【备考2023】高考数学二轮专题总复习精讲精练（全国通用）——专题4+向量综合归类 学案（原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc13353" 讲高考 PAGEREF _Tc13353 \h 1
\l "_Tc15777" 题型全归纳 PAGEREF _Tc15777 \h 4
\l "_Tc10258" 【题型一】向量夹角 PAGEREF _Tc10258 \h 5
\l "_Tc32101" 【题型二】线性运算1：基底型基础 PAGEREF _Tc32101 \h 7
\l "_Tc999" 【题型三】线性运算2：双线交点型 PAGEREF _Tc999 \h 9
\l "_Tc20379" 【题型四】线性运算3：“赵爽弦图”模型 PAGEREF _Tc20379 \h 13
\l "_Tc14019" 【题型五】向量基底“象限坐标轴” PAGEREF _Tc14019 \h 16
\l "_Tc10928" 【题型七】向量最值 PAGEREF _Tc10928 \h 20
\l "_Tc31280" 【题型八】数量积 PAGEREF _Tc31280 \h 23
\l "_Tc21388" 【题型九】模及其应用 PAGEREF _Tc21388 \h 26
\l "_Tc21203" 【题型十】投影 PAGEREF _Tc21203 \h 28
\l "_Tc18969" 【答案】-1 PAGEREF _Tc18969 \h 28
\l "_Tc32613" 【题型十一】面积与奔驰定理 PAGEREF _Tc32613 \h 29
专题训 \l "_Tc24283" 练 PAGEREF _Tc24283 \h 33
讲高考
1．（2022·全国·统考高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵∴9，∴故选：C.
2．（福建·高考真题）已知，点C在内，且.设，则等于（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得,建立坐标系，由已知条件可得，进而可得，即可得答案.
【详解】解：因为，
所以,又因为点C在内，且，建立如图所示的坐标系：
则,,
又因为，所以，所以，
所以.故选：B.
3．（山东·高考真题）在直角中CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据向量模、数量积的运算对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，A选项正确.
B选项，，B选项正确.
C选项，
，C选项错误.
D选项，根据三角形的面积公式可知：
,
结合AB选项的分析可知：
，D选项正确.故选：C
4．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
5．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
6．（全国·高考真题）向量满足，且，则与夹角的余弦值等于___________．
【答案】##
【分析】利用向量数量积公式得到，解出即可.
【详解】
解得.
故答案为：.
7．（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
题型全归纳
【题型一】向量夹角
【讲题型】
例题1.已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设与夹角为，与所成夹角为，利用平面向量的数量积可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范围，即可得解.
【详解】
设与夹角为，与所成夹角为，
，
所以，，①
，②
又，③
②与③联立可得，④
①④联立可得，
当且仅当时，取等号，，，则，
故与所成夹角的最大值是，故选：A.
例题2.已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据，，为单位向量，变形后平方可得：，，，利用夹角公式求出与夹角的余弦值.
【详解】
，，为单位向量.
对两边平方，即，可得：；
由可得：，两边平方，可得：；
由可得：，两边平方，可得：，所以．
．故选：A
【练题型】
1.已知，，则向量与的夹角为（ ）
A．90°B．60°C．30°D．0°
【答案】A
【分析】
结合空间向量的夹角坐标运算公式以及三角恒等变换化简求出夹角的余弦值，进而可得到结果.
【详解】
因为，，
所以，，
设向量与的夹角为，则
，
2.已知向量，满足，，，设与的夹角为，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由已知条件，求出及，然后利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】
解：因为，，，所以，
所以，，
所以，故选：C.
3.已知两个单位向量，的夹角为，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先由数量积的定义及运算律求出，再由夹角公式求解即可.
【详解】
，，
设与的夹角为，则，又，则与的夹角为.故选：A.
【题型二】线性运算1：基底型基础
【讲题型】
例题1.在中，，，且，则（ ）
A．1B．C．D．-1
【答案】C
【分析】
根据向量的线性运算法则，化简得，再结合，求得以的值，即可求解.
【详解】
由题意在中，，，
根据向量的线性运算法则，可得：
，
又由，所以，所以.故选：C.
例题2.设为所在平面内一点，，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
画出图形，由平面向量的线性运算法则结合图形即可得解.
【详解】
由题意画出图形，如图，
因为，为的中点，
所以，,
所以
.故选：A.
【练题型】
1.设M是边BC上任意一点，N为AM的中点，若，则的值为( )
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】
设，通过，再利用向量的加减运算可得，结合条件即可得解.
【详解】
设，
则有.
又，
所以，有.故选B.
2.已知在中，点M在边BC上，且，点E在边AC上，且，则向量（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据平面向量的线性运算得，由此可求出答案．
解：∵，，∴，，
∴，故选：B．
3.已知在平行四边形中，点、分别是、的中点，如果，，那么向量（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
作出图形，利用平面向量加法法则可求得结果.
【详解】如下图所示：
点、分别是、的中点，.故选：B.
【题型三】线性运算2：双线交点型
【讲题型】
例题1.如图，中，与交于，设，，，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
延长交于点，由于与交于，可知：点是的重心，利用三角形重心的性质和向量的平行四边形法则即可得到答案．
【详解】
延长交于点；与交于，
点是的重心，，，
又
，则为；故答案选A
例题2.在中，，，直线与交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由向量三点共线，以及由基底的不同表示，由此能求出，．
解：因为，所以
。设
所以，。由、、共线，所以
，．故选：D ．
【练题型】
1.中，、分别是、上的点，且，，与交于点，则下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
作出图形，连接，利用相似三角形计算得出，进而可得出，结合平面向量的基本定理可得解.
【详解】
如下图所示：
连接，则，，，，
因此，.
故选：D.
2.如图，在中，，，和相交于点，则向量等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】过点分别作交于点，作交于点，由平行线得出三角形相似，得出线段成比例，结合，，证出和，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得和表示.
【详解】解：过点分别作交于点，作交于点，
已知，，，则和，
则：且，即：且，所以，
则：，所以，解得：，
同理，和，则：且，
即：且，所以，
则：，即，
所以，即，得：，
解得：，四边形是平行四边形，
由向量加法法则，得，所以.
故选：B.
3.在中，交于点F，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】三点共线，，进而将用表示，同理利用三点共线，又将用表示，根据向量基本定理建立等量关系，即可求解.
【详解】由题意可知
三点共线，，三点共线，，
，，
，解得，.故选：D.
【题型四】线性运算3：“赵爽弦图”模型
【讲题型】
例题1.如图所示，在中，设，的中点为，的中点为，的中点恰为，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由向量的三角形法则以及向量中点关系结合向量的基本定理可表示出．
【详解】如图，连接，则，①.②
①②，得.③
又，④
将④代入③，得，解得.故选C.
例题2.我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的加法法则和数乘向量求解.
【详解】由题得
即，解得，即，
故选：B
【练题型】
1.如图是由等边△和等边△构成的六角星，图中的，，，，，均为三等分点，两个等边三角形的中心均为.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为，得出点的坐标，由向量的运算可求得的值，可得答案.
【详解】
由平行四边形法则，，所以，，所以
以点为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设等边三角形的边长为.则等边三角形的高为，
由，，，，，均为三等分点，则,所以
,,
所以，解得所以故选：B.
2.如图，在中，设，的中点为，的中点为，的中点为，若，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】根据平面向量基本定理及其几何意义，结合条件可得及，解方程可求得，即可得到m，n的值，所以得到结果.
【详解】解：由题意可得，
，①
，②
由①②解方程求得.
再由可得.
【题型五】向量基底“象限坐标轴”
【讲题型】
例题1.如图，，点由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
本题可利用平面向量基本定理和平行四边形法则将四个答案一一代入，然后判断点的位置，排除错误答案，即可得出结果.
【详解】
根据平面向量基本定理和平行四边形法则可知：
若取，则，点在阴影区域内，A正确；
若取，则，点在直线的上方，B错误；
若取，则，点在直线的下方，C错误；
若取，则，点在射线上，D错误，
故选：A.
例题2.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量，，其中（3，1），（1，3）．若λμ，且0≤μ≤λ≤1，那么C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】可以使用特殊点代入排除法，即取值，然后计算满足条件点的位置，然后排除到一定错误的答案．
【详解】当λ＝μ＝1时，（4，4），故可以排除C答案
当λ＝μ＝0时，（0，0），故可以排除B答案
当，时，（，），故可以排除答案A
故选D．
【练题型】
1.如图，在中，点是线段及、的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则在直角坐标平面上，实数对所表示的区域在直线的右下侧部分的面积是（ ）
A．B．C．D．不能求
【答案】A
【分析】由点是由线段及、的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，作的平行线，把中、所满足的不等式表示出来，然后作出不等式组所表示的可行域，并计算出可行域在直线的右下侧部分的面积即可.
【详解】如下图，过作，交的延长线于，交的延长线于，
设，，，，
则，
所以，得，所以.
作出不等式组对应的可行域，如下图中阴影部分所示，
故所求面积为，故选：A.
2.如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
分析：利用平面向量的线性运算，得出满足的不等关系，再利用线性规划思想求解.
详解：由题意，当在线段上时，，当点在线段上时，，∴当在四边形内（含边界）时，（＊），又，作出不等式组（＊）表示的可行域，如图，
表示可行域内点与连线的斜率，由图形知，，即，∴，，
【题型七】向量最值
【讲题型】
例题1.在直角梯形中， ， ， ， ， 分别为， 的中点，以为圆心， 为半径的圆交于，点在上运动（如图）.若，其中， ，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
建立如图所示的坐标系，则，，，，，，
设，其中，，，，
∵，∴，即，
解得，∴，
∵，∴，∴，
即的取值范围是，故选C.
例题2.已知平面向量，，满足，，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】
不妨设，，，，则求的最大值，即求的最大值，然后将问题转化为关于的方程有解的问题，最后求出的最值即可.
【详解】
根据题意，不妨设，，，，
则，所以求的最大值，即求的最大值，
由可得，
即，
因为关于的方程有解，所以，
令，则，
所以，
令，则，
当时，，
所以，所以，所以的最大值为，故选：C.
【练题型】
1.给定两个单位向量，，且，点在以为圆心的圆弧上运动，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
给定两个单位向量，，且则，
建立如图所示的坐标系，
则A（1，0），B（cs150°，sin150°），即设∠AOC= ，则因为则，
所以=
因为， 所以有最小值-1.
故选B
2.已知向量满足，若M为AB的中点，并且，则λ+μ的最大值是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，∵向量满足，
不妨取A(1,0),B(0,1).∵M为AB的中点，∴.∵.
∵，∴，设.
则当时取等号。
∴的最大值是.故选：B.
3.已知向量，，（），实数，满足，则的最大值为（ ）
A．4B．C．32D．36
【答案】D
【解析】
由可得，由此可得，故，由于，所以当时，，应选答案D。
【题型八】数量积
【讲题型】
例题1.已知四边形，是的垂直平分线，垂足为，为直线外一点．设向量，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
分析：由题意结合平面向量的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：，
由于，
故：，
即.
本题选择C选项.
例题2.在矩形ABCD中，||＝6，||＝3.若点M是CD的中点，点N是BC的三等分点，且BN＝BC，则·＝（ ）
A．6B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】根据向量的运算法则，求得，，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】由题意，作出图形，如图所示：
由图及题意，根据向量的运算法则，可得，
，
所以.故选C．
【练题型】
1.在中，，，，的垂直平分线交于，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由的垂直平分线交于，且可得为等腰直角三角形，且，；进而由可求出的长，从而求出的值.
【详解】解：因为的垂直平分线交于、，
所以为等腰直角三角形，，，
在中，，，，所以，
所以，，
所以.故选：C.
2.．已知向量，，，则（ ）
A．3B．C．4D．
【答案】B
【分析】首先设出点A（0,0）、C（x，y）的坐标，由已知条件，列出关于x、y的方程组，然后根据向量的差的计算性质表示出向量的坐标形式，并表示出向量的模，将以上列出的关于x、y的式子整体带入即可求得.
【详解】设 ,
即 （1） （2）
将（1）（2）代入上式解得：
故选B
3.在平面直角坐标系的轴的正半轴上取一点，在第二象限取一点，且，若，且，则的值为______.
【答案】.
【解析】分析：过作轴的垂线，垂足为，在中，，于是，，，详解：
如图所示，过作轴的垂线，垂足为，
则在中，，，
则在中，，于是，
，，
，故答案为.
【题型九】模及其应用
【讲题型】
例题1.已知向量满足，且，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据可知，利用数形结合的方式可确定所求夹角的正切值，进而求得结果.
【详解】由知：以为邻边的平行四边形的对角线相等，
以为邻边的平行四边形为矩形，即，如下图所示：
设向量与的夹角为，又，向量与的夹角为.故选：.
例题2.若两个非零向量，满足，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，设与的夹角为.由，可得，再将两边同时平方，将代入，变形可得的值，即可得答案.
【详解】设与的夹角为.∵，∴，
∴.①∵，∴②
由①②，解得.故选：D.
【练题型】
1.已知向量，，，则等于（ ）
A．B．C．5D．25
【答案】C
【分析】根据两边平方，即可得答案；
【详解】，
，
故选：C.
2.设非零向量，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由可得，利用数量积的运算性质结合条件可得答案.
【详解】，.
，
.故选：A
3.已知向量满足,,且在方向上的投影与在方向上的投影相等,则等于( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用向量数量积的几何意义可得，进而求出向量的夹角，再利用向量数量积求出向量的模即可.
【详解】
设两个向量的夹角为,则,
从而,,所以.
故选：A.
【题型十】投影
【讲题型】
例题1.已知，，＝120°，则向量在向量方向上的投影是________，向量在向量方向上的投影是________
【答案】－5 －1
【分析】
根据向量投影的定义，即可求解、
【详解】
根据向量投影的定义，向量在向量方向上的投影是
；
向量在向量方向上的投影是
例题2.已知向量,在上的投影为______
【答案】-1
【分析】
由已知及向量数量积性质,结合可求，然后代入可求在上的投影．
【详解】，，,
,
在上的投影为，故答案为-1．
【练题型】
1.已知向量，则在上的投影等于______________.
【答案】
【解析】
试题分析：在方向上的投影为:.
2.．已知，，则在方向上的投影为______.
【答案】.
【分析】
根据数量积的定义得出投影为．
【详解】
由题意投影为.
故答案为：．
3.设，若在方向上的投影为2，且在方向上的投影为1，则与的夹角等于_______________
【答案】
【详解】
由题意得
【题型十一】面积与奔驰定理
【讲题型】
例题1.已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比
解：，，如图：
，
，
、、三点共线，且，为三角形的中位线
而
例题2.如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由题，延长AP交BC于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量的关系，可得与的比值，再利用面积中底面相同可得结果.
【详解】延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，
所以，设
代入可得
即
又因为，即，且
解得 所以可得 因为与有相同的底边，所以面积之比就等于与之比所以与的面积之比为 故选D
【练题型】
1.．已知是等边三角形，且,那么四边形ABCD的面积为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设AD的中点为E，以为邻边作平行四边形AECB，画出对应的图形，利用E为中点，得到为平行四边形，再根据可得四边形为矩形，于是得到四边形ABCD为直角梯形，进而可得所求的面积．
【详解】取AD的中点E，以为邻边作平行四边形AECB，如图所示，
则有，又，∴，∴四边形为平行四边形，
又BE为等边的中线，∴，∴平行四边形BCDE是矩形，
∴四边形ABCD是直角梯形．又，∴，
∴四边形ABCD的面积为．故选A．
2.设是内一点，且，，设，其中、、分别是、、的面积.若，则的最小值是（ ）
A．3B．16C．D．8
【答案】B
【详解】
分析：由向量的数量积可得 ，从而求出，进而可得 ，从而利用基本不等式求最小值．
详解：由题意，
∵，
则
又 ，
故 则 当且仅当时等号成立.
故选B.
3.是所在平面上的一点,满足,若,则的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．8
【答案】A
【解析】∵，∴，
∴，且方向相同．∴，∴．选A．
一、单选题
1．已知向量满足，那么向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的夹角公式运算求解.
【详解】由题意可得：，
∵，
∴向量的夹角为.
故选：D
2．已知，，，则（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】C
【分析】由余弦定理与数量积的定义求解即可
【详解】因为，，，
所以，
所以，
所以
所以，
故选：C
3．已知，则在上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据在上的投影向量是计算即可解决.
【详解】由题知，，
所以，
设与夹角为，
所以在上的投影向量是，
故选：B
4．在中，点在边上，且，点在边上，且，连接，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求，，进而可求．
【详解】解：如图，连接
则，
∴，，则.
故选：A.
5．已知三个单位向量满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，设与所成的角为，则有，根据求解即可.
【详解】解：由题意可得，又因为，所以，设与所成的角为，则，又因为，所以，
所以，即 ，
所以的最小值为.故选：B.
6．在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线所在直线方程为，设，得到，利用二次函数的性质即可求出其值域.
【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，
则，直线所在直线方程为，
设，，则，，
，
当时，，当时，，
故其取值范围为，故选：B.
7．已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得数量积，再利用向量夹角公式即可求得与的夹角.
【详解】因为，所以,
则.则.
又因为，所以,即与的夹角为.故选：D.
8．已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】由题设条件得到，从而判断出点P在的平分线上，由此得到点的轨迹一定通过的内心.
【详解】分别表示方向的单位向量，
令，，
则，即，
又，以为一组邻边作一个菱形，则点P在该菱形的对角线上，
所以点P在，即的平分线上，故动点P的轨迹一定通过的内心.
故选：B.
.
二、多选题
9．若单位向量满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据向量的数量积运算律以及夹角公式求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，因为为单位向量，两边平方，得，即，所以或，故A错误；
所以故B正确；
所以，故C正确；
，，所以，故D正确.
故选:BCD.
10．已知等边的边长为2，点D，E满足，BD与CE交于点O，则（ ）
A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量为
【答案】BC
【分析】建系，利用坐标处理向量问题，结合向量的坐标运算逐项分析.
【详解】由题E为AB中点，则．以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
则，
对A：∵
∴，选项A错误；
对B：设，，则，，
∵，则，解得，即O是CE中点，
∴，所以选项B正确；
对C：∵O是CE中点，
∴，所以选项C正确；
对D：∵，则，
∴在方向上的投影向量为，所以选项D错误．
故选：BC．
11．如图，是所在平面内任意一点，是的重心，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】利用平面向量的线性运算可判断ABC选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，由题意可知，、、分别为、、的中点，
所以，，
同理可得，，
所以，，A错；
对于B选项，由重心的性质可知，，，
由A选项可知，，
所以，，B对；
对于C选项，由重心的性质可知，，，
所以，
，C对；
对于D选项，，
同理可得，，
因此，，D对.
故选：BCD.
12．下列命题正确的是（ ）
A．已知，则向量在方向上的投影向量的长度为4
B．若向量的夹角为钝角，则
C．若向量满足，则或
D．设是同一平面内两个不共线的向量，若，则可作为该平面的一个基底
【答案】ABD
【分析】由投影向量的长度公式计算向量在方向上的投影向量的长度，判断A，根据数量积的性质判断B，C，根据基底的定义判断D.
【详解】对于选项A，因为，所以向量在方向上的投影向量的长度为，A正确；
对于选项B，因为向量的夹角为钝角，所以，所以
，B正确；
对于选项C，当时，，但且，C错误；
对于选项D，假设共线，则，又，所以，因为不共线，所以，方程组无解，故假设错误，即不共线，所以可作为该平面的一个基底，D正确；
故选：ABD.
三、填空题
13．已知向量，，且，则实数m=______．
【答案】15
【分析】利用向量垂直的坐标表示列出方程求解即可.
【详解】∵，∴，
得,
故答案为：15.
14．在平行四边形中，分别为上的点，且，连接，与交于点，若，则的值为______.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量的加法，结合共线向量定理的推论求解作答.
【详解】在中，不共线，因为，
则有，
又三点共线，于是得，解得，
所以的值为.故答案为：
15．在中，，点Q满足，则的最大值为___________.
【答案】##
【分析】设中点为M，则，根据平面向量的线性运算可得，得当时，最大，此时是等边三角形，
求出即可求解.
【详解】设中点为M，
则，
，
由，知P点轨迹是以为弦，圆周角为的优弧，
∴当时，最大，此时是等边三角形，
则.
故答案为：.
16．如图，在中，，，点满足，，为中点，点在线段上移动（包括端点），则的最小值是______.
【答案】
【分析】本题采用建系法，设，利用向量共线得到，再写出，，从而得到方程，解出即可求出坐标为，再设，，写出，，则的函数表达式，利用函数单调性即可求出最值.
【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示直角坐标系，
设，，，
设，，，
，，，
，，，
，，
，即，解得，
，因为为中点，，
设，，，,
,
所以当时，即，
故答案为：.
【讲技巧】
求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
（2）坐标法：若非零向量、，则.
两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b