高考数学二轮精品专题六 平面向量（文） (2份打包，教师版+原卷版)

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     平面向量的命题以客观题为主，以熟知的平面图形为背景，考查平面向量的基本定理及基本运算，另外向量作为工具进行考查，三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题的形式出现．  一、平面向量及其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)一般用有向线段来表示向量零向量长度为的向量记作，其方向是任意的单位向量长度等于个单位的向量非零向量的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量的相反向量为2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则（1）交换律：；（2）结合律：减法若，则向量叫做与的差，求两个向量差的运算，叫做向量的减法三角形法则数乘实数与向量相乘，叫做向量的数乘（1）；（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，；；3．共线向量定理向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得． 二、平面向量基本定理和平面向量的坐标表示1．平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使．其中，不共线的非零向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模设，，则，，，．3．平面向量共线的坐标表示设，，其中．． 三、平面向量的数量积1．定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做向量和的数量积，记作．规定：零向量与任一向量的数量积为．2．投影：叫做向量在方向上的投影．3．数量积的坐标运算：设向量，，则（1）（2）（3）  
      一、选择题．1．已知向量，，且，则（    ）A． B．1 C．4 D．7【答案】C【解析】因为，所以，所以，故选C．【点评】本题考点为向量的模长，以及向量的坐标运算，属于基础题．2．已知单位向量满足，若向量，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是单位向量，所以．因为，所以．所以，所以，故选B．【点评】本题主要考查了向量数量积的定义及性质，考查了转化思想，属于基础题．3．已知双曲线的左､右焦点分别为，，且以为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限交点为，交双曲线左支于，若，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，圆方程为，由，由，，解得，即，设，由，，得，，因为在双曲线上，∴，，解得或（舍去），故选A．【点评】解题关键是找到关于的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解法，圆与渐近线相交得点坐标，由向量线性关系得点坐标，代入双曲线方程可得．4．设为单位向量，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为为单位向量，且，所以，所以，解得，所以，故选B．【点评】本题考查平面向量的数量积的求法与应用，是基本知识的考查．5．若向量满足，，则在方向上的投影为（    ）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】设的夹角为，则，则，即在方向上的投影为，故选B．【点评】本题考查了向量数量积的运算，向量投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．6．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，，故选B．【点评】本题考查了向量的加法法则以及向量的数乘运算，属于基础题． 一、选择题．1．已知平面上三点满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，故为直角三角形，且，，，故选D．【点评】本题主要考查了向量的运算，解题关键是掌握向量的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题． 二、填空题．2．已知，，，的夹角为，当向量与的夹角为锐角时，求实数的取值范围        ．【答案】【解析】，因为向量与的夹角为锐角，所以，由，得，当向量与方向相同时，，即当时，虽然，但向量与夹角为，所以的取值范围是．【点评】本题考查了平面向量的数量积的运算，考查数量积与夹角的关系，考查计算能力，是中档题． 一、选择题．1．如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，，则的最小值为（    ）A．4 B． C． D．6【答案】C【解析】，又，，又三点共线，，即得，易知，，当且仅当，即时，取等号，故选C．【点评】本题主要考查平面向量基本定理的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）．2．若向量，，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，，，则，，所以，故选A．【点评】本题考查了三角形面积的求法，考查向量的数量积公式、向量的夹角公式、三角形面积公式、平面向量的坐标运算，向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，是基础题．3．在平行四边形中，，且．则（    ）A． B． C．5 D．6【答案】A【解析】因为，所以，则，所以，故选A．【点评】解答本题的关键是根据图形特点以及点的位置利用、表示出，从而完成求解．4．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于，两点，．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，，设，，则，，因为，且，，三点共线，则由，可得，所以，即，解得或（舍去），所以．设直线的方程为，与抛物线方程联立，得，消去，得，则，所以，则．所以，故选D．【点评】解题关键是求出的值，本题中设直线方程并代入抛物线方程，整理后应用韦达定理求出，并结合向量，列出等式确定． 二、填空题．5．已知向量，，若与垂直，则在方向上的投影为________．【答案】【解析】，，，又，在方向上的投影为，故答案为．【点评】本题主要考查向量垂直，以及向量投影的计算，属于基础题型．6．已知，，若，则与的夹角为________．【答案】【解析】依题可得，，，解得，即，，又与的夹角的范围是，则与的夹角为，故答案为．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积公式应用问题，也考查了夹角的计算问题，是基础题型．7．已知实数、、、满足：，，，则的最大值为______．【答案】【解析】设，，=，=，由，，，可得A，B两点在圆上，且，即有，即三角形为等边三角形，，的几何意义为点A，B两点到直线的距离与之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线平行，可设，由圆心O到直线AB的距离，可得，解得，即有两平行线的距离为，即的最大值为，故答案为．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题． 
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