专题08 全等模型巩固练习（解析版+原卷版+知识点）

全等模型巩固练习

1． 如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F．

（1）证明△ACD≌△CBE；

（2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．

【解答】（1）见解析；（2）∠BFC无变化

【解析】（1）证明：∵小蚂蚁同时从A、C出发，速度相同，

∴t（s）后两只小蚂蚁爬行的路程AD＝CE，

∵在△ACD和△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（SAS）；

（2）∵△ACD≌△CBE，

∴∠EBC＝∠ACD，

∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD，

∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD，

＝180°﹣∠ACB，

∵∠A＝∠ABC＝∠ACB，

∴∠ACB＝60°，

∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，

∴∠BFC无变化．

2． 如图，为了测量出池塘两端A、B之间的距离，先在地面上取一点C，使∠ACB＝90°，然后延长BC至D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度就得到A，B两点之间的距离，你能说明其中的道理吗？

【解答】见解析

【解析】能，

理由是：∵∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠ACD＝90°，

在△ACD和△ACB中，

，

∴△ACD≌△ACB（SAS），

∴AB＝AD．

3． 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（2，2）．

（Ⅰ）若点B（4，2），C（3，5），请判断△ABC的形状，并说明理由；

（Ⅱ）已知点M（m，0），N（0，n）（n＜0），若∠MAN＝90°，且mn，求m2+n2的值．

【解答】（Ⅰ）△ABC的等腰三角形；（2）

【解析】（Ⅰ）如图1中，

观察图形可知CA＝CB，

∴△ABC的等腰三角形．

（Ⅱ）如图2中，作AD⊥y轴于D，AE⊥OM于E．

∵A（2，2），

∴AD＝AE，四边形ADOE是正方形，

∵∠DAE＝∠MAN＝90°，

∴∠DAN＝∠MAE，

∵∠ADN＝∠MEA＝90°，

∴△ADN≌△AEM（ASA），

∴DN＝EM，

∴2﹣n＝m﹣2，

∴m+n＝4，

∴m2+2mn+n2＝16，

∵mn，

∴m2+n2＝16．

4． 如图：小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了100步．

（1）根据题意，画出示意图；

（2）如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由．

【解答】（1）见解析；（2）见解析

【解析】（1）所画示意图如下：

（2）在△ABC和△DEC中，，

∴△ABC≌△DEC，

∴AB＝DE，

又∵小刚共走了100步，其中AD走了40步，

∴走完DE用了60步，

步大约50厘米，即DE＝60×0.5米＝30米．

答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为30米．

5． 【问题背景】

在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．

【初步探索】

小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是　EF＝BE+FD　．

【探索延伸】

在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．

【结论运用】

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

【解答】见解析

【解析】初步探索：EF＝BE+FD，

故答案为：EF＝BE+FD，

探索延伸：结论仍然成立，

证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°

∴∠B＝∠ADG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG，

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△GAF，

∴EF＝FG，

∴FG＝DG+FD＝BE+DF；

结论运用：如图3，连接EF，延长AE、BF交于点C，

∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，

∠EOF＝70°，

∴∠EOF∠AOB，

∵OA＝OB，

∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，

∴符合探索延伸中的条件

∴结论EF＝AE+BF成立，

即EF＝1.5×（60+80）＝210海里，

答：此时两舰艇之间的距离是210海里．

6． 如图：小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB与AD，使他们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．试利用全等知识，说明角平分仪的画图原理．

【解答】见解析

【解析】∵在△ABC和△ADC中，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BAC＝∠DAC，

∴AE平分∠PRQ．

7． 如图，C、D分别位于路段A、B两点的正北处与正南处，现有两车分别从E、F两处出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C、D两地，休整一段时间后又以原来的速度行驶最终同时到达A、B两点，那么CE与DF平行吗？为什么？

【解答】见解析

【解析】CE∥DF，

理由：由题意得，∠A＝∠B＝90°，

在Rt△AEC与Rt△BFD中，，

∴Rt△AEC≌Rt△BFD，

∴∠AEC＝∠BFD，

∴CE∥DF．

8． 如图是小磊家的两个房间甲与乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．

（1）当他在甲房间时，测得MA＝a，NB＝b，求甲房间的宽AB；

（2）当他在乙房间时，测得MA＝c，NB＝d，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°

①求∠MPN的度数；            

②求乙房间的宽AB．

【解答】（1）a+b；（2）①60°；②c

【解析】（1）∵∠MPN＝180°，

∴∠APM+∠BPN＝90°，

∵∠APM+∠AMP＝90°，

∴∠AMP＝∠BPN．

在△AMP与△BPN中，

，

∴△AMP≌△BPN，

∴MA＝PB＝a，PA＝NB＝b，

∴AB＝PA+PB＝a+b；

（2）①∠MPN＝180°﹣∠APM﹣∠BPN＝60°；

②过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．

设AB＝x，且AB＝ND＝x．

∵梯子的倾斜角∠BPN为45°，

∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形（180﹣45﹣75＝60°，梯子长度相同），∠MND＝15°．

∵∠APM＝75°，

∴∠AMP＝15°．

∴cos15°．

∵△PNM为等边三角形，

∴NM＝PM．

∴x＝MA＝c．

即乙房间的宽AB是c．

9． （1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连结BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；

（2）请模仿正方形情景下构造全等三角形的思路，利用构造全等三角形完成下题：如图2，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长（结果保留根号）．

【解答】（1）CD＝BE；（2）100米

【解析】（1）CD＝BE．

理由：如图①∵四边形ABFD和四边形ACGE都是正方形，

∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝90°，

∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，

∴∠DAC＝∠BAE．

在△ADC和△ABE中，

，

∴△ADC≌△ABE（SAS），

∴CD＝BE；

（2）如图②，在AB的外侧作AD⊥AB，使AD＝AB，连结CD，BD，

∴∠DAB＝90°，

∴∠ABD＝∠ADB＝45°．

∵∠ABC＝45°，

∴∠ABD+∠ABC＝45°+45°＝90°，

即∠DBC＝90°．

∴∠CAE＝90°，

∴∠DAB＝∠CAE，

∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，

即∠DAC＝∠BAE．

在△ADC和△ABE中

，

∴△ADC≌△ABE（SAS），

∴CD＝BE．

∵AB＝100m，在直角△ABD中，由勾股定理，得

BD＝100．

∴CD100，

∴BE＝CD＝100，

答：BE的长为100米．

10．如图，在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过7分钟后，它们分别爬行到D、E处，设DC与BE的交点为点F．

（1）求证：△ACD≌△CBE；

（2）蜗牛在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请证明你的结论．

【解答】（1）见解析；（2）见解析

【解析】（1）证明：∵AB＝BC＝CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发，

∴CE＝AD；∠A＝∠BCE＝60°，

在△ACD与△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（SAS）；

（2）DC和BE所成的∠BFC的大小不变．

理由如下：∵△ACD≌△CBE，

∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠BCD＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD＝120°．

11．淇淇同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：

如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．

【解答】20m

【解析】∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，

∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，

∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，

∵相邻两平行线间的距离相等，

∴OD＝OB，

在△ABO与△CDO中，

，

∴△ABO≌△CDO（ASA），

∴CD＝AB＝20（m）．

12．对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）

（1）根据以上操作和发现，求的值；

（2）将该矩形纸片展开．

①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC＝90°；

②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）

【解答】（1）；（2）①见解析；②见解析

【解析】（1）由图①，可得∠BCE∠BCD＝45°，

又∵∠B＝90°，

∴△BCE是等腰直角三角形，

∴cos45°，即CEBC，

由图②，可得CE＝CD，而AD＝BC，

∴CDAD，

∴；

（2）①设AD＝BC＝a，则AB＝CDa，BE＝a，

∴AE＝（1）a，

如图③，连接EH，则∠CEH＝∠CDH＝90°，

∵∠BEC＝45°，∠A＝90°，

∴∠AEH＝45°＝∠AHE，

∴AH＝AE＝（1）a，

设AP＝x，则BPa﹣x，由翻折可得，PH＝PC，即PH2＝PC2，

∴AH2+AP2＝BP2+BC2，

即[（1）a]2+x2＝（a﹣x）2+a2，

解得x＝a，即AP＝BC，

又∵PH＝CP，∠A＝∠B＝90°，

∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），

∴∠APH＝∠BCP，

又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC＝90°，

∴∠APH+∠BPC＝90°，

∴∠CPH＝90°；

②折法：如图，由AP＝BC＝AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，

故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；

折法：如图，由∠BCE＝∠PCH＝45°，可得∠BCP＝∠ECH，

由∠DCE＝∠PCH＝45°，可得∠PCE＝∠DCH，

又∵∠DCH＝∠ECH，

∴∠BCP＝∠PCE，即CP平分∠BCE，

故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．