专题27 三角形的内切圆-冲刺2023年中考几何专项复习（解析版+原卷版+知识点）

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专题27 三角形的内切圆（提优）
一．选择题
1．如图，已知等边△ABC的内切圆⊙O半径为3，则AB的长为（　　）

A．33 B．35 C．63 D．65
【分析】过内心向正三角形的一边作垂线，连接顶点与内切圆心，构造直角三角形求解即可．
【解答】解：过O点作OD⊥BC，则OD＝3；

∵O是△ABC的内心，
∴∠OBD＝30°；
Rt△OBD中，∠OBD＝30°，OD＝3，
∴OB＝6，
∴BD＝33，
∴AB＝BC＝2BD＝63．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、等边三角形的性质，解决本题的关键是将正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形．
2．如图，在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（　　）

A．119° B．120° C．121° D．122°
【分析】根据三角形的三个内角的平分线相交的点为内心，可知∠BAO=12∠CAB，∠ABO=12∠CBA，由∠C的度数和三角形内角和为180°，可求出∠CAB+∠CBA＝122°，进而可求出∠AOB的度数．
【解答】解：∵点O为△ABC的内心，
∴AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，
∴∠BAO=12∠CAB，∠ABO=12∠CBA，
∴∠AOB＝180°−12（∠CAB+∠CBA），
∵∠C＝58°，
∴∠CAB+∠CBA＝122°，
∴∠AOB＝180°﹣61°＝119°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内心的性质．根据是根据内心的性质，得出三角形两内角平分线的夹角与第三个角之间的等量关系是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是（　　）

A．43 B．23 C．2 D．4
【分析】过点B作BH⊥CD的延长线于点H．由点D为△ABC的内心，∠A＝60°，得∠BDC＝120°，则∠BDH＝60°，由BD＝4，求得BH，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过点B作BH⊥CD的延长线于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠A），
∴∠BDC＝90°+12∠A＝90°+12×60°＝120°，
则∠BDH＝60°，
∵BD＝4，
∴DH＝2，BH＝23，
∵CD＝2，
∴△DBC的面积=12CD•BH=12×2×23=23，
故选：B．

【点评】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
4．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则∠EPF的度数是（　　）

A．65° B．60° C．58° D．50°
【分析】如图，连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OE，OF．

∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB＝∠OFB＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∴∠EPF=12∠EOF＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．下列说法正确的是（　　）
A．三角形的外心一定在三角形的外部
B．三角形的内心到三个顶点的距离相等
C．外心和内心重合的三角形一定是等边三角形
D．直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为125°
【分析】利用三角形内心以及三角形外心的性质判断得出即可．
【解答】解：A、三角形的外心不一定在三角形的外部，错误；
B、三角形的内心到三个边的距离相等，错误；
C、外心和内心重合的三角形一定是等边三角形，正确；
D、直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为135°，错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形内外心的区别，正确把握相关性质是解题关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD的长是（　　）

A．5 B．2 C．3 D．3
【分析】根据勾股定理可得AB＝10，再根据三角形内切圆的性质可得正方形CGOF，根据切线长定理可求得内切圆半径，再根据勾股定理即可求得OD的长．
【解答】解：如图，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
设⊙O与△ABC的三边的切点为E、F、G，
连接OE、OF、OG，
得正方形CGOF
设OF＝OE＝OG＝CG＝CF＝x，
则AG＝AE＝6﹣x，BE＝BF＝8﹣x，
∴6﹣x+8﹣x＝10，
解得x＝2，
∴AE＝6﹣x＝4，
∵点D是斜边AB的中点，
∴AD＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝1，
在Rt△ODE中，根据勾股定理，得
OD=OE2+DE2=22+12=5．
故选：A．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．
7．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，且AI⊥OI，AB＝2，BC＝3，则AC的长为（　　）

A．4 B．32 C．22 D．322
【分析】延长AI交⊙O于D，连接OA、OD、BD和BI，可得BD＝ID＝AI．易证BD=CD，则OD⊥BC，作IG⊥AB于G，又∠DBE＝∠IAG，则BD＝AI，所以Rt△BDE≌Rt△AIG，从而得出AB+AC＝2BC，代入数据即可得到结论．
【解答】证明：如图1，延长AI交⊙O于D，连接OA、OD、BD和BI，

∵OA＝OD，OI⊥AD，
∴AI＝ID，
又∠DBI＝∠DBC+∠CBI＝∠DAC+∠CBI，
=12（∠BAC+∠ABC）＝∠DIB，
因此，BD＝ID＝AI，
∵I是其内心，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴BD=CD，
∴OD⊥BC，记垂足为E，
∴BE=12BC，
作IG⊥AB于G，∵∠DBE＝∠IAG，BD＝AI，
∴△BDE≌△AIG（AAS），
∴AG＝BE=12BC，
如图2，过O作OM⊥AC，ON⊥BC，

∵I是其内心，
∴AG＝AM，CM＝CN，BG＝BN，
∴AG＝AC﹣CM＝AC﹣（BC﹣BN）＝AC﹣BC+BN＝AC﹣BC+（AB﹣AG），
∴AG=12（AB+AC﹣BC），
∴AB+AC＝2BC，
∵AB＝2，BC＝3，
∴AC＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，I为△ABC的内心，AI的延长线交BC于D，若OI⊥AD，则sin∠CAD的值为（　　）

A．12 B．22 C．52 D．55
【分析】延长AD交⊙O于R，连接BI，BR，易证△BRI为等腰直角三角形，OI为△ABR的中位线，设OI＝a，则BR＝2a＝IR＝AI，则OA=5a，则sin∠CAD＝sin∠OAI=55．
【解答】解：如图，

延长AD交⊙O于R，连接BI，BR，
∵I为△ABC的内心，
∴∠CAR＝∠BAR，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CAR＝∠CBR，
∴∠RIB＝∠IAB+∠IBA＝∠CAR+∠CBI＝∠CBR+∠CBI＝∠RBI，
∴RB＝BI，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BRA＝90°，
∴△BRI为等腰直角三角形，
∵O是AB中点，OI∥BR，
∴I是AR的中点，
∴OI为△ABR的中位线，
设OI＝a，则BR＝2a＝IR＝AI，
在Rt△AOI中，根据勾股定理，得
OA=AI2+OI2=5a，
∴sin∠CAD＝sin∠OAI=OIOA=a5a=55．
所以sin∠CAD的值为55．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外接圆与外心、解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．
9．将线段OB绕点O逆时针旋转60°形成扇形COB，过C作CD⊥OB，垂足为D，⊙E是△COD的内切圆，OB＝6，则OE的长为（　　）

A．33 B．33−3 C．33+3 D．2(3+3)3
【分析】解直角三角形得到OD=12OC＝3，CD=OC2−OD2=62−32=33，根据三角形内切圆的性质得到∠EFO＝90°，∠EOF＝30°，EF=CD+OD−OC2=33−32，于是得到结论．
【解答】解：∵CD⊥OB，
∴∠CDO＝90°，
∵∠BOC＝60°，OC＝OB＝6，
∴OD=12OC＝3，
∴CD=OC2−OD2=62−32=33，
∵⊙E是△COD的内切圆，点F是切点，
∴∠EFO＝90°，∠EOF＝30°，EF=CD+OD−OC2=33+3−62=33−32，
∴OE＝2EF＝33−3，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，旋转的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
10．如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是△ACD的内切圆圆
O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是（　　）

A．13−1 B．13+1 C．3.2 D．32
【分析】由矩形的性质得出∠D＝90°，CD＝AB＝8，由勾股定理得出AC=AD2+CD2=10，设△AD的内切圆O的半径为r，则12×10r+12×8r+12×6r=12×8×6，解得r＝2，连接BQ，易证PM是△BCQ的中位线，得出PM=12BQ，当BQ经过圆心O时，BQ最长，则此时PM最长，作OE⊥AD于E，OF⊥AB于F，则BF＝AB﹣AF＝6，OF＝AE＝AD﹣DE＝4，由勾股定理得出BO=BF2+OF2=213，则BQ＝BO+OQ＝213+2，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，CD＝AB＝8，
∴AC=AD2+CD2=62+82=10，
设△AD的内切圆O的半径为r，
则12×10r+12×8r+12×6r=12×8×6，
解得：r＝2，
连接BQ，
∵P是BC边上的中点，点M是CQ的中点，
∴PM是△BCQ的中位线，
∴PM=12BQ，
当BQ经过圆心O时，BQ最长，则此时PM最长，
作OE⊥AD于E，OF⊥AB于F，
则BF＝AB﹣AF＝8﹣2＝6，OF＝AE＝AD﹣DE＝6﹣2＝4，
∴BO=BF2+OF2=62+42=213，
∴BQ＝BO+OQ＝213+2，
∴PM=12BQ=13+1；
故选：B．

【点评】本题考查了三角形内切圆与内心、勾股定理、矩形的性质、三角形中位线的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
11．如图，△ABC内切圆是⊙O，折叠矩形ABCD，使点D、O重合，FG是折痕，点F在AD上，G在ABC上，连接OG，DG，若OG垂直DG，且⊙O的半径为1，则下列结论不成立的是（　　）

A．CD+DF＝4 B．CD﹣DF＝23−3 C．BC+AB＝23+4 D．BC﹣AB＝2
【分析】设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，根据折叠的性质得到OG＝DG，根据全等三角形的性质得到OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．求得BC﹣AB＝2．设AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半径为r，根据勾股定理得到a2+b2＝（a+b﹣2）2，求得BC+AB＝23+4．再设DF＝x，在Rt△ONF中，FN＝3+3，OF＝x，ON＝1+3，根据勾股定理得到CD﹣DF=3，CD+DF=3．
【解答】解：如图，

设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，
∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，
∴OG＝DG，
∵OG⊥DG，
∴∠MGO+∠DGC＝90°，
∵∠MOG+∠MGO＝90°，
∴∠MOG＝∠DGC，
在△OMG和△GCD中，∠OMG=∠DCG=90°∠MOG=∠DGCOG=DG，
∴△OMG≌△GCD，
∴OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．
∵AB＝CD，
∴BC﹣AB＝2．
设AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半径为r，
⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=12（a+b﹣c），
∴c＝a+b﹣2．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2＝（a+b﹣2）2，
整理得2ab﹣4a﹣4b+4＝0，
又∵BC﹣AB＝2即b＝2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4＝0，
解得a＝1+3或a＝1−3（不合题意舍去），
∴BC+AB＝23+4．
再设DF＝x，在Rt△ONF中，FN＝3+3−1﹣x，OF＝x，ON＝1+3−1=3，
由勾股定理可得（2+3−x）2+（3）2＝x2，
解得x＝4−3，
∴CD﹣DF=3+1﹣（4−3）＝23−3，CD+DF=3+1+4−3=5．
综上只有选项A错误，
故选：A．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为3，则△BIC的外接圆半径为（　　）

A．7 B．73 C．722 D．733
【分析】设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，根据三角形内心定义可得S△ABC=12lr=12×20×3=12AB•CD，可得bc＝40，根据勾股定理可得BC＝a＝7，再根据I是△ABC内心，可得IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得∠BOC＝120°，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OB的长．
【解答】解：如图，设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，
在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，

设AB＝c，BC＝a，AC＝b，
∵∠BAC＝60°，
∴AD=12b，
CD＝AC•sin60°=32b，
∴BD＝AB﹣AD＝c−12b，
∵△ABC周长为l＝20，△ABC的内切圆半径为r=3，
∴S△ABC=12lr=12×20×3=12AB•CD，
∴203=32b•c，
∴bc＝40，
在Rt△BDC中，根据勾股定理，得
BC2＝BD2+CD2，
即a2＝（c−12b）2+（32b）2，
整理得：a2＝c2+b2﹣bc，
∵a+b+c＝20，
∴a2＝c2+b2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣3×40，
解得a＝7，
∴BC＝a＝7，
∵I是△ABC内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠IBC+∠ICB＝60°，
∴∠BIC＝120°，
∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE=72，∠BOE＝60°，
∴OB=BEsin60°=72÷32=733．
故选：D．
【点评】本题属于圆的综合，考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，解直角三角形，圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．属于中考选择题的压轴题，很有难度．
二．填空题
13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA的度数是　135　°．

【分析】根据圆周角定理求出∠C＝90°，求出∠CAB+∠CBA＝90°，根据三角形的内切圆得出∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA，求出∠IAB+∠IBA=12（∠CAB+∠CBA）＝45°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA，
∴∠IAB+∠IBA=12（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠AIB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135．
【点评】本题考查了三角形的内切圆，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
14．如图，点O、I分别是锐角△ABC的外心、内心，若∠CAB＝8∠OAC＝48°，则∠AOI﹣∠CIO＝　30　°．

【分析】连接OC，如图，先计算出∠OAC＝6°，再利用外心性质和等腰三角形的性质得到∠OCA＝∠OAC＝6°，则∠AOC＝168°，利用圆周角定理得到∠ABC＝84°，接着计算出∠ACB＝48°，从而得到BA＝BC，利用等腰三角形的性质可判断BO垂直平分AC，OB平分∠ABC，所以△ABC的内心I在OB上，延长BO交AC于H，如图，则BH⊥AC，然后分别计算出∠AOI和∠CIO，最后求它们的差即可．
【解答】解：连接OC，如图，
∵8∠OAC＝48°，
∴∠OAC＝6°，
∵O点为△ABC的外心，
∴OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝6°，
∴∠AOC＝180°﹣6°﹣6°＝168°，
∴∠ABC=12∠AOC＝84°，
∵∠ACB+∠CAB+∠ABC＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣48°﹣84°＝48°，
∴BA＝BC，
∵BO垂直平分AC，OB平分∠ABC，
∴△ABC的内心I在OB上，
延长BO交AC于H，如图，则BH⊥AC，
∴∠AOI＝∠AHO+∠OAH＝90°+6°＝96°，
∴I为△ABC的内心，
∴CI平分∠ACB，
∴∠BCI=12∠ACB＝24°，
同理可得∠CBI=12∠ABC＝42°，
∴∠CIO＝∠CBI+∠BCI＝42°+24°＝66°，
∴∠AOI﹣∠CIO＝96°﹣66°＝30°．
故答案为30．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外心和圆周角定理．
15．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分的面积为　26﹣2π　（结果保留π）．

【分析】由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，∠A＝90°，证出四边形AEOF是正方形，得OE＝OF=12（AB+AC﹣BC）＝2，正方形AEOF的面积＝22＝4，求出扇形EOF的面积＝π，得扇形OEDF的面积＝3π，求出△ABC的面积＝30，进而得出答案．
【解答】解：∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∴OE⊥AC，OF⊥AB，OD⊥BC，OE＝OF＝OD，
∴四边形AEOF是正方形，
∴∠EOF＝90°，OE＝OF=12（AB+AC﹣BC）=12（5+12﹣13）＝2，正方形AEOF的面积＝22＝4，
∴扇形EOF的面积=14×π×22＝π，
∴扇形OEDF的面积＝π×22﹣π＝3π，
∵△ABC的面积=12AB×AC=12×5×12＝30，
∴阴影部分的面积＝30﹣（4﹣π）﹣3π＝26﹣2π；
故答案为：26﹣2π．
【点评】本题考查了直角三角形的内切圆与内心、切线的性质、勾股定理的逆定理、正方形的判定与性质、扇形面积公式等知识；熟练掌握勾股定理的逆定理，熟记直角三角形内切圆半径=12（两条直角边的和﹣斜边长）是解题的关键．
16．如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠DBI＝　55　°．

【分析】由三角形的内心的性质可得∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，由外角的性质和圆周角的性质可得∠BID＝∠DBI，由三角形内角和定理可求解．
【解答】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD，
∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，
∴∠BID＝∠DBI，
∵∠ACB＝70°，
∴∠ADB＝70°，
∴∠BID＝∠DBI=180°−70°2=55°
故答案为：55．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与圆心，圆周角的定理，等腰三角形的性质等知识，证明∠BID＝∠DBI是本题的关键．
17．如图，⊙I为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，DE∥BC．若△ABC的周长为8，则DE的最大值为　1　．

【分析】根据DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，因为相似三角形周长的比等于相似比，可列出等式，设BC＝x，再根据切线长定理可得，点A到⊙I的两切线之和为：8﹣2x，进而整理可得关于DE的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求出DE的最大值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
因为相似三角形周长的比等于相似比，
即DEBC=C△ADEC△ABC，
设BC＝x，
根据切线长定理可知：
点A到⊙I的两切线之和为：8﹣2x，
所以DEx=C△ADE8=点A到⊙I的两切线长之和8
=2(4−x)8，
所以DE=14x(4−x)=−14（x﹣2）2+1，
所以当x＝2时，DE的最大值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
18．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA＝　2　．

【分析】设圆O与AC切于点F，与BC切于点H，与AB切于点E，连接OF、OH、OE，先由等面积法算出内切圆半径，再求出DE即可得出答案．
【解答】解：如图，设圆O与AC切于点F，与BC切于点H，与AB切于点E．

连接OF、OH、OE，则OF⊥AC，OH⊥BC，OE⊥AB，OF＝OH＝OE，
∵∠C＝90°，
∴四边形CHOF为正方形，其边长设为r，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵D是AB中点，
∴AD＝5，
∵S△ACB=12BC•AC=12（AB+BC+CA）r，
∴r=486+8+10=2，
∴AE＝AF＝AC﹣CF＝4，
∴DE＝AD﹣AE＝1，
∴tan∠ODA=OEDE=21=2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了三角形的内切圆与内心性质、直角三角形斜边中线定理，三角形面积公式、解直角三角形等知识点．求出内切圆半径是解答本题的关键．
19．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE＝9，则△ABC的面积为　81　．

【分析】根据切线的性质得到AD＝AM，CM＝CN＝r，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，于是得到AD•DB=12AC•BC，由射影定理得AD•DB＝DE2＝81，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：设⊙I切AC与M，切BC于N，半径为r，
则AD＝AM，CM＝CN＝r，BD＝BN，r=12（AC+BC﹣AB），
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴AD•DB＝AM•BN＝（AC﹣r）（BC﹣r）＝[AC−12（AC+BC﹣AB）][BC−12（AC+BC﹣AB）]
=14（AC﹣BC+AB）（AB+BC﹣AC）=14（AB2﹣AC2﹣BC2+2AC•BC）=12AC•BC，
由射影定理得AD•DB＝DE2＝81，
∴S△ABC=12AC•BC＝81，
故答案为：81．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，射影定理，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
20．如图，⊙O是△ABC内切圆，切点为D、E、F，∠A＝90°，∠C＝30°，则∠DFE度数是　60　度．

【分析】根据三角形的内角和定理求得∠B＝60°．根据切线的性质定理和四边形的内角和定理求得∠DOE＝120°，再根据圆周角定理求得∠DFE＝60°．
【解答】解：∵∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴∠DFE＝60°．
【点评】此题综合运用了切线的性质定理、三角形的内角和定理、四边形的内角和定理以及圆周角定理．
三．解答题
21．已知：在△ABC中，∠C＝90°，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接IE、IF．
（1）四边形IECF是什么特殊的四边形？并说明理由．
（2）若AC＝8，BC＝6，求半径IE的长．

【分析】（1）根据⊙I是Rt△ABC的内切圆，证明四边形IECF是矩形，由IE＝IF，可得结论；
（2）根据勾股定理可得AB的长，设半径IE的长为x，根据切线长定理列出方程即可求得半径的长．
【解答】解：（1）四边形IECF是正方形，理由如下：
∵⊙I是Rt△ABC的内切圆，即AC、BC都是⊙I的切线，
∴∠IEC＝∠IFC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形IECF是矩形，
∵IE＝IF，
∴四边形IECF是正方形；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10，
由切线长定理可知：
AE＝AD，BD＝BF，CE＝CF，
设半径IE的长为x，则CE＝CF＝x，
∴AE＝AD＝8﹣x，BD＝BF＝6﹣x，
∴（8﹣x）+（6﹣x）＝10，
解得x＝2，
∴IE的长为2．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心．
22．如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O中，且点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC交于点F，与⊙O交于点D，⊙O的切线PD交AB的延长线于点P．
（1）试判断△BDE的形状，并给予证明；
（2）若∠APD＝30°，BE＝2，求AE的长．

【分析】（1）如图，利用三角形内心的性质得到∠1＝∠2，∠3＝∠6，则利用圆周角定理得到∠4＝∠6，则可证明∠5＝∠DBE，从而得到DB＝DE，接着利用AB为直径得到∠ADB＝90°，从而可判断△BDE为等腰直角三角形；
（2）连接OD，如图，先根据等腰直角三角形的性质得到BD＝DE=2，再利用切线的性质得到∠ODP＝90°，则可计算出∠POD＝60°，所以∠PAD＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AD，从而得到AE的长．
【解答】解：（1）△BDE为等腰直角三角形，
证明如下：如图，

∵点E是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，AF平分∠BAC，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠6，
而∠4＝∠6，
∴∠2+∠3＝∠1+∠4，
而∠5＝∠2+∠3，
∴∠5＝∠1+∠4，即∠5＝∠DBE，
∴DB＝DE，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE为等腰直角三角形；
（2）连接OD，如图，

∵△BDE为等腰直角三角形，
∴BD＝DE=22BE=22×2=2，
∵⊙O的切线PD交AB的延长线于点P，
∴OD⊥PD，
∴∠ODP＝90°，
∵∠APD＝30°，
∴∠POD＝90°﹣∠OPD＝60°，
∴∠PAD=12∠POD＝30°，
在Rt△ABD中，AD=3BD=3×2=6，
∴AE＝AD﹣DE=6−2．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了圆周角定理和切线的性质．
23．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，交BC于F．
（1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度数；
（2）求证：DB＝DE；
（3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的长．

【分析】（1）根据∠ABC＝40°，∠C＝80°，利用三角形内心定义和同弧所对圆周角相等即可求∠CBD的度数；
（2）理解BE，根据三角形内心定义和同弧所对圆周角相等∠DEB＝∠DBE，从而依据等角对等边即可证明DB＝DE；
（3）利用已知AB＝6，AC＝4，和角平分线性质可得ABAC=BFFC=32，由BC＝5，可得BF和FC的值，再证明△BDF∽△ACF和△DBF∽△DAB，再利用相似三角形的性质得到关于BD的方程，即可求DE的长．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠CAD＝∠BAD=12∠BAC＝30°，
∴∠CBD＝∠CAD＝30°．
答：∠CBD的度数为30°；
（2）证明：如图，连接BE，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠2＝∠6，
∴∠1＝∠6，
∵∠5＝∠1+∠3，
∠DBE＝∠6+∠4＝∠1+∠3，
∴∠5＝∠DBE，
∴DB＝DE；
（3）∵∠1＝∠2，AB＝6，AC＝4，BC＝5，
∴ABAC=BFCF=32，
∴BF＝3，CF＝2，
∵∠6＝∠2，∠D＝∠C，
∴△BDF∽△ACF，
∴BDDF=ACCF=42=2，BFAF=DFCF，
∴DF=12BD，
DF•AF＝BF•CF＝6，
∵∠1＝∠2＝∠6，∠BDF＝∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴BDDA=DFBD，
∴BD2＝DF•DA＝DF（AF+DF）＝DF•AF+DF2＝6+（12BD）2，
解得BD＝22，
∴DE＝BD＝22．
答：DE的长为22．
【点评】本题考查了三角形的内心定义、同弧所对圆周角相等、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确理解三角形的内心定义．
24．如图，P为等腰△ABC内一点，AB＝BC，∠BPC＝108°，D为AC中点，BD与PC相交于点E，已知P为△ABE的内心．
（1）求证：∠PEB＝60°；
（2）求∠PAC的度数；

【分析】（1）因点P为△ABE内心，所以PB、PE、PA分别是∠ABE、∠AEB、∠BAE角平分线，再根据三角形内角和定理即可证明；
（2）由（1）△ABE≌△CBE可得∠BEC＝∠BEA，进而可求出∠PAC的度数．
【解答】解：（1）因点P为△ABE内心，
所以PB、PE、PA分别是∠ABE、∠AEB、∠BAE角平分线，
即：∠PBE+∠PEB+∠PAE＝90°，
又∠BPC＝108°，
所以∠PBE+∠PEB＝72°，
所以∠PAE＝18°，∠BAE＝36°，
因为AB＝BC，且D是AC中点，
所以∠ABE＝∠CBE，
又BE＝BE，AB＝CB，
所以△ABE≌△CBE，
即∠BCE＝36°，
又∠BPC＝108°，
所以∠CBP＝36°，
又∠CBE＝∠ABE＝2∠PBE，
所以∠CBE＝24°，
所以∠PEB＝∠BCE+∠CBE＝60°，
（2）由（1）△ABE≌△CBE，
所以∠BEC＝∠BEA，
易知∠CED＝∠AED＝∠PEB＝60°，
所以∠EAD＝30°，
所以∠PAC＝30°+18°＝48°．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．
25．已知I为Rt△ABC的内心，∠A＝90°，BI，CI的延长线分别交AC，AB于点D，E，S△BIC＝12，求S四边形EDCB．


【分析】将△EBI，△DCI分别沿BD，CE翻折，点E、D落在BC边上的E1、D1 处根据翻折的性质及内切圆的性质可得，∠EID＝135°，∠D1IE1＝45°，EI＝IE1，DI＝ID1，进而可以证明S△EID=S△E1ID1，可得S四边形EDCB＝2S△BIC．
【解答】解：将△EBI，△DCI分别沿BD，CE翻折，点E、D落在BC边上的E1、D1 处，
∵I为Rt△ABC的内心，
∴∠EIB＝∠IBC+∠ICB=12（∠ABC+∠ACB）＝45°，
∴∠E1IB＝∠EIB＝45°，
∴∠EID＝135°，
同理：∠DIC＝∠D1IC＝45°，
∴∠D1IE1＝45°，
∵EI＝IE1，DI＝ID1，

作DH⊥EC，D1H′⊥E1I于点H、H′，
∴DH＝DI•sin45°，
D1H′＝D1I•sin45°，
∴S△EID=12×EI•DH=12×EI•DI•sin45°，
S△E1ID1=12×E1I•D1H′=12×E1I•D1I•sin45°，
∴S△EID=S△E1ID1，
∵S△BEI＝S△BE1I，S△CDI＝S△CD1I，
∴S四边形EDCB＝2S△BIC＝24．
答：S四边形EDCB为24．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，解决本题的关键是证明三角形DEI和三角形IE1D1 的面积相等．
26．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．
（1）求证BD＝ID；
（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．

【分析】（1）根据I是△ABC内心，可得∠BAD＝∠CAD，进而得∠DBI＝∠DIB，从而证明BD＝ID；
（2）先根据垂径定理证明AI＝DI，再证明△AGI≌△BHD，可得AG＝BH＝3．根据I是△ABC内心，即可得AC的长．
【解答】解：（1）证明：∵I是△ABC内心，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴CD=BD，
∴∠DBC＝∠DAB，
∵∠ABI＝∠CBI，
∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI
∠DIB＝∠DAB+∠ABI
∴∠DBI＝∠DIB，
∴BD＝ID．
（2）连接OD，
∵CD=BD，
根据垂径定理，得
OD⊥BC于点H，
CH＝BH=12BC＝3，
∵AI⊥OI．
∴AI＝DI，
∴AI＝BD，
作IG⊥AB于点G，
∴∠AGI＝∠BED＝90°，
∠DBC＝∠BAD，
∴△AGI≌△BHD（AAS）
∴AG＝BH＝3．
过点I作IM⊥BC，IN⊥AC于点M、N，
∵I是△ABC内心，
∴AN＝AG＝3，
BM＝BG＝4﹣3＝1，
CN＝CM＝6﹣1＝5，
∴AC＝AN+CN＝8．
答：AC的长为8．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、垂径定理、三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是区分三角形的内心和外心．
27．如图，AB是⊙O的直径，点C，P为半圆上任意两点，过点P作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为点M，连接OM，PM，CM，CP．
（1）求∠OMP的度数；
（2）试判断△CMP的形状．

【分析】（1）根据点M是△OPE的内心，可得OM和PM平分∠EOP和∠EPO，进而可以求∠OMP的度数；
（2）根据已知条件可以证明△COM≌△POM，可得CM＝PM，∠CMO＝∠PMO＝135°，再求出∠CMP＝90°，进而可以判断△OMP的形状．
【解答】解：（1）∵PE⊥OC，
∴∠PEO＝90°，
∵点M是△OPE的内心，
∴OM和PM平分∠EOP和∠EPO，
∴∠MOP+∠MPO=12（∠EOP+∠EPO）＝45°，
∴∠OMP＝135°；
（2）∵OM平分∠EOP，
∴∠COM＝∠POM，
在△COM和△POM中，
CO=PO∠COM=∠POMOM=OM，
∴△COM≌△POM（SAS），
∴CM＝PM，∠CMO＝∠PMO＝135°，
∴∠CMP＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
∴△CMP是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
28．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝6，BC＝62，求阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OD交BC于H，连接OB、OC，根据圆周角定理和切线的判定即可证明；
（2）根据垂径定理和扇形面积公式即可求出结果．
【解答】（1）证明：连接OD交BC于H，连接OB、OC，如图，

∵点E是△ABC的内心
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，
∴∠BOD＝∠COD，
∴BD=DC，
∴OD⊥BC，BH＝CH，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线；
（2）解：∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠BAD，
∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，
∴DB＝DE＝6，
∵BH=12BC＝32，
在Rt△BDH中，sin∠BDH=BHBD=326=22，
∴∠BDH＝45°，
∵OB＝OD，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴∠BOD＝90°，
∵BD＝6，
∴OB＝OD＝32，
∵∠DOC＝∠BOD＝90°，
∴阴影部分的面积＝S扇形DOC﹣S△DOC
=90π×(32)2360−12×32×32
=92π﹣9．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的判定与性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，扇形面积公式，解决本题的关键是综合运用以上知识．
29．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长．

【分析】（1）连接OD，根据点I是△ABC的内心，和垂径定理可得OD⊥AC，根据四边形ABCD是圆内接四边形，可得∠ADF＝∠ABC，得DG∥AC，进而可以解决问题；
（2）结合（1）证明DA＝DI，根据△DAE∽△DBA，对应边成比例即可求出AD的长，进而可得结论．
【解答】（1）证明：连接OD．

∵点I是△ABC的内心，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴CD=AD，
∴OD⊥AC，
∵DG平分∠ADF，
∴∠ADG=12∠ADF，∠CBD=12∠ABC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADF＝∠ABC，
∴∠ADG＝∠CBD，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠ADG＝∠CAD，
∴DG∥AC；
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线；
（2）解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAI＝∠CAI，
∵∠EIA＝∠IBA+∠IAB＝∠CAD+∠CAI，
即∠DIA＝∠DAI，
∴DA＝DI，
∵∠DAE＝∠DBA，∠ADE＝∠BDA，
∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，
即AD：9＝4：AD，
∴AD＝6，
∴DI＝6．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，切线的判定与性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
30．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF、BE．
（1）求证：DB＝DE；
（2）求证：直线CF为⊙O的切线；
（3）若CF＝4，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）欲证明DB＝DE，只要证明∠DBE＝∠DEB；
（2）欲证明直线CF为⊙O的切线，只要证明BC⊥CF即可；
（3）连接OD，利用三角形中位线和扇形面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：∵E是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC，
∴∠DBE＝∠DEB．
（2）连接CD．

∵DA平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAC．
∴BD＝CD．
∵BD＝DF，
∴CD＝DB＝DF．
∴∠BCF＝90°．
∴BC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线；
（3）连接OD．
∵O、D是BC、BF的中点，CF＝4，
∴OD＝2，
∵∠BCF＝90°，
∴∠BOD＝90°，
∴图中阴影部分的面积＝扇形BOD的面积﹣△BOD的面积=90π×22360−12×2×2=π−2．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、扇形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．