对称，
当m为偶数时，两图象的交点两两关于直线x=对称，∴x1+x2+x3+…+xm=•a=2m，解得a=4．
当m奇数时，两图象的交点有m-1个两两关于直线x=对称，另一个交点在对称轴x=上，
∴x1+x2+x3+…+xm=a•+=2m．解得a=4．故选：D．
【题型二】自变量与函数值“和”为定值型
【讲题型】
例题1.对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断函数的对称中心______.
【答案】
【分析】根据点是图像的一个对称中心的充要条件，列出式子，即可得出结果.
【详解】解：因为，由于
.即，.所以是的一个对称中心.
故答案为：.
例题2.已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据条件先分析的结果，由此确定出的奇偶性和单调性，再将问题转化为“已知，求解的取值范围”，根据单调性列出关于的不等式并求解出结果.
【详解】由题可知且
，，令，则且定义域为关于原点对称，即为奇函数， 函数与在上均单调递增，
与在上单调递增，在上单调递增，即在上也单调递增且，又为奇函数，在上单调递增，
不等式等价于，
，在R上单调递增，，解得，
实数a的取值范围是，故选：A.
【讲技巧】
若满足，则关于中心对称

【练题型】
1.设函数，若对于任意实数，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，求出该函数的定义域为，分析出函数为奇函数且在上为增函数，将所求不等式变形为，可得出，进而可求得实数的取值范围.
【详解】设，对任意的，，
所以，函数的定义域为，，
所以，函数为奇函数，当时，对于函数，内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以，函数在上为增函数，所以，函数在上为增函数，
由于函数为奇函数，则该函数在为增函数，
又函数在上连续，所以，函数在上为增函数，
由得，
即，，
所以，.令，构造函数，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，，所以，，解得.故选：D.
2.函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】
先化简，然后分析的奇偶性，将的最大值和小值之和转化为和有关的式子，结合对勾函数的单调性求解出的取值范围.
【详解】
，
令，定义域为关于原点对称，
∴，
∴为奇函数，∴，∴，
，由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，
∴，，，∴，∴，
故答案为：.
3.已知函数满足，若函数与图像的交点为，则____________.
【答案】10
【分析】
由已知得到函数是关于点对称，函数经过化简也关于对称，由此可知两个函数的交点就关于对称，根据点的对称性，就可以得到的值.
【详解】
因为函数满足，即满足，
所以是关于点对称，
函数关于点对称，
所以函数与图像的交点也关于点对称，
故交点成对出现，且每一对点都关于对称，
故.
故答案为：10.

【题型三】”差定为期”型
【讲题型】
例题1.若偶函数在定义域内满足，且当时，；则的零点的个数为（    ）
A．1 B．2 C．9 D．18
【答案】D
【分析】由题，的零点的个数即的交点个数，再根据的对称性和周期性画出图象，数形结合分析即可
【详解】由可知偶函数周期为2，故先画出时，的函数图象，再分别利用偶函数关于轴对称、周期为2画出的函数图象，则的零点个数即为的零点个数，即的交点个数，易得在上有个交点，故在定义域内有18个交点.

故选：D
【讲技巧】
对定义域内任意有，则周期为.
若,则周期为,若满足,周期均为,为非零常数;

【练题型】
1.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数，将函数零点转化为求两个函数图象交点的个数即可，作出图象观察得出结论.
【详解】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．
在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：

观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．故选：D.
2.定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题可得函数的周期为2，函数与的图象在区间上有4个交点，利用数形结合即得.
【详解】因为定义在R上的函数满足，
所以，即是周期为2的函数，
由，可得，
因为在区间上函数恰有4个不同的零点，
所以函数与的图象在区间上有4个交点，
作出函数与的大致图象，

由图象可知，解得，
即实数m的取值范围为.故选：D.
3.已知函数满足，当时，，则在上的零点个数为（    ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】由题意可得函数的周期为，令可知当时，有两个零点，又因为，即可得出在上的零点个数.
【详解】因为函数满足，所以，
所以函数的周期为，
当时，，
令，解得：或或（舍去），
所以当时，有两个零点，
所以在上的零点个数为，
又因为，所以在上的零点个数为个.
故选：D.
【题型四】“类正弦函数”型
【讲题型】
例题1.函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据条件判断函数周期为，求出函数在一个周期内的解析式，将函数的零点转化为与直线只有一个交点，结合函数图像，即可求解.
【详解】函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，，
，即，
的周期为.时，，，
，，周期为4，，
当，当，
做出函数图像，如下图所示：令，
当，，，两边平方得，
，此时直线与在函数图像相切，与函数有两个交点，
同理，直线与在函数图像相切，与函数有两个交点，
则要使函数在内与直线只有一个交点，则满足，周期为4，
范围也表示为，所以所有的取值范围是.
故选:D.
例题2.已知是定义域为的奇函数，满足.若，则
A．-2019 B．1 C．0 D．2019
【答案】C
【分析】
推导出函数 为周期为4的周期函数，
， 由此能求出
【详解】
是定义域为的奇函数，满足，则有 ，又由函数 为奇函数，则 ，则有
则函数 是周期为4的周期函数，
，

【讲技巧】
若函数关于轴对称，关于中心对称，则函数的周期为，
若函数关于轴对称，关于轴对称，则函数的周期为，
若函数关于中心对称，关于中心对称，则函数的周期为.

【练题型】
1.已知定义在R上的偶函数满足且时有，而在区间上至多有10个零点，至少有8个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
有已知条件可得函数周期为4，由为偶函数即可得，由题意知在区间上零点问题可转化为函数与有交点且零点个数即为函数图象交点的个数，结合函数图像分析即可求的取值范围
【详解】
由时有，知：
∴，即的周期为4
∵在R上为偶函数，令，则
∴
综上，周期为4的函数
在区间上有零点，则有，即可转化为函数与有交点，因为图象必过，在上至多有10个交点，至少有8个交点，即可得到如下函数图象

由图知：有8个交点时，必过，即

由图知：有10个交点时，必过，即
∴故选：D
2.已知是定义在上的奇函数，且．当时， ，则函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】D
【分析】
先分析得到函数的周期和对称轴，再作出函数的图象，利用对称性得解．
【详解】
由题意得，，∴，即周期为4．
∵，∴的图象关于对称．作出图象如图所示，
则的零点即为图象与图象的交点的横坐标，
四个交点分别关于点对称，则，即零点之和为8，
故选:D．

3.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且当时，.若，则（    ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】由为偶函数，为奇函数得到，故函数的周期，结合得到，由得，从而求出，采用赋值法求出，，再使用求出的的周期，赋值法得到.
【详解】因为为偶函数，所以，用代替得：，
因为为奇函数，所以，故①，
用代替得：②，由①② 得：，
所以函数的周期，所以，即，
因为，令得：，故，，解得：，
所以时，，因为，令，得，
其中，所以，因为，
令得：，即，
因为，所以，因为，令得：，
故，.故选：C
【题型五】“系数不为1”
【讲题型】
例题1.已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（    ）
A．函数的周期为2 B．函数关于直线对称
C．函数关于点中心对称 D．
【答案】C
【分析】根据为偶函数推导出，根据为奇函数，得到，得到函数的图象关于点对称，故B错误，C正确；
由由及推导出，故周期为4，A错误；
根据函数的周期性求出，D错误.
【详解】∵为偶函数，∴，∴，
故即，∴函数的图象关于直线对称.
∵为奇函数，∴，
∴，所以函数的图象关于点对称，故B错误，C正确；
由及知，，∴，
∴，即，∴，故
∴函数的周期为4，A错误，
，故D错误.
故选：C.
【讲技巧】
对于“系数不为1”的复合型函数，一般情况下，内函数多为一次函数型：
涉及到奇偶性时处理方法有：
1.利用奇偶性直接替换题中对应的变量。
2.类比三角函数
23.引入新函数，如

【练题型】
1.若函数的定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则下列说法正确的个数为（    ）
①的一个周期为2                ②
③的一条对称轴为            ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由题意，根据函数的对称性，可得，，且，根据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根据函数的轴对称性的性质，可判③的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函数的对称性，可得，，可判④的正误.
【详解】因为偶函数，所以，则，即函数关于直线成轴对称，
因为函数的图象是由函数的图象向左平移个单位，所以函数关于点成中心对称，则，且，
对于①，，
，则函数的周期，故①错误；
对于②，，故②正确；
对于③，，故③正确；
对于④，，则，
，则，
由，则，故④正确.
故选：C.
2.已知定义在上的函数，满足为奇函数且为偶函数，则下列结论一定正确的是（    ）
A．函数的周期为 B．函数的周期为
C． D．
【答案】C
【分析】推导出，，可推导出函数的周期，可判断AB选项的正误；利用函数的周期性和对称性可判断CD选项的正误.
【详解】因为函数为奇函数，则，
令，则，
所以，对任意的，，
故函数的图象关于点对称，
因为函数为偶函数，则，
令，可得，
所以，对任意的，，故函数的图象关于直线对称，
所以，，
所以，，则，
所以，函数的周期为，AB都错；
对任意的，，令，可得，
，
的值不确定，C对D错.
故选：C.
3.已知是定义在R上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法一定正确的是（    ）．
A．函数的图象关于直线对称 B．函数的周期为2
C．函数关于点中心对称 D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性、对称性与周期性对选项逐一分析即可.
【详解】因为为偶函数，所以，
所以，，
所以函数关于直线对称，不能确定是否关于直线对称，A错误；
因为为奇函数，所以，
所以，所以，
所以函数关于点中心对称，故C错误，
由与得，即，
故，所以函数的周期为4，故B错误；
，故D正确．
故选：D．
【题型六】一个特殊的中心对称函数
【讲题型】
例题1.设函数是的导数，经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足，已知函数，则
A．2021 B． C．2022 D．
【答案】B
【分析】
通过条件，先确定函数图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和.
【详解】
由，可得，，令，得，又，所以对称中心为，所以，…，，.
所以．
故选：B.
例题2.函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知任意一个一元三次函数的图象均为中心对称图形，若，则的值为（    ）
A．－4 B．－2 C．0 D．2
【答案】A
【分析】设的对称中心为，令，根据为奇函数建立关系即可求出的对称中心为，则，由此即可求得答案．
【详解】设的对称中心为，
设，
则为奇函数，由题可知，且，
所以，即，
则，
整理得，
所以，解得，
所以函数的对称中心为；
所以，
．
故选：A．

【讲技巧】
设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，
【练题型】
1.对于三次函数（），给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（    ）
A．2014 B．2013 C． D．1007
【答案】A
【分析】根据对称中心的定义，由二阶求导可求出对称中心，进而根据对称中心的特征求解.
【详解】，所以，令 ， ，所以的对称中心为 ，

故选：A
2.一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为（），且有三个零点，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，用a表示，再求出的极大值与极小值，列式求解作答.
【详解】由函数求导得：，则，
由解得，则有，
，当或时，，当时，，
则在，上单调递增，在上单调递减，
因此，当时，取得极大值，当时，取得极小值，
因函数有三个零点，即函数的图象与x轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，，
于是得，解得，综上得：，实数a的取值范围是.故选：A.
3.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（    ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即，即可得到结论．
【详解】解：因为，所以，，由，得，
解得，而，故函数关于点对称，
故，
所以，所以
故选：D
【题型七】“类周期”函数型
【讲题型】
例题1..对于函数，有下列3个命题：
①任取，都有恒成立；
②，对于一切恒成立；
③函数在上有3个零点；
则其中所有真命题的序号是 .
【答案】①③.
【解析】
试题分析：函数的图像如图所示：

①的最大值为1，最小值为-1，所以任取，都有恒成立，即①正确；②，所以不正确；③函数在上有3个零点；故应选①③.
例题2.定义在R上的偶函数f(x) 满足①当 x≧-1时都有f(x＋2)＝2f(x)，②当x∈[0,1)时，f(x)＝x2；则在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k零点个数最多时，实数k的取值范围是________．
【答案】
【分析】
先根据函数为偶函数得到，再根据得到，画出函数的图像可得与前者有最多的交点时的取值范围．
【详解】
当时，，，又，故，所以当 时，，
当时，， ，
而，故函数的图像如图所示.
的图像恒过，它与的图像最多有5个交点，
此时．填．


【讲技巧】
如果函数在上满足，则此类函数在局部范围上具有与周期函数相类似的性质．初期学习可以通过左右“仿写”来画图像。
【练题型】
1.已知函数，如果函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是________
【答案】
【分析】
先求出函数的解析式，作出函数的图象，由题得有三个不同的实根，数形结合分析得到实数k的取值范围.
【详解】
当1＜x≤2时，f(x)=-x+2,
当时，1＜2x≤2，所以f(x)=,
当时，＜2x≤1，所以f(x)=,
当时，＜2x≤，所以f(x)=,
当时，＜2x≤，所以f(x)=,

所以函数的图象为：

其图象为线段PA,EB,GC,HD,,(不包括上端点A,B,C,D,)直线y=k(x-1)表示过定点P(1,0)的直线系，
由题得C(),D(),当直线在PD(可以取到)和直线PC（不能取到）之间时，直线和函数f(x)的图象有三个不同的交点，由题得.所以k的取值范围为.故答案为
2.若 则在内的所有零点之和为：__________．
【答案】
【分析】
函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x≤2，f（x）是二次函数，当x＞2时，利用函数的性质求解各区间上零点，最后作和求出．
【详解】当时，f（x）＝8x﹣8，所以，此时当时，g（x）max＝0；
当时，f（x）＝16﹣8x，所以g（x）＝﹣8（x﹣1）2+2＜0；由此可得1≤x≤2时，g（x）max＝0．
下面考虑2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）的最大值的情况．当2n﹣1≤x≤3•2n﹣2时，由函数f（x）的定义知，因为，所以，
此时当x＝3•2n﹣2时，g（x）max＝0；
当3•2n﹣2≤x≤2n时，同理可知，．
由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）max＝0．
综上可得：对于一切的n∈N*，函数g（x）在区间[2n﹣1，2n]上有1个零点，
从而g（x）在区间[1，2n]上有n个零点，且这些零点为，因此，所有这些零点的和为．
故答案为．
3..定义在上的函数满足:①当时，；②对任意都有.设关于的函数的零点从小到大依次为若，则____________.
【答案】
【分析】
①当，时，；②对任意，都有．，时，，．可得，，画出图象，设关于的函数的零点从小到大依次为，，，，，同理，则，在区间和上各有1个零点，分别为，，且满足，依此类推：，，．再利用等比数列的求和公式即可得出．
【详解】
①当，时，；
②对任意，都有．，时，，．
，
，
画出图象，

设关于的函数的零点从小到大依次为，，，，，
同理，则，在区间和上各有1个零点，
分别为，，且满足，
依此类推：，，．
当，时，
，故答案为．


【题型八】“取整函数”的性质
【讲题型】
例题1.定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据条件分析出当时，集合中的元素个数为，进而可得，再结合裂项相消法进行求和可得结果.
【详解】
因为，所以，
所以在各个区间中的元素个数分别为：，
所以当时，的值域为，集合中元素个数为：
，
所以，
所以，
故选：D.
例题2.已知函数，（表示不超过的最大整数，例如，），则关于和这两个函数，以下说法错误的是（ ）
A．是上的增函数 B．是奇函数
C．是非奇非偶函数 D．的值域是
【答案】D
【分析】
根据函数的奇偶性定义可判断选项B，C，再通过求导判断选项A，通过的值域求得的值域.
【详解】
由，得，故函数在上单调递增，A选项正确；
，故函数为奇函数成立，B选项正确；
由题意，，故，，故为非奇非偶函数，C选项正确；
又，又，故，故，D选项错误；
故选：D.
【讲技巧】
取整函数表示不超过的最大整数，又叫做“高斯函数”，


【练题型】
1.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由为奇函数，可先分析函数时值域，即可得函数在R上值域，利用高斯函数的意义求解即可.
【详解】因为，，所以是上的奇函数.
当时，，所以当时，，
从而的值域为.故选：B
2.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f(x)＝×4x－3×2x＋4(0x2)，则函数y＝[f(x)]的值域为（ ）
A． B．{－1，0，1}
C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2}
【答案】B
【分析】
令，换元后求得函数的值域，再根据高斯函数定义得的值域．
【详解】
令t＝2x，t∈(1，4)，则g(t)＝t2－3t＋4，t∈(1，4).由二次函数性质，－≤f(t)，因此[f(t)]∈{－1，0，1}.则函数y＝[f(x)]的值域为{－1，0，1}.
故选：B.
3.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：.已知，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用常数分离法将原函数解析式化为，然后分析函数的值域，再根据高斯函数的含义确定的值域.
【详解】
，
当时，，则，故，故；
但时，，则，故，；
综上所述，函数的值域为.故选：C.
【题型九】“跟随函数”型
【讲题型】
例题1.已知函数，若存在区间，使得函数在区间上的值域为则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数的单调性可知，，即得，故可知是方程的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．
【详解】根据函数的单调性可知，，即可得到，
即可知是方程的两个不同非负实根，
所以，解得．故选：D．
例题2.已知是定义在上的奇函数，当时，，若存在实数，使在上的值域为，则的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】
由已知画出函数的图象且得，分和两种情况进行讨论，利用函数的单调性可得答案.
【详解】
因为为奇函数，所以，如图，

由区间概念可推知，得，
（1）当时，，从而，即，所以，由图得在上为减函数，所以，这两个关系等价于“，是方程的两个根，且”，
由方程，得，解得，，所以，，即；
（2）当时，
，从而，即，所以，
由图得在上为减函数，所以，这两个关系等价于“，是方程的两个根，且”，
由方程，得，解得，，
解得，，即，故选：D.

【讲技巧】
“跟随函数”有多种定义形式，如以下常见的几种定义：
1.若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”.
2.如果函数在定义域的某个区间（）上的值域恰为（），则称函数为上的k倍域函数，称为函数的一个k倍域区间．
3.如果函数在定义域内存在区间，使得该函数在区间上的值域为，则称函数是该定义域上的“和谐函数”.

【练题型】
1.设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为（且），则称为“倍函数”，若函数为“3倍函数”，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数与方程的关系得：函数为“3倍函数”，即函数的图像与直线有两个不同的交点，设，再利用导数可得求出的单调区间，只需，即可求出
【详解】因为函数为增函数，由函数为“3倍函数”，即函数的图像与直线有两个不同的交点，设，则，又，所以，则当时，，
当时，，所以函数在为减函数，在为增函数，
要使的图像与直线有两个不同的交点，则需，即
所以， 所以 所以 所以 所以 即
又，所以 故选A         
2.设函数，若存在实数，使在上的值域为，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题设可知该复合函数在区间上单调递减，则可得，.由这两式联立可转化得，以及，记，，代入整理后可得，最后根据二次函数值域的求法，再结合题中对的限制条件（），即可求出最终结果.
【详解】由得，且由复合函数的单调性可知函数为减函数，故有，，两式相减可得，即，
则，两式相加可得，记，，
故有，，，代入可得，
又因为，且均为非负数，故，则由二次函数的值域可得：
当或时，取到最大值，但当时，，与矛盾，则取不到最小值，所以的取值范围是.故选：A.
3.设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据定义及函数单调性，分析可得关于x的方程，判断出方程有两个不等的实数根；构造函数，通过求导求得极值点，代入后求得t的最大值．
【详解】因为函数为“倍缩函数”，且为递增函数
所以存在，使在上的值域为。则 ，由此可知等价于 有两个不等实数根。令则，令解得
代入方程得解得，因为有两个不等的实数根
所以t的取值范围为所以选B
【题型十】“复合二次”型函数
【讲题型】
例题1.已知函数，则函数有5个零点时m的范围_____________.
【答案】
【分析】
首先研究函数的性质得到函数的图像，然后结合复合函数的性质和二次函数的图像即可确定m的取值范围.
【详解】当时,，在区间上，单调递减，
在区间上，单调递增，故函数在处取得极小值，
据此绘制函数的图像如图所示，结合函数图像和题意可知原问题等价于函数与函数有两个交点，且交点的横坐标的范围分别位于区间和区间内，
观察二次函数的图像可得m的范围是.
例题2.已知函数是定义在上的偶函数，当时， ，若函数有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得或.因为当 时，单调递增且 ；当 时，单调递减且 ；又函数是定义在上的偶函数，所以当 时， ；当或 时， ；因此有四个根，从而必须有且仅有两个根，即 ，选A.

【讲技巧】
已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：
(1) 直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y=gx,y=hx的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y=a,y=gx的交点个数的图象的交点个数问题 .

【练题型】
1.已知函数，又，若方程有个不同的实根，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
时，，，由此可得，，递增，时，，递减，，因此在时，，当时，易知是增函数，且，，由得，设，显然不是此方程的解，因此有4个不同的实根，则有两个不等实根，其中，所以，解得．故选C．
2.定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不等的实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据偶函数画出函数图像，得到的根的个数情况，根据
有且仅有6个不等的实数根得到 或
，再根据韦达定理得到答案.
【详解】当时，，为偶函数。画出函数图像，如图所示：

根据图像知：
当时：无解；
当时：有2个根；
当时：有4个根；
当时：有2个根；
当时：有1个根；
当时：无解；
有且仅有6个不等的实数根
和满足： 或则满足：
则满足： 综上所述：故选：
3.已知函数 ，则函数 的零点个数是 个时，下列选项是 的取值范围的子集的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】当 时， ，当 时， ，令 则 ,显然 是一个零点，当与相切时， ；直线过点 时 ；直线与 必有一个交点
当时，的根有三个 ，而对应的解有1,3,3个，不满足，所以舍去B；当时，的根有两个 ，而对应的解有1,3个,满足条件；当时，的根有三个 ，而对应的解有1,2,3个，不满足，所以舍去D；当时，的根可能四个 ，而对应的解有1,0,3，2个，不满足，所以舍去C；综上选A.


【题型十一】“嵌套函数”型
【讲题型】
例题1.已知函数fx为R上的奇函数，当x≥0时fx=x2-2x，若函数gx满足gx=fx,x≥0-fx,x