2023高考数学复习专项训练《圆柱、圆锥、圆台的表面积》

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2023高考数学复习专项训练《圆柱、圆锥、圆台的表面积》一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 (    )    A. B. C. D. 2.（5分）在三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长为3的正三角形，侧棱SA⊥底面ABC，若三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的体积为(    )A. 92 B. 2722 C. 922 D. 2723.（5分）如图所示，点P为三棱柱ABC-A1B1C1侧棱AA1上一动点，若四棱锥P-BCC1B1的体积为V，则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为(    )A. 2V B. 3V C. 4V3 D. 3V24.（5分）已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，ΔABC是边长为3的等边三角形，若此三棱锥外接球的体积为323π，那么三棱锥P-ABC的体积为( )A. 934 B. 334 C. 932 D. 3325.（5分）四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面ABCD，N为PB中点，则三棱锥P-ANC与四棱锥P-ABCD的体积比为( ).A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 1:86.（5分）已知三棱锥P-ABC的顶点都在半径为2的球面上，AB=3，BC=3，AC=23，则三棱锥P-ABC体积的最大值为(    )A. 332 B. 1 C. 3 D. 327.（5分）已知一个体积为8的圆柱，其底面半径为r，当其表面积最小时，r=()A. 32π B. 34π C. 36π D. 38π8.（5分）已知三锥P-ABC的外接球半径R=2，底面ΔABC满足AC=3，∠ABC=π3，则该三棱锥体积的最大值为(    )A. 533 B. 23+36 C. 23+33 D. 23+34二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）小淘气找到了一支粉笔，测量后发现该粉笔的形状恰好是正六棱台ABCDEF-A1B1C1D1E1F1(正六棱台：棱台的上下底面均为正六边形，所有侧棱延长后交于一点，该点在棱台上、下底面的投影分别为上、下底面的中心)，棱台的高为h.若h=10，AB=4，A1B1=3(单位：mm).不考虑其它因素，则()A. 粉笔的体积为1453mm3B. 若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的正六棱锥，则该棱锥的体积为803mm3C. 若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为821πmm2D. 若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的球，则该球的半径为3mm10.（5分）若四面体各棱的长是1或2，且该四面体的棱长不全相等，则其体积的值可能为(    )A. 116 B. 1412 C. 1112 D. 211.（5分）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=2，CC1=1，点D为BC中点，则以下结论正确的是(    )A. A1→D=12AB→+12AC→-A→A1B. 三棱锥D-AB1C1的体积为36C. AB1⊥BC且AB1//平面A1C1DD. ΔABC内到直线AC.BB1的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分12.（5分）如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，则( )A. 该圆锥的母线长为5 B. 该圆锥的体积为12πC. 该圆锥的表面积为15π D. 三棱锥S-ABC体积的最大值为1213.（5分）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=π3，DE⊥AB，垂足为点E，以DE所在的直线为轴，其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体，则()A. 该几何体为圆台 B. 该几何体的高为3C. 该几何体的表面积为7π+23 D. 该几何体的体积为43π3三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=3，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S—ABC的体积为 ________．15.（5分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=3，则四棱锥A1-B1C1CB的体积是______．16.（5分）某几何体由圆锥挖去一个正三棱柱而得，且正三棱柱的上底面与圆锥内接，下底面在圆锥的底面上，已知该圆锥的底面半径R=3，正三棱柱的底面棱长a=3，且圆锥的侧面展开图的圆心角为6π5，则该几何体的体积为 ______ .17.（5分）已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为______.18.（5分）一个几何体的三视图如图所示，且其侧(左)视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为______． 四 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）一个四棱锥的直观图和三视图如图所示： (1)求证：面PBD⊥面ABCD； (2)求三棱锥A-PDC的体积； (3))试在PB上求点M，使得CM//平面PDA．20.（12分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，D为BB1的中点． (1)求证：A1C⊥AD； (2)若点P为四边形ABB1A1内部及其边界上的点，且三棱锥P-ABC的体积为三棱柱ABC-A1B1C1体积的16，试在图中画出，P点的轨迹．并说明理由．21.（12分）如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，且PA⊥AB，AB//DC，ΔPAD是等边三角形，AB=AD=2DC=2，M为PB的中点． (1)求证：CM//平面PAD； (2)求三棱锥P-ACM的体积．22.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为正方形，AD=PD=2，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点，若H为AB上一点，且AH=2HB． (1)求证：AP//平面EFG； (2)求三棱锥H-EFG的体积．23.（12分）如图1，四边形ABCD是菱形，且∠A=60°，AB=2，E为AB的中点，将四边形EBCD沿DE折起至EDC1B1，如图2．  (Ⅰ) 求证：平面ADE⊥平面AEB1； (Ⅱ) 若二面角A-DE-C1的大小为π3，求三棱锥C1-AB1D的体积．答案和解析1.【答案】B;【解析】 该几何体是一个正方体在两个角处挖去两个相同的四分之一圆柱，．  考点：三视图，几何体的体积． 2.【答案】C;【解析】解：如图，∵在三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长为3的正三角形，  侧棱SA⊥底面ABC，三棱锥的外接球的体积为36π，  ∴三棱锥的外接球的半径R=OS=OD=3，  过A作AE⊥BC，交BC于E，过球心O作OD⊥ABC于D，  则D∈AE，且E是ΔABC的重心，  ∴AD=23AE=23AB2-BE2=3，  ∴OD=OA2-AD2=6，  O到PA的距离为AD=3，  ∴PA=OD+OP2-AD2=26，  ∴该三棱锥的体积：  V=13×PA×SΔABC=13×26×(12×3×3×sin60°)=922．  故选：C． 求出三棱锥的外接球的半径R=3，过A作AE⊥BC，交BC于E，过球心O作OD⊥ABC于D，则D∈AE，且E是ΔABC的重心，三棱锥的外接球的半径R=OS=OD=3，AD=3，求出PA=26，由此能求出该三棱锥的体积．  该题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3.【答案】D;【解析】解：由题意，ABC-A1B1C1是三棱柱，所以AA1到对面距离不变，移动P到A点，由棱锥的体积的推导方法可知： VP-BCC1B1=23VABC-A1B1C1.∴VABC-A1B1C1=32V． 故选：D． 利用AA1到对面距离不变，转化P到A点，利用棱锥与棱柱的体积关系，即可得出结论． 该题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查学生的计算能力，基本知识的考查．4.【答案】D;【解析】解：如图，  设底面三角形ABC的外心为G，则AG=2332-(32)2=3， 再设三棱锥外接球的球心为O，连接OA，OG，则OG⊥底面ABC，得OG⊥AG， 设OA=R，由外接球的体积为323π，可得43πR3=32π3，则R=2， ∴OG=OA2-AG2=4-3=1，则PA=2OG=2. ∴三棱锥P-ABC的体积为13×12×3×3×32×2=332. 故选：D. 由已知画出图形，再由球的体积求出外接球的半径，利用勾股定理求出球心到底面的距离，进一步得到三棱锥的高，再由棱锥体积公式求三棱锥P-ABC的体积． 此题主要考查三棱锥的外接球，考查三棱锥体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．5.【答案】C;【解析】∵N为PB中点，∴VP-ANC=VB-ANC，即VP-ANC=VN-ABC，又∵VP-ACD=VP-ABC，VP-ABC=VP-ANC+VN-ABC=2VP-ANC，∴VP-ABCD=VP-ACD+VP-ABC=2VP-ABC=4Vp-ANC，∴VP-ANC:VP-ABCD=1:4.6.【答案】A;【解析】 此题主要考查了球内接三棱锥的问题，难道适中． 利用勾股定理得到直角三角形ABC，取AC中 点O'，连接OO'，结合球半径可得OO'的长， 进而得P-ABC的最大值．  解：如图，设球心为O， 由AB=3，BC=3，AC=23 可得ΔABC为直角三角形， 斜边AC的中点O'为球小圆的圆心， 连接OO'，OA， 则OO'⊥平面ABC， 由OA=2，O'A=3，可得OO'=1， 故三棱锥P-ABC的最大体积为 13×SΔABC×O'P =13×332×(1+2) =332. 故选：A.  7.【答案】B;【解析】解：一个体积为8的圆柱，其底面半径为r， 设圆柱的高为h， ∵圆柱的体积为8，∴πr2h=8，解得h=8πr2， ∴圆柱的表面积S=2πr2+2πrh=2πr2+16r， ∴S=2πr2+8r+8r⩾332πr2⋅8r⋅8r=1232π， 当且仅当2πr2=8r，即r=34π时，等号成立， ∴当其表面积最小时，r=34π. 故选：B. 设圆柱的高为h，由圆柱的体积为8，求出h=8πr2，从而圆柱的表面积S=2πr2+2πrh=2πr2+16r，利用基本不等式级求出当其表面积最小时r的值． 此题主要考查圆柱的体积、结构特征、表面积、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】D;【解析】解：由已知可得，ΔABC的外接圆的半径r=AC2sin∠ABC=1， 且由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB⋅BC⋅cos∠ABC， 得3=AB2+BC2-AB⋅BC⩾2AB⋅BC-AB⋅BC=AB⋅BC， 所以SΔABC=12AB.BC.sin∠ABC⩽334(当且仅当AB=BC时取等号) 又外接圆的圆心到平面ABC的距离为d=R2-r2=3， 所以点P到平面ABC的距离的最大值为h=R+d=2+3， 所以三棱锥P-ABC体积的最大值为13×334×(2+3)=23+34． 故选：D． 推导出ΔABC的外接圆的半径为1，由余弦定理得3⩾2AB⋅BC-AB⋅BC=AB⋅BC，从而SΔABC=12AB.BC.sin∠ABC⩽334(当且仅当AB=BC时取等号)外接圆的圆心到平面ABC的距离为d=R2-r2=3，从而点P到平面ABC的距离的最大值为h=R+d=2+3，由此能求出三棱锥P-ABC体积的最大值． 该题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】BC;【解析】解：对选项A：棱台上底面面积S1=6×34×32=2732,S2=6×34×42=243， 由棱台体积公式V=13(S1+S1⋅S2+S2)⋅h， 故V=13(2732+2732×243+243)×10=3732×10=1853mm3，选项A错误； 对选项B：体积最大的正六棱锥底面为ABCDEF，高为h=10，故底面积S2=6×34×42=243， 由棱锥体积公式V=13S⋅h，故V=13×243×10=803mm3，选项B正确； 对选项C：体积最大的圆锥底面为正六边形ABCDEF的内切圆，高为h=10， 此时底面半径为r=4×32=23，圆锥的母线长l=r2+h2=102+(23)2=47， 故圆锥侧面积S=12×2π×23×47=821πmm2，选项C正确； 对选项D：先将正六棱台ABCDEF-A1B1C1D1E1F1侧棱延长交于一点P得到正六棱锥P-ABCDEF，正六棱锥的内切球即为可以磨成的体积最大的球，对于正六棱雉P-ABCDEF，设高为H，则H-hH=34，代入h=10，故H=40，  以内切球球心I为顶点将正六棱锥P-ABCDEF分割为7个小的棱锥，分别为I-ABCDEF，I-PAB，I-PBC，I-PCD，I-PDE，I-PEF，I-PFA， 分割前正六棱锥P-ABCDEF的体积为13×243×40=3203， 若内切球半径为r，则7个小的棱锥的体积之和为13×243×r+6×13×402+(23)2×r=(83+8403)r， 由等体积法：(83+8403)r=3203，故r=4033+403≠3，且r